Transformation intégrale de probabilité

En théorie des probabilités , la transformation intégrale de probabilité (également appelée universalité de la loi uniforme ) établit que les valeurs modélisées comme des variables aléatoires suivant une loi continue peuvent être converties en variables aléatoires suivant une loi uniforme standard . Ceci est vrai exactement si la loi utilisée correspond à la distribution réelle des variables aléatoires ; si la loi est ajustée aux données , le résultat sera approximativement vrai pour de grands échantillons.

Le résultat est parfois modifié ou étendu de sorte que le résultat de la transformation soit une distribution standard autre que la distribution uniforme, telle que la distribution exponentielle .

La transformation a été introduite par Ronald Fisher dans son édition de 1932 du livre Statistical Methods for Research Workers .

Applications

L'une des applications de la transformation intégrale de probabilité en analyse statistique est de vérifier si un ensemble d'observations peut raisonnablement être modélisé comme provenant d'une distribution spécifique. Concrètement, cette transformation est appliquée pour construire un ensemble de valeurs équivalent, puis on teste si une distribution uniforme convient à l'ensemble de données ainsi construit. Les diagrammes P-P et les tests de Kolmogorov-Smirnov en sont des exemples .

Une autre application de cette transformation réside dans la théorie des copules , qui permettent de définir et de manipuler les distributions de données multivariées statistiquement dépendantes. Dans ce cas, le problème de la définition ou de la manipulation d'une distribution de probabilité conjointe pour un ensemble de variables aléatoires est simplifié, ou réduit en complexité apparente, par l'application de la transformation intégrale de probabilité à chacune des composantes, puis par la manipulation d'une distribution conjointe dont les variables marginales suivent des lois uniformes.

Une troisième utilisation repose sur l'application de l'inverse de la transformation intégrale de probabilité pour convertir des variables aléatoires d'une distribution uniforme en une distribution sélectionnée : c'est ce qu'on appelle l'échantillonnage par transformation inverse .

Déclaration

Supposons qu'une variable aléatoire ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle F_{X}. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F_{X}.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Y <semantics><mrow><mstyle><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle Y:=F_{X}(X)\,, <semantics><mrow><mstyle><mi>Y</mi><mo>:=</mo><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y:=F_{X}(X)\,,}</annotation></semantics></math></span><img src=

possède une distribution uniforme standard .

De manière équivalente, si ${\displaystyle \mu <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle [0,1] <semantics><mrow><mstyle><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>]</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle [0,1]}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mu \circ F_{X}^{-1 <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>∘</mo><msubsup><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu \circ F_{X}^{-1}}</annotation></semantics></math><img src=$

Preuve

Étant donné une variable continue aléatoire quelconque ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Y=F_{X}(X) <semantics><mrow><mstyle><mi>Y</mi><mo>=</mo><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y=F_{X}(X)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle y\in (0,1) <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi><mo>∈</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y\in (0,1)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle F_{X}^{-1}(y) <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F_{X}^{-1}(y)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle F_{X}(x)=y <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F_{X}(x)=y}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle {\begin{aligned}F_{Y}(y)&=\operatorname {P} (Y\leq y)\\&=\operatorname {P} (F_{X}(X)\leq y)\\&=\operatorname {P} (X\leq F_{X}^{-1}(y))\\&=F_{X}(F_{X}^{-1}(y))\\&=y.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>F</mi><mrow><mi>Y</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>P</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>Y</mi><mo>≤</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>P</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>≤</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>P</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>≤</mo><msubsup><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msubsup><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}F_{Y}(y)&=\operatorname {P} (Y\leq y)\\&=\operatorname {P} (F_{X}(X)\leq y)\\&=\operatorname {P} (X\leq F_{X}^{-1}(y))\\&=F_{X}(F_{X}^{-1}(y))\\&=y.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Si ${\displaystyle F_{X}^{-1}(y) <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F_{X}^{-1}(y)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle F_{X}^{*}(y)=\inf\{x\in \mathbb {R} :F_{X}(x)\geq y\ <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>inf</mo><mo>{</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>:</mo><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>≥</mo><mi>y</mi><mo>}</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F_{X}^{*}(y)=\inf\{x\in \mathbb {R} :F_{X}(x)\geq y\}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x\geq F_{X}^{*}(y)\iff F_{X}(x)\geq y\quad \left({ ext{or equivalently: }}x<F_{X}^{*}(y)\iff F_{X}(x)<y ight), <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>≥</mo><msubsup><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mo>⟺</mo><mspace></mspace><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>≥</mo><mi>y</mi><mspace></mspace><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mtext>ou, de manière équivalente : </mtext></mrow><mi>x</mi><mo><</mo><msubsup><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mo>⟺</mo><mspace></mspace><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo><</mo><mi>y</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x\geq F_{X}^{*}(y)\iff F_{X}(x)\geq y\quad \left({ ext{ou de manière équivalente : }}x<F_{X}^{*}(y)\iff F_{X}(x)<y ight),}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Rightarrow <semantics><mrow><mstyle><mo>⇒</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Rightarrow }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Leftarrow <semantics><mrow><mstyle><mo>⇐</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Leftarrow }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \inf\{z\in \mathbb {R} :F_{X}(z)\geq F_{X}(x)\}\geq x <semantics><mrow><mstyle><mo>inf</mo><mo>{</mo><mi>z</mi><mo>∈</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>:</mo><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>≥</mo><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>}</mo><mo>≥</mo><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \inf\{z\in \mathbb {R} :F_{X}(z)\geq F_{X}(x)\}\geq x}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle F_{X <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F_{X}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x=F_{X}^{*}(y) <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x=F_{X}^{*}(y)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle F_{X}(F_{X}^{*}(y))\geq y <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msubsup><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>≥</mo><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle F_ {X} (F_ {X} ^ {*} (y)) geq y}</annotation></semantics></math><img src=$

