Blocage (statistiques)

Dans la théorie statistique de la conception d'expériences , le blocage consiste à organiser des unités expérimentales semblables les unes aux autres en groupes (blocs) en fonction d'une ou plusieurs variables. Ces variables sont choisies avec soin pour minimiser l'impact de leur variabilité sur les résultats observés. Le blocage peut être mis en œuvre de différentes manières, ce qui entraîne différents effets de confusion. Cependant, les différentes méthodes partagent le même objectif : contrôler la variabilité introduite par des facteurs spécifiques qui pourraient influencer le résultat d'une expérience. Les racines du blocage proviennent du statisticien Ronald Fisher , suite à son développement de l'ANOVA .

L'utilisation du blocage dans la conception expérimentale a une histoire évolutive qui couvre plusieurs disciplines. Les concepts fondamentaux du blocage remontent au début du 20e siècle avec des statisticiens comme Ronald A. Fisher . Ses travaux sur le développement de l'analyse de la variance (ANOVA) ont jeté les bases du regroupement d'unités expérimentales pour contrôler les variables externes. Le blocage a évolué au fil des ans, conduisant à la formalisation des plans de blocs randomisés et des plans de carrés latins . Aujourd'hui, le blocage joue toujours un rôle central dans la conception expérimentale et, ces dernières années, les progrès des logiciels statistiques et des capacités de calcul ont permis aux chercheurs d'explorer des plans de blocage plus complexes.

Le blocage réduit la variabilité inexpliquée. Son principe réside dans le fait que la variabilité qui ne peut être surmontée (par exemple, la nécessité de deux lots de matières premières pour produire un conteneur d'un produit chimique) est confondue ou associée à une interaction (d'ordre supérieur/le plus élevé) pour éliminer son influence sur le produit final. Les interactions d'ordre supérieur sont généralement de moindre importance (pensez au fait que la température d'un réacteur ou du lot de matières premières est plus importante que la combinaison des deux - c'est particulièrement vrai lorsque plusieurs facteurs (3, 4, ...) sont présents) ; il est donc préférable de confondre cette variabilité avec l'interaction supérieure.

• Homme et femme : Une expérience est conçue pour tester un nouveau médicament sur des patients. Il existe deux niveaux de traitement, médicament et placebo , administrés à des patients de sexe masculin et féminin dans un essai en double aveugle . Le sexe du patient est un facteur bloquant expliquant la variabilité du traitement entre les hommes et les femmes . Cela réduit les sources de variabilité et conduit ainsi à une plus grande précision.
• Élévation : Une expérience est conçue pour tester les effets d'un nouveau pesticide sur une parcelle d'herbe spécifique. La zone d'herbe présente un changement d'élévation majeur et se compose donc de deux régions distinctes : « haute altitude » et « basse altitude ». Un groupe de traitement (le nouveau pesticide) et un groupe placebo sont appliqués à la fois aux zones d'herbe à haute altitude et à basse altitude. Dans ce cas, le chercheur bloque le facteur d'élévation qui peut expliquer la variabilité dans l'application du pesticide.
• Intervention : Supposons qu'un procédé soit inventé pour prolonger la durée de vie des semelles de chaussures et qu'un plan soit élaboré pour mener un essai sur le terrain. Étant donné un groupe de n volontaires, une conception possible consisterait à donner à n /2 d'entre eux des chaussures avec des semelles neuves et à n /2 des chaussures avec des semelles ordinaires, en randomisant l'attribution des deux types de semelles. Ce type d'expérience est une conception complètement randomisée . On demande ensuite aux deux groupes d'utiliser leurs chaussures pendant une période donnée, puis de mesurer le degré d'usure des semelles. Il s'agit d'une conception expérimentale réalisable, mais du seul point de vue de la précision statistique (en ignorant tout autre facteur), une meilleure conception consisterait à donner à chaque personne une semelle ordinaire et une semelle neuve, en attribuant aléatoirement les deux types à la chaussure gauche et à la chaussure droite de chaque volontaire. Une telle conception est appelée « conception en blocs complets randomisés ». Cette conception sera plus sensible que la première, car chaque personne agit comme son propre témoin et donc le groupe témoin est plus étroitement adapté à la conception en blocs du groupe de traitement.

Dans les exemples cités ci-dessus, une variable nuisible est une variable qui n'est pas l'objectif principal de l'étude, mais qui peut affecter les résultats de l'expérience. Elles sont considérées comme des sources potentielles de variabilité qui, si elles ne sont pas contrôlées ou prises en compte, peuvent fausser l'interprétation entre les variables indépendantes et dépendantes .

