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semi-groupe régulier

En mathématiques , un semi-groupe régulier est un semi-groupe S dont tous les éléments sont réguliers , c'est-à-dire que pour chaque élément a de S , il existe un élément x de S...

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En mathématiques , un semi-groupe régulier est un semi-groupe S dont tous les éléments sont réguliers , c'est-à-dire que pour chaque élément a de S , il existe un élément x de S tel que . Les semi-groupes réguliers constituent l'une des classes de semi-groupes les plus étudiées, et leur structure se prête particulièrement bien à l'étude via les relations de Green .

Histoire

Les semi-groupes réguliers ont été introduits par J.A. Green dans son article influent de 1951 intitulé « Sur la structure des semi-groupes » ; c’est également dans cet article que les relations de Green ont été introduites. Le concept de régularité dans un semi-groupe a été adapté d’une condition analogue pour les anneaux , déjà considérée par John von Neumann . C’est l’étude des semi-groupes réguliers par Green qui l’a conduit à définir ses célèbres relations . Selon une note de bas de page de Green (1951), l’idée d’appliquer la notion de régularité aux semi-groupes a été initialement proposée par David Rees .

Le terme semi -groupe inversif a été historiquement utilisé comme synonyme dans les articles de Paul Dubreil ) dans les années 1950, et il est encore utilisé occasionnellement.

Les bases

Il existe deux manières équivalentes de définir un semi-groupe régulier S :

(1) pour chaque a dans S , il existe un x dans S , qui est appelé pseudoinverse , avec axa = a ;

(2) chaque élément a a au moins un inverse b , au sens où aba = a et bab = b .

Pour démontrer l'équivalence de ces définitions, supposons d'abord que S soit défini par (2). Alors b représente le x recherché dans (1). Réciproquement, si S est défini par (1), alors xax est l'inverse de a , puisque a ( xax ) a = axa ( xa ) = axa = a et ( xax ) a ( xax ) = x ( axa )( xax ) = xa ( xax ) = x ( axa ) x = xax .

L'ensemble des inverses (au sens ci-dessus) d'un élément a dans un semi-groupe S quelconque est noté V ( a ). Ainsi, une autre façon d'exprimer la définition (2) ci-dessus est de dire que dans un semi-groupe régulier, V ( a ) est non vide pour tout a ∈ S. Le produit de tout élément a avec tout b ∈ V ( a ) est toujours idempotent : abab = ab , puisque aba = a .

Exemples de semi-groupes réguliers

Chaque groupe est un semi-groupe régulier.
Chaque bande (semi-groupe idempotent) est régulière au sens de cet article, bien que ce ne soit pas ce que l'on entend par bande régulière .
Le semi-groupe bicyclique est régulier.
Tout semi-groupe de transformations complètes est régulier.
Un semi-groupe matriciel de Rees est régulier.
L' Inverses uniques et pseudoinverses uniques

Un semi-groupe régulier dont les idempotents commutent est un semi-groupe inverse , ou, de manière équivalente, tout élément de S possède un unique inverse. Pour le démontrer, soit S un semi-groupe régulier dont les idempotents commutent. Alors tout élément de S possède au moins un inverse. Supposons que a dans S possède deux inverses b et c , c'est-à-dire

aba = a , bab = b , aca = a et cac = c . De plus, ab , ba , ac et ca sont des idempotents comme ci-dessus.

Alors

b = bab = b ( aca ) b = bac ( a ) b = bac ( aca ) b = bac ( ac )( ab ) = bac ( ab )( ac ) = ba ( ca ) bac = ca ( ba ) bac = c ( aba ) bac = cabac = cac = c .

Ainsi, en faisant commuter les paires d'idempotents ab et ac , ainsi que ba et ca , on montre que l'inverse de a est unique. Réciproquement, on peut montrer que tout semi-groupe inverse est un semi-groupe régulier dans lequel les idempotents commutent.

