Analyse quantitative de la récurrence

L'analyse de quantification de la récurrence ( RQA ) est une méthode d' analyse de données non linéaires (cf. théorie du chaos ) pour l'étude des systèmes dynamiques . Elle quantifie le nombre et la durée des récurrences d'un système dynamique représenté par sa trajectoire dans l'espace des phases .

La mesure la plus simple est le taux de récurrence , qui est la densité des points de récurrence dans un diagramme de récurrence :

Le taux de récurrence correspond à la probabilité qu'un état spécifique se reproduise. Il est quasiment identique à la définition de la somme de corrélation , lorsque la perte d'information (LOI) est exclue du calcul.

La mesure suivante est le pourcentage de points de récurrence qui forment des lignes diagonales dans le diagramme de récurrence de longueur minimale :

où représente la distribution de fréquence des longueurs des lignes diagonales (c'est-à-dire le nombre d'occurrences de longueur ). Cette mesure est appelée déterminisme et est liée à la prévisibilité du système dynamique , car le bruit blanc a un diagramme de récurrence avec presque uniquement des points isolés et très peu de lignes diagonales, tandis qu'un processus déterministe a un diagramme de récurrence avec très peu de points isolés mais de nombreuses lignes diagonales longues.

Le nombre de points de récurrence qui forment des lignes verticales peut être quantifié de la même manière :

où est la distribution de fréquence des longueurs des lignes verticales, qui ont au moins une longueur de . Cette mesure est appelée laminarité et est liée à la quantité de phases laminaires dans le système ( intermittence ).

On peut également mesurer les longueurs des lignes diagonales et verticales. La longueur moyenne de la ligne diagonale

est lié au temps de prévisibilité du système dynamique et au temps de piégeage , mesurant la longueur moyenne des lignes verticales,

est lié au temps de laminarité du système dynamique, c'est-à-dire à la durée pendant laquelle le système reste dans un état spécifique.

Étant donné que la longueur des lignes diagonales est liée à la durée pendant laquelle les segments de la trajectoire dans l' espace des phases sont parallèles, c'est-à-dire au comportement de divergence des trajectoires, il a parfois été affirmé que l' inverse de la longueur maximale des lignes diagonales (sans LOI) serait un estimateur de l' exposant de Lyapunov maximal positif du système dynamique. Par conséquent, la longueur maximale des lignes diagonales ou la divergence :

Ces mesures constituent également des indicateurs de la qualité de l'analyse de la réponse (RQA). Cependant, la relation entre ces mesures et l'exposant de Lyapunov maximal positif est plus complexe qu'il n'y paraît (le calcul de l'exposant de Lyapunov à partir d'une réponse de phase nécessite de considérer la distribution de fréquence complète des lignes diagonales). La divergence peut suivre la tendance de l'exposant de Lyapunov maximal positif, mais pas davantage. De plus, même les réponses de phase de processus de bruit blanc peuvent présenter une ligne diagonale très longue, bien que très rarement, avec une probabilité non nulle. Par conséquent, la divergence ne peut pas refléter l'exposant de Lyapunov maximal.

La probabilité qu'une ligne diagonale ait exactement une longueur peut être estimée à partir de la distribution de fréquence avec . L' entropie de Shannon de cette probabilité,

Elle reflète la complexité de la structure déterministe du système. Cependant, cette entropie dépend fortement du numéro de l'intervalle et peut donc varier selon les réalisations d'un même processus, ainsi que selon la préparation des données.

La dernière mesure de l'analyse quantitative de la récurrence (RQA) quantifie l'amincissement du graphique de récurrence. La tendance correspond au coefficient de régression d'une relation linéaire entre la densité des points de récurrence sur une ligne parallèle à la ligne d'intérêt (LOI) et sa distance à la LOI. Plus précisément, considérons le taux de récurrence sur une ligne diagonale parallèle à la LOI de distance k ( taux de récurrence diagonal ou taux de récurrence τ ) :

la tendance est alors définie par

avec comme valeur moyenne et . Cette dernière relation permet d'éviter les effets de bord dus à une densité trop faible de points de récurrence aux extrémités du diagramme de récurrence. La tendance de la mesure renseigne sur la stationnarité du système.

À l’instar du taux de récurrence, les autres mesures basées sur les lignes diagonales (DET, L, ENTR) peuvent être définies de manière diagonale. Ces définitions sont utiles pour étudier les interrelations ou la synchronisation entre différents systèmes (à l’aide de diagrammes de récurrence ou de diagrammes de récurrence croisée ).

Au lieu de calculer les mesures RQA de l'ensemble du diagramme de récurrence, on peut les calculer dans de petites fenêtres se déplaçant sur le diagramme le long de la ligne d'intérêt (LOI). Ceci fournit des mesures RQA dépendantes du temps, permettant de détecter, par exemple, les transitions chaos-chaos. Remarque : le choix de la taille de la fenêtre peut fortement influencer la tendance de la mesure .