Pour traiter les variables nuisibles, les chercheurs peuvent utiliser différentes méthodes telles que le blocage ou la randomisation. Le blocage consiste à regrouper les unités expérimentales en fonction des niveaux de la variable nuisible pour contrôler son influence. La randomisation permet de répartir les effets des variables nuisibles de manière uniforme entre les groupes de traitement.

En utilisant l’une de ces méthodes pour tenir compte des variables nuisibles, les chercheurs peuvent améliorer la validité interne de leurs expériences, en s’assurant que les effets observés sont plus probablement attribuables aux variables manipulées plutôt qu’à des influences extérieures.

Dans le premier exemple ci-dessus, le sexe du patient serait une variable gênante. Par exemple, imaginons que le médicament soit une pilule amaigrissante et que les chercheurs souhaitent tester l’effet de cette pilule sur la perte de poids. La variable explicative est la pilule amaigrissante et la variable de réponse est la quantité de poids perdu. Bien que le sexe du patient ne soit pas le principal objectif de l’expérience (c’est l’effet du médicament qui l’est), il est possible que le sexe de l’individu ait une incidence sur la quantité de poids perdu.

Dans la théorie statistique de la conception des expériences , le blocage consiste à organiser des unités expérimentales en groupes (blocs) qui sont similaires les uns aux autres. En règle générale, un facteur de blocage est une source de variabilité qui n'intéresse pas principalement l'expérimentateur.

Lors de l'étude de la théorie des probabilités, la méthode des blocs consiste à diviser un échantillon en blocs (groupes) séparés par des sous-blocs plus petits afin que les blocs puissent être considérés comme presque indépendants. La méthode des blocs permet de prouver des théorèmes limites dans le cas de variables aléatoires dépendantes.

La méthode des blocs a été introduite par S. Bernstein : La méthode a été appliquée avec succès dans la théorie des sommes de variables aléatoires dépendantes et dans la théorie des valeurs extrêmes .

Dans notre exemple précédent de pilules amaigrissantes, un facteur de blocage pourrait être le sexe d'un patient. Nous pourrions répartir les individus en deux blocs (homme ou femme). Et dans chacun des deux blocs, nous pouvons attribuer aléatoirement les patients soit à la pilule amaigrissante (traitement), soit à la pilule placebo (témoin). En bloquant le sexe, cette source de variabilité est contrôlée, ce qui conduit à une meilleure interprétation de la façon dont les pilules amaigrissantes affectent la perte de poids.

Un facteur de nuisance est utilisé comme facteur de blocage si chaque niveau du facteur principal se produit le même nombre de fois avec chaque niveau du facteur de nuisance. L'analyse de l'expérience se concentrera sur l'effet des différents niveaux du facteur principal dans chaque bloc de l'expérience.

La règle générale est la suivante :

« Bloquez ce que vous pouvez ; randomisez ce que vous ne pouvez pas. »

Le blocage est utilisé pour éliminer les effets de quelques-unes des variables nuisibles les plus importantes. La randomisation est ensuite utilisée pour réduire les effets contaminants des variables nuisibles restantes. Pour les variables nuisibles importantes, le blocage donnera une signification plus élevée dans les variables d'intérêt que la randomisation.

La mise en œuvre du blocage dans la conception expérimentale implique une série d’étapes permettant de contrôler efficacement les variables externes et d’améliorer la précision des estimations de l’effet du traitement.

Identifier les facteurs potentiels qui ne constituent pas l’objectif principal de l’étude mais qui pourraient introduire de la variabilité.

Choisissez soigneusement les facteurs de blocage en fonction de leur pertinence pour l’étude ainsi que de leur potentiel à confondre les principaux facteurs d’intérêt.

Le fait de diviser une expérience d’une certaine taille en un certain nombre de blocs entraîne des conséquences, car le nombre de blocs détermine le nombre d’ effets confondus .

Vous pouvez choisir d'assigner de manière aléatoire des unités expérimentales aux conditions de traitement dans chaque bloc, ce qui peut contribuer à garantir que toute variabilité non prise en compte est répartie uniformément entre les groupes de traitement. Cependant, selon la manière dont vous assignez les traitements aux blocs, vous pouvez obtenir un nombre différent d'effets confondus. Par conséquent, le nombre ainsi que les effets spécifiques qui sont confondus peuvent être choisis, ce qui signifie que l'assignation des traitements aux blocs est supérieure à l'assignation aléatoire .

