Rotation incorrecte

En géométrie , une rotation impropre (également appelée rotation-réflexion [ , rotoréflexion , réflexion rotatoire ou roto-inversion ) est une isométrie dans l'espace euclidien qui est une combinaison d'une rotation autour d'un axe et d'une réflexion dans un plan perpendiculaire à cet axe. La réflexion et l'inversion sont chacune un cas particulier de rotation impropre. Toute rotation impropre est une transformation affine et, dans les cas où l'origine des coordonnées reste fixe, une transformation linéaire . Elle est utilisée comme opération de symétrie dans le contexte de la symétrie géométrique , de la symétrie moléculaire et de la cristallographie , où un objet qui est inchangé par une combinaison de rotation et de réflexion est dit avoir une symétrie de rotation impropre .

En 3 dimensions, la rotation impropre est définie de manière équivalente comme une combinaison de rotation autour d'un axe et d'inversion en un point de l'axe. Pour cette raison, on l'appelle aussi rotoinversion ou inversion rotatoire . Les deux définitions sont équivalentes car une rotation d'un angle θ suivie d'une réflexion est la même transformation qu'une rotation de θ + 180° suivie d'une inversion (en prenant le point d'inversion comme étant dans le plan de réflexion). Dans les deux définitions, les opérations commutent.

Une symétrie tridimensionnelle qui n’a qu’un seul point fixe est nécessairement une rotation impropre.

Une rotation impropre d'un objet produit ainsi une rotation de son image miroir . L'axe est appelé axe de rotation-réflexion . On parle alors de rotation impropre de rang n si l'angle de rotation, avant ou après la réflexion, est de 360°/ n (où n doit être pair). Il existe plusieurs systèmes différents pour nommer les rotations impropres individuelles :

• Dans la notation de Schoenflies, le symbole S _n (en allemand Spiegel , pour miroir ), où n doit être pair, désigne le groupe de symétrie engendré par une rotation impropre de n fois. Par exemple, l'opération de symétrie S ₆ est la combinaison d'une rotation de (360°/6)=60° et d'une réflexion dans un plan miroir. (Cela ne doit pas être confondu avec la même notation pour les groupes symétriques ).
• En notation Hermann-Mauguin, le symbole n est utilisé pour une roto-inversion d'ordre n ; c'est-à-dire une rotation d'un angle de rotation de 360°/ n avec inversion. Si n est pair, il doit être divisible par 4. (Notez que 2 serait simplement une réflexion, et est normalement noté « m », pour « miroir ».) Lorsque n est impair, cela correspond à une rotation impropre d'ordre 2 n (ou réflexion rotatoire).
• La notation de Coxeter pour S _{2 n} est [2 n ⁺ ,2 ⁺ ] et, en tant que sous-groupe d'indice 4 de [2 n ,2],, généré comme le produit de 3 réflexions.
• La notation Orbifold est n ×, ordre 2 n .

  

• Le sous-groupe direct de S _{2 n} est C _n , ordre n , indice 2, étant le générateur de rotoréflexion appliqué deux fois.
• Pour n impair , S _{2 n} contient une inversion , notée C _i ou S ₂ . S _{2 n} est le produit direct : S _{2 n} = C _n × S ₂ , si n est impair.
• Pour tout n , si p impair est un diviseur de n , alors S _{2 n / p} est un sous-groupe de S _{2 n} , d'indice p . Par exemple S ₄ est un sous-groupe de S ₁₂ , d'indice 3.

Dans un sens plus large, une rotation impropre peut être définie comme toute isométrie indirecte ; c'est-à-dire un élément de E (3)\E ⁺ (3) : elle peut donc aussi être une pure réflexion dans un plan, ou avoir un plan de glissement . Une isométrie indirecte est une transformation affine avec une matrice orthogonale qui a un déterminant de −1.

Une rotation propre est une rotation ordinaire. Au sens large, une rotation propre est définie comme une isométrie directe ; c'est-à-dire un élément de E ⁺ (3) : elle peut aussi être l'identité, une rotation avec translation le long de l'axe, ou une translation pure. Une isométrie directe est une transformation affine avec une matrice orthogonale qui a pour déterminant 1.

Que ce soit au sens strict ou au sens large, la composition de deux rotations impropres est une rotation propre, et la composition d'une rotation impropre et d'une rotation propre est une rotation impropre.

Lors de l'étude de la symétrie d'un système physique sous une rotation impropre (par exemple, si un système a un plan de symétrie miroir), il est important de faire la distinction entre les vecteurs et les pseudovecteurs (ainsi que les scalaires et les pseudoscalaires , et en général entre les tenseurs et les pseudotenseurs ), puisque ces derniers se transforment différemment sous des rotations propres et impropres (en 3 dimensions, les pseudovecteurs sont invariants sous inversion).