Structure quaternionique

En mathématiques, une structure quaternionique ou structure Q est un système axiomatique qui fait abstraction du concept d'une algèbre quaternionique sur un corps .

Une structure quaternionique est un triplet ( G , Q , q ) où G est un groupe abélien élémentaire d' exposant 2 avec un élément distingué −1 , Q est un ensemble pointé avec un élément distingué 1 , et q est une surjection symétrique G × G → Q satisfaisant les axiomes

{\displaystyle {\begin{aligned}{ ext{1.}}\quad &q(a,(-1)a)=1,\\{ ext{2.}}\quad &q(a,b)=q(a,c)\Leftrightarrow q(a,bc)=1,\\{ ext{3.}}\quad &q(a,b)=q(c,d)\Rightarrow \exists x\mid q(a,b)=q(a,x),q(c,d)=q(c,x)\end{aligned}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext>1.</mtext> </mrow> <mspace></mspace> </mtd> <mtd> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>,</mo> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mi>un</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext>2.</mtext> </mrow> <mspace></mspace> </mtd> <mtd> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>)</mo> <mo>⇔</mo> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext>3.</mtext> </mrow> <mspace></mspace> </mtd> <mtd> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> <mo>⇒</mo> <mi>∃</mi> <mi>x</mi> <mo>∣</mo> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}{ ext{1.}}\quad &q(a,(-1)a)=1,\\{ ext{2.}}\quad &q(a,b)=q(a,c)\Leftrightarrow q(a,bc)=1,\\{ ext{3.}}\quad &q(a,b)=q(c,d)\Rightarrow \existe x\mid q(a,b)=q(a,x),q(c,d)=q(c,x)\end{aligned}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Tout corps F donne lieu à une Q -structure en prenant G comme F ^∗ / F ^∗2 , Q l'ensemble des classes de Brauer d'algèbres de quaternions dans le groupe de Brauer de F avec l' algèbre de quaternions scindée comme élément distingué et q ( a , b ) l'algèbre de quaternions ( a , b ) _F .

Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction aux formes quadratiques sur les corps . Études supérieures en mathématiques . Vol. 67. Société mathématique américaine . ISBN 0-8218-1095-2. M. 2104929. Zbl 1068.11023.