L'existence d'un unique pseudoinverse implique l'existence d'un unique inverse, mais la réciproque est fausse. Par exemple, dans le semi-groupe inverse symétrique , la transformation vide Ø n'admet pas d'unique pseudoinverse, car Ø = Ø f Ø pour toute transformation f . L'inverse de Ø est cependant unique, car une seule transformation f satisfait la contrainte supplémentaire f = f Ø f , à savoir f = Ø. Cette remarque est valable plus généralement dans tout semi-groupe contenant zéro. De plus, si chaque élément possède un unique pseudoinverse, alors le semi-groupe est un groupe , et l'unique pseudoinverse d'un élément coïncide avec l'inverse du groupe.

Les relations de Green

Rappelons que les idéaux principaux d'un semi-groupe S sont définis à l'aide de S₁ , le semi-groupe muni de l'élément neutre ^; ceci afin de garantir qu'un élément a appartienne aux idéaux principaux à droite, à gauche et bilatère qu'il engendre. Dans un semi-groupe régulier S , cependant, un élément a = axa appartient automatiquement à ces idéaux, sans qu'il soit nécessaire de recourir à l'élément neutre. Les relations de Green peuvent donc être redéfinies pour les semi-groupes réguliers comme suit :

{\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi><mspace></mspace><mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></mrow><mspace></mspace><mi>b</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b}</annotation></semantics></math></span><img src=

Sa = Sb ;

{\displaystyle a\,{\mathcal {R}}\,b <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi><mspace></mspace><mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></mrow><mspace></mspace><mi>b</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a\,{\mathcal {R}}\,b}</annotation></semantics></math></span><img src=

aS = bS ;

{\displaystyle a\,{\mathcal {J}}\,b <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi><mspace></mspace><mrow><mrow><mi>J</mi></mrow></mrow><mspace></mspace><mi>b</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a\,{\mathcal {J}}\,b}</annotation></semantics></math></span><img src=

SaS = SbS .

Dans un semi-groupe régulier S , chaque ${\displaystyle {\mathcal {L <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {L}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {R <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {R}}}</annotation></semantics></math><img src=$ a est un élément quelconque de S et est l'inverse quelconque de a , alors a est ${\displaystyle {\mathcal {L <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {L}}}</annotation></semantics></math><img src=$ a et ${\displaystyle {\mathcal {R <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {R}}}</annotation></semantics></math><img src=$ un .

Théorème. Soit S un semi-groupe régulier ; soient a et b des éléments de S , et soit V(x) l'ensemble des inverses de x dans S. Alors

${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi><mspace></mspace><mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></mrow><mspace></mspace><mi>b</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b}</annotation></semantics></math><img src=$ dans V ( a ) et dans V ( b ) tels que a = b ;
${\displaystyle a\,{\mathcal {R}}\,b <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi><mspace></mspace><mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></mrow><mspace></mspace><mi>b</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a\,{\mathcal {R}}\,b}</annotation></semantics></math><img src=$ dans V ( a ) et dans V ( b ) tels que a = b ,
${\displaystyle a\,{\mathcal {H}}\,b <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi><mspace></mspace><mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></mrow><mspace></mspace><mi>b</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a\,{\mathcal {H}}\,b}</annotation></semantics></math><img src=$ dans V ( a ) et dans V ( b ) tels que a = b et a = b .

Si S est un semi-groupe inverse , alors l'idempotent dans chaque ${\displaystyle {\mathcal {L <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {L}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {R <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {R}}}</annotation></semantics></math><img src=$

classes spéciales de semi-groupes réguliers

Voici quelques classes particulières de semi-groupes réguliers :

Semi-groupes localement inverses : un semi-groupe régulier S est localement inverse si eSe est un semi-groupe inverse, pour chaque idempotent e .
Semi-groupes orthodoxes : un semi-groupe régulier S est orthodoxe si son sous-ensemble d' idempotents forme un sous-semi-groupe.
Semi-groupes inverses généralisés : un semi-groupe régulier S est appelé semi-groupe inverse généralisé si ses idempotents forment une bande normale, c'est-à-dire pour tous les idempotents x , y , z .

La classe des semi-groupes inverses généralisés est l' intersection de la classe des semi-groupes inverses localement et de la classe des semi-groupes orthodoxes.

Tous les semi-groupes inverses sont orthodoxes et localement inverses. La réciproque est fausse.