Nous démontrons maintenant qu'elle garantit même l'égalité. Soit ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><msub><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mo>∈</mo><mrow><mi>N</mi></mrow></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x_{n}<F_{X}^{*}(y) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo><</mo><msubsup><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x_{n}<F_{X}^{*}(y)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle F_{X}(x_{n})<y <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo><</mo><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F_{X}(x_{n})<y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \lim _{n o \infty }x_{n}=F_{X}^{*}(y) <semantics><mrow><mstyle><munder><mo>limite</mo><mrow><mi>n</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi></mrow></munder><msub><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lim _{n o \infty }x_{n}=F_{X}^{*}(y)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle F_{X <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F_{X}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle F_{X}(F_{X}^{*}(y))=\lim _{n o \infty }F_{X}(x_{n})\leq y <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msubsup><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><munder><mo>limite</mo><mrow><mi>n</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi></mrow></munder><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>≤</mo><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F_{X}(F_{X}^{*}(y))=\lim _{n o \infty }F_{X}(x_{n})\leq y}</annotation></semantics></math><img src=$

De même que dans le cas où l'inverse existe, nous pouvons conclure

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Y}(y)&=\operatorname {P} (F_{X}(X)\leq y)\\&=\operatorname {P} (F_{X}(X)<y)\\&=\operatorname {P} (X<F_{X}^{*}(y))\\&=\operatorname {P} (X\leq F_{X}^{*}(y))\\&=F_{X}(F_{X}^{*}(y))\\&=y,\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>F</mi><mrow><mi>Y</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>P</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>≤</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>P</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo><</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>P</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>X</mi><mo><</mo><msubsup><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>P</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>≤</mo><msubsup><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msubsup><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}F_{Y}(y)&=\operatorname {P} (F_{X}(X)\leq y)\\&=\operatorname {P} (F_{X}(X)<y)\\&=\operatorname {P} (X<F_{X}^{*}(y))\\&=\operatorname {P} (X\leq F_{X}^{*}(y))\\&=F_{X}(F_{X}^{*}(y))\\&=y,\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

en utilisant cela ${\displaystyle \{F_{X}(X)<y\}=\{X<F_{X}^{*}(y)\ <semantics><mrow><mstyle><mo>{</mo><msub><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo><</mo><mi>y</mi><mo>}</mo><mo>=</mo><mo>{</mo><mi>X</mi><mo><</mo><msubsup><mi>F</mi><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \{F_{X}(X)<y\}=\{X<F_{X}^{*}(y)\}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle F_{Y <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>F</mi><mrow><mi>Y</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F_{Y}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathrm {Uniform} (0,1) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>U</mi><mi>n</mi><mi>je</mi><mi>f</mi><mi>o</mi><mi>r</mi><mi>m</mi></mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle mathrm {Uniforme} (0,1)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Y <semantics><mrow><mstyle><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (0,1) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (0,1)}</annotation></semantics></math><img src=$

Exemples

Prenons un premier exemple illustratif : ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt={\frac {1}{2}}{\Big [}\,1+\operatorname {erf} {\Big (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Big )}\,{\Big ]},\quad x\in \mathbb {R} ,\, <semantics><mrow><mstyle><mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>2</mn><mi>π</mi></msqrt></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><msup><mi>t</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mrow><mo>[</mo></mrow></mrow><mspace></mspace><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>erf</mi><mo>⁡</mo><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mrow><mfrac><mi>x</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mfrac></mrow><mrow><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mspace></mspace><mrow><mrow><mo>]</mo></mrow></mrow><mo>,</mo><mspace></mspace><mi>x</mi><mo>∈</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>,</mo><mspace></mspace></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt={\frac {1}{2}}{\Big [}\,1+\operatorname {erf} {\Big (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Big )}\,{\Big ]},\quad x\in \mathbb {R} ,\,}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle \operatorname {erf} (), <semantics><mrow><mstyle><mi>erf</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle nom de l'opérateur {erf} (),}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Y, <semantics><mrow><mstyle><mi>Y</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Y:=\Phi (X), <semantics><mrow><mstyle><mi>Y</mi><mo>:=</mo><mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y:=\Phi (X),}</annotation></semantics></math><img src=$

Deuxième exemple : si ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle F(x)=1-\exp(-x), <semantics><mrow><mstyle><mi>F</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F(x)=1-\exp(-x),}</annotation></semantics></math></span><img src=

et le résultat immédiat de la transformation intégrale de probabilité est que

{\displaystyle Y=1-\exp(-X) <semantics><mrow><mstyle><mi>Y</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y=1-\exp(-X)}</annotation></semantics></math></span><img src=

présente une distribution uniforme. De plus, par symétrie de la distribution uniforme,

{\displaystyle Z=\exp(-X) <semantics><mrow><mstyle><mi>Z</mi><mo>=</mo><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Z=\exp(-X)}</annotation></semantics></math></span><img src=

elle possède également une distribution uniforme.