En exécutant une conception différente pour chaque réplication , où un effet différent est confondu à chaque fois, les effets d'interaction sont partiellement confondus au lieu de sacrifier complètement un seul effet. La réplication améliore la fiabilité des résultats et permet une évaluation plus robuste des effets du traitement.

Une façon utile d’envisager une expérience en blocs randomisés est de la considérer comme un ensemble d’ expériences entièrement randomisées , chacune exécutée dans l’un des blocs de l’expérience totale.

avec

L ₁ = nombre de niveaux (paramètres) du facteur 1

L ₂ = nombre de niveaux (paramètres) du facteur 2

L ₃ = nombre de niveaux (paramètres) du facteur 3

L ₄ = nombre de niveaux (paramètres) du facteur 4

L _k = nombre de niveaux (paramètres) du facteur k

Supposons que les ingénieurs d'une usine de fabrication de semi-conducteurs souhaitent tester si différents dosages de matériaux d'implantation de plaquettes ont un effet significatif sur les mesures de résistivité après un processus de diffusion ayant lieu dans un four. Ils ont quatre dosages différents qu'ils souhaitent tester et suffisamment de plaquettes expérimentales du même lot pour tester trois plaquettes à chacun des dosages.

Le facteur de nuisance qui les préoccupe est le « fonctionnement du four », car il est connu que chaque fonctionnement du four diffère du précédent et a un impact sur de nombreux paramètres du processus.

Une façon idéale de réaliser cette expérience serait de faire fonctionner toutes les 4x3=12 plaquettes dans le même four. Cela éliminerait complètement le facteur de nuisance du four. Cependant, les plaquettes de production régulières ont la priorité du four et seules quelques plaquettes expérimentales sont autorisées à être utilisées dans un four en même temps.

Une manière non bloquée de réaliser cette expérience serait de faire fonctionner chacune des douze plaquettes expérimentales, dans un ordre aléatoire, une par cycle de four. Cela augmenterait l'erreur expérimentale de chaque mesure de résistivité par la variabilité du four d'un cycle à l'autre et rendrait plus difficile l'étude des effets des différents dosages. La manière bloquée de réaliser cette expérience, en supposant que vous puissiez convaincre le fabricant de vous laisser mettre quatre plaquettes expérimentales dans un cycle de four, serait de mettre quatre plaquettes avec des dosages différents dans chacun des trois cycles de four. La seule randomisation consisterait à choisir laquelle des trois plaquettes avec le dosage 1 irait dans le cycle de four 1, et de même pour les plaquettes avec les dosages 2, 3 et 4.

Soit X ₁ le « niveau » de dosage et X ₂ le facteur de blocage du fonctionnement du four. L'expérience peut alors être décrite comme suit :

k = 2 facteurs (1 facteur primaire X ₁ et 1 facteur bloquant X ₂ )

L ₁ = 4 niveaux du facteur X ₁

L ₂ = 3 niveaux du facteur X ₂

n = 1 réplication par cellule

N = L ₁ * L ₂ = 4 * 3 = 12 exécutions

Avant la randomisation, les essais de conception ressemblent à ceci :

Une autre façon de résumer les essais de conception serait d'utiliser une matrice 4x3 dont les 4 lignes sont les niveaux du traitement X ₁ et dont les colonnes sont les 3 niveaux de la variable de blocage X ₂ . Les cellules de la matrice ont des indices qui correspondent aux combinaisons X ₁ , X ₂ ci-dessus.

Par extension, notez que les essais pour tout plan en blocs randomisés à facteurs K sont simplement les indices de cellules d'une matrice à k dimensions.

Le modèle pour une conception en blocs randomisés avec une variable nuisible est

où

Y _ij est toute observation pour laquelle X ₁ = i et X ₂ = j

X ₁ est le facteur principal

X ₂ est le facteur de blocage

μ est le paramètre de localisation général (c'est-à-dire la moyenne)

T _i est l'effet d'être dans le traitement i (du facteur X ₁ )

B _j est l'effet d'être dans le bloc j (de facteur X ₂ )

Estimation pour μ : = la moyenne de toutes les données

Estimation pour T _i : avec = moyenne de tous les Y pour lesquels X ₁ = i .

Estimation pour B _j : avec = moyenne de tous les Y pour lesquels X ₂ = j .

• Les modèles de blocs randomisés généralisés (GRBD) permettent de tester l'interaction bloc-traitement et comportent exactement un facteur de blocage comme le RCBD.
• Les carrés latins (et autres conceptions de lignes et de colonnes) ont deux facteurs de blocage qui sont censés n'avoir aucune interaction.
• Échantillonnage hypercube latin
• Carrés gréco-latins
• Motifs carrés hyper-gréco-latins