Problème de points

Le problème des points , également appelé problème de la division des enjeux , est un problème classique de la théorie des probabilités . C'est l'un des problèmes célèbres qui ont motivé les débuts de la théorie moderne des probabilités au XVIIe siècle. Il a conduit Blaise Pascal au premier raisonnement explicite sur ce que l'on appelle aujourd'hui l' espérance mathématique .

Le problème concerne un jeu de hasard avec deux joueurs qui ont les mêmes chances de gagner chaque manche. Les joueurs contribuent à parts égales à une cagnotte et conviennent à l'avance que le premier joueur à avoir remporté un certain nombre de manches recevra la totalité du prix. Supposons maintenant que le jeu soit interrompu par des circonstances extérieures avant que l'un des joueurs n'ait remporté la victoire. Comment répartir alors la cagnotte de manière équitable ? Il est tacitement entendu que la répartition doit dépendre d'une manière ou d'une autre du nombre de manches remportées par chaque joueur, de sorte que le joueur qui est proche de gagner obtienne une plus grande part de la cagnotte. Mais le problème n'est pas seulement un problème de calcul ; il s'agit également de déterminer ce qu'est une répartition « équitable ».

Luca Pacioli a étudié un tel problème dans son manuel Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et percentageità de 1494. Sa méthode consistait à diviser les enjeux en proportion du nombre de tours gagnés par chaque joueur, et le nombre de tours nécessaires pour gagner n'entrait pas du tout dans ses calculs.

Au milieu du XVIe siècle , Niccolò Tartaglia remarqua que la méthode de Pacioli conduisait à des résultats contre-intuitifs si la partie était interrompue alors qu'une seule manche avait été jouée. Dans ce cas, la règle de Pacioli attribuerait la totalité du pot au vainqueur de cette manche unique, bien qu'une avance d'une manche au début d'une longue partie soit loin d'être décisive. Tartaglia a élaboré une méthode qui évite ce problème particulier en basant la division sur le rapport entre la taille de l'avance et la durée de la partie. Cette solution n'est cependant pas sans problèmes ; dans une partie à 100, elle divise les enjeux de la même manière pour une avance de 65-55 que pour une avance de 99-89, même si la première est encore une partie relativement ouverte alors que dans la seconde situation, la victoire du joueur en tête est presque certaine. Tartaglia lui-même n'était pas sûr que le problème puisse être résolu d'une manière qui convaincrait les deux joueurs de son équité : « quelle que soit la manière dont la division est faite, il y aura matière à litige ».

Le problème se posa à nouveau vers 1654 lorsque le chevalier de Méré le posa à Blaise Pascal . Pascal en discuta dans sa correspondance avec Pierre de Fermat . Au cours de cette discussion, Pascal et Fermat apportèrent non seulement une solution convaincante et cohérente à ce problème, mais développèrent également des concepts qui sont toujours fondamentaux pour la théorie des probabilités.

Pascal et Fermat ont donc pensé que l’interruption dans les deux cas devait conduire à la même répartition des enjeux. En d’autres termes, ce qui importe n’est pas le nombre de tours que chaque joueur a gagnés jusqu’à présent, mais le nombre de tours qu’il doit encore gagner pour remporter la victoire.

Fermat raisonna alors ainsi : Si un joueur a besoin de plus de tours pour gagner et que l'autre a besoin de , la partie aura sûrement été gagnée par quelqu'un après des tours supplémentaires. Par conséquent, imaginons que les joueurs jouent plus de tours ; au total, ces tours ont des résultats possibles différents. Dans certains de ces futurs possibles, la partie aura en fait été décidée en moins de tours, mais il n'y a aucun mal à imaginer que les joueurs continuent à jouer sans but. Ne considérer que des futurs de même longueur présente l'avantage de permettre de se convaincre facilement que chacune des possibilités est également probable. Fermat fut ainsi capable de calculer les chances de victoire de chaque joueur, simplement en écrivant un tableau de toutes les continuations possibles et en comptant combien d'entre elles conduiraient à la victoire de chaque joueur. Fermat considéra alors qu'il était manifestement juste de diviser les enjeux proportionnellement à ces chances.

La solution de Fermat, certainement « correcte » selon les normes actuelles, a été améliorée par Pascal de deux façons. Tout d'abord, Pascal a produit un argument plus élaboré expliquant pourquoi la division résultante devrait être considérée comme équitable. Ensuite, il a montré comment calculer la division correcte plus efficacement que la méthode tabulaire de Fermat, qui devient complètement impraticable (sans ordinateurs modernes) si elle est supérieure à environ 10.

Au lieu de considérer uniquement la probabilité de gagner toute la partie restante, Pascal a conçu un principe de petites étapes : supposons que les joueurs aient pu jouer un tour de plus avant d'être interrompus, et que nous ayons déjà décidé comment répartir équitablement les enjeux après ce tour supplémentaire (peut-être parce que ce tour permet à l'un des joueurs de gagner). Le tour supplémentaire imaginé peut conduire à l'un des deux futurs possibles avec des divisions équitables différentes des enjeux, mais comme les deux joueurs ont des chances égales de gagner le tour suivant, ils devraient partager la différence entre les deux divisions futures de manière égale. De cette façon, la connaissance des solutions équitables dans les parties avec moins de tours restants peut être utilisée pour calculer des solutions équitables pour les parties avec plus de tours restants.

Il est plus facile de se convaincre de l'équité de ce principe que de la table des futurs possibles de Fermat, qui est doublement hypothétique car il faut imaginer que la partie continue parfois après avoir été gagnée. L'analyse de Pascal est ici l'un des premiers exemples d'utilisation des valeurs espérées au lieu des cotes dans le raisonnement sur les probabilités. Peu après, cette idée deviendra la base du premier traité systématique sur les probabilités de Christiaan Huygens . Plus tard, le concept moderne de probabilité est né de l'utilisation des valeurs espérées par Pascal et Huygens.

L'application directe de la règle pas à pas de Pascal est nettement plus rapide que la méthode de Fermat lorsqu'il reste de nombreuses manches. Cependant, Pascal a pu l'utiliser comme point de départ pour développer des méthodes de calcul plus avancées. Grâce à une manipulation astucieuse des identités impliquant ce que l'on appelle aujourd'hui le triangle de Pascal (y compris plusieurs des premières preuves explicites par induction ), Pascal a finalement montré que dans un jeu où le joueur a a besoin de r points pour gagner et le joueur b a besoin de s points pour gagner, la répartition correcte des enjeux entre le joueur a (côté gauche) et b (côté droit) est (en utilisant la notation moderne) :

Le problème de la division des enjeux est devenu un exemple de motivation majeur pour Pascal dans son Traité sur le triangle arithmétique .

Bien que la dérivation de ce résultat par Pascal soit indépendante de la méthode tabulaire de Fermat, il est clair qu'elle décrit également exactement le comptage des différents résultats des tours supplémentaires suggérés par Fermat.