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En statistique, un graphique P-P ( graphique de probabilité-probabilité , graphique pourcentage-pourcentage ou graphique de valeur p ) est un graphique de probabilité permettant d'évaluer la concordance entre deux ensembles de données , ou l'adéquation d'un ensemble de données à un modèle particulier. Il fonctionne en représentant graphiquement les deux fonctions de répartition cumulatives l'une par rapport à l'autre ; si elles sont similaires, les données apparaîtront presque comme une droite. Ce comportement est similaire à celui du graphique Q-Q , plus largement utilisé et avec lequel il est souvent confondu.
Définition
Le graphique AP-P représente deux fonctions de répartition cumulatives (FDR) l'une par rapport à l'autre : étant donné deux distributions de probabilité, avec des FDR « F » et « G », il représente
Ainsi, pour l'entrée z, la sortie est la paire de nombres indiquant quel pourcentage de f et quel pourcentage de g se situent à z ou en dessous.
La droite de comparaison est la droite à 45° reliant (0,0) à (1,1), et les distributions sont égales si et seulement si le point se situe sur cette droite. Le degré d'écart permet d'identifier facilement visuellement la différence entre les distributions, mais en raison de l'erreur d'échantillonnage, même des échantillons issus de distributions identiques ne paraîtront pas identiques.
Exemple
Par exemple, si les deux distributions ne se chevauchent pas ( F étant inférieure à G), le graphique P-P se déplacera de gauche à droite le long du bas du carré : lorsque z parcourt le support de F, la fonction de répartition de F passe de 0 à 1, tandis que celle de G reste à 0. Ensuite, le graphique se déplacera vers le haut, sur le côté droit du carré : la fonction de répartition de F vaut alors 1, car tous les points de F sont inférieurs à tous les points de G, et la fonction de répartition de G passe maintenant de 0 à 1 lorsque z parcourt son support . (Un graphique est nécessaire pour illustrer ce paragraphe.)
Utiliser
Comme l'illustre l'exemple ci-dessus, si deux distributions sont spatialement séparées, le diagramme P-P fournira très peu d'informations ; il n'est utile que pour comparer des distributions de probabilité proches ou égales en position. Notamment, il passera par le point (1/2, 1/2) si et seulement si les deux distributions ont la même médiane .
Les graphiques P–P sont parfois limités aux comparaisons entre deux échantillons, plutôt qu'à la comparaison d'un échantillon à une distribution théorique. Cependant, ils sont d'une utilité générale, notamment lorsque les observations ne sont pas toutes modélisées par la même distribution.
Cependant, cette méthode s'avère utile pour comparer la distribution d'un échantillon à une distribution théorique connue : étant donné n échantillons, la représentation graphique de la fonction de répartition théorique continue en fonction de la fonction de répartition empirique donnerait une courbe en escalier (une marche lorsque z atteint un échantillon), et atteindrait le sommet du carré lorsque le dernier point de données serait atteint. On ne représente donc que des points, en traçant les k -ièmes points observés (dans l'ordre : formellement, la k -ième statistique d'ordre observée) en fonction du quantile k /( n + 1) de la distribution théorique. Ce choix de « position de représentation » (choix du quantile de la distribution théorique) a suscité moins de controverses que celui des graphiques Q-Q. La qualité d'ajustement de la droite à 45° qui en résulte permet de mesurer la différence entre un ensemble d'échantillons et la distribution théorique.
Le diagramme AP-P peut servir de complément graphique aux tests d'adéquation des distributions de probabilité Des lignes supplémentaires peuvent y être ajoutées pour indiquer soit des régions d'acceptation spécifiques, soit l'intervalle d'écart attendu par rapport à la droite 1:1. Une version améliorée du diagramme P-P, appelée diagramme SP ou S-P, est disponible Elle utilise une transformation stabilisatrice de variance pour créer un diagramme où les variations autour de la droite 1:1 sont uniformes.