Valeur principale

En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe , une fonction multivoque possède souvent la propriété que, près de presque tout point, son graphe est l' union disjointe d'un ou plusieurs graphes de fonctions lisses , que l'on appelleLes branches des fonctions multivoques. Dans le cas des fonctions analytiques complexes, ces branches peuvent être prolongées en fonctions lisses définies sur tout le plan complexe, à l'exception d'un nombre fini de points, et égales à une valeur de la fonction multivoque sur leur domaine. Souvent, unebranchedésigne spécifiquement une telle branche maximale.

La branche principale d'une fonction multivariée est l'une de ces branches maximales qui est sélectionnée une fois pour toutes. Typiquement, la branche principale est celle qui prend une valeur réelle pour les petites valeurs positives de la variable.

La valeur principale est la valeur de la fonction en un point défini par la branche principale. Dans de nombreux cas, la valeur principale d'une fonction multivoque se distingue des autres valeurs par le fait qu'il s'agit de celle dont l'argument a la plus petite valeur absolue et, s'il y a deux valeurs de ce type, celle dont la partie réelle est positive.

Un exemple simple est donné par la fonction racine carrée : tout nombre complexe non nul possède deux racines carrées. La racine carrée principale d'un nombre réel positif est la racine carrée positive notée ⁠ ⁠ . La racine carrée principale d'un nombre complexe non réel est celle dont l'argument appartient à l'intervalle ⁠ ⁠ , et la racine carrée principale d'un nombre réel négatif est ⁠ ⁠ .

Considérons la fonction logarithme complexe log z . Elle est définie comme le nombre complexe w tel que

Par exemple, supposons que nous souhaitions trouver log i . Cela signifie que nous voulons résoudre

pour . La valeur est une solution.

Cependant, d'autres solutions existent, comme le démontre l'étude de la position de i dans le plan complexe et, en particulier, de son argument . On peut effectuer une rotation de 1 radian dans le sens antihoraire pour atteindre initialement i , puis une rotation supplémentaire de 1 radian permet de retrouver i . On peut donc conclure que 1/2 est également une solution pour log i . Il apparaît clairement qu'en ajoutant n'importe quel multiple de 1/2 à notre solution initiale, on obtient toutes les valeurs de log i .

Mais cela a une conséquence qui peut surprendre par rapport aux fonctions à valeurs réelles : log i n’a pas de valeur unique. Pour log z , nous avons

Pour tout entier k , où Arg z est l'argument principal de z, défini comme appartenant à l' intervalle [0, 1]. Chaque valeur de k détermine ce que l'on appelle une branche (ou feuille ), une composante univoque de la fonction logarithme multivoque. Lorsqu'on s'intéresse à une seule branche, on utilise parfois une coupure de branche ; dans ce cas, on retire les nombres réels non positifs du domaine de la fonction et on élimine 0 comme valeur possible de Arg z . Avec cette coupure de branche, la fonction à une seule branche est continue et analytique sur tout son domaine.

La branche correspondant à k = 0 est appelée branche principale , et le long de cette branche, les valeurs que prend la fonction sont appelées valeurs principales .

En général, si f ( z ) est multivaluée, la branche principale de f est notée

tel que pour z dans le domaine de f , pv f ( z ) soit univoque.

Les fonctions élémentaires à valeurs complexes peuvent avoir plusieurs valeurs sur certains domaines. La valeur principale de certaines de ces fonctions peut être obtenue en les décomposant en fonctions plus simples, dont la valeur principale est facile à déterminer.

Nous avons examiné la fonction logarithme ci-dessus, c'est-à-dire,

Or, arg z est intrinsèquement multivalué. On définit souvent l'argument d'un nombre complexe comme étant compris entre 0 (exclu) et 0 (inclus) ; on prend donc cette valeur comme la valeur principale de l'argument et on note la fonction d'argument sur cette branche Arg z (avec un A majuscule initial). En utilisant Arg z au lieu de arg z , on obtient la valeur principale du logarithme et on écrit

Pour un nombre complexe, la valeur principale de la racine carrée est :

Avec argument, on introduit parfois une coupure de branche afin que les nombres réels négatifs ne fassent pas partie du domaine de la fonction racine carrée, éliminant ainsi la possibilité que

Les fonctions trigonométriques inverses ( arcsin , arccos , arctan , etc.) et les fonctions hyperboliques inverses ( arsinh , arcosh , artanh , etc.) peuvent être définies en termes de logarithmes et leurs valeurs principales peuvent être définies en termes des valeurs principales du logarithme.

La valeur principale de l'argument d'un nombre complexe, mesurée en radians, peut être définie comme suit :

• valeurs dans la plage
• valeurs dans la plage

Par exemple, de nombreux systèmes informatiques incluent une fonction atan2( y , x ) . La valeur de atan2(partie_imaginaire( z ), partie_réelle( z )) se situera dans l'intervalle [0, 1]. En comparaison, atan y / x se situe généralement dans [0, 1].