Échantillon maximum et minimum

En statistique , le maximum et le minimum de l'échantillon, également appelés la plus grande observation et la plus petite observation, sont les valeurs des éléments les plus grands et les plus petits d'un échantillon . Ce sont des statistiques récapitulatives de base , utilisées dans les statistiques descriptives telles que le résumé à cinq chiffres et le résumé à sept chiffres de Bowley et le graphique en boîte associé .

La valeur minimale et la valeur maximale sont les statistiques du premier et du dernier ordre (souvent notées respectivement X ₍₁₎ et X _{( n )} , pour une taille d'échantillon de n ).

Si l'échantillon contient des valeurs aberrantes , celles-ci incluent nécessairement le maximum ou le minimum de l'échantillon, ou les deux, selon qu'ils sont extrêmement élevés ou faibles. Cependant, le maximum et le minimum de l'échantillon ne doivent pas nécessairement être des valeurs aberrantes, s'ils ne sont pas inhabituellement éloignés des autres observations.

Le maximum et le minimum de l'échantillon sont les statistiques les moins robustes : ils sont les plus sensibles aux valeurs aberrantes.

Cela peut être un avantage ou un inconvénient : si les valeurs extrêmes sont réelles (et non des erreurs de mesure) et ont des conséquences réelles, comme dans les applications de la théorie des valeurs extrêmes telles que la construction de digues ou les pertes financières, alors les valeurs aberrantes (comme le montrent les extrema de l'échantillon) sont importantes. En revanche, si les valeurs aberrantes ont peu ou pas d'impact sur les résultats réels, l'utilisation de statistiques non robustes telles que les extrema de l'échantillon ne fait que brouiller les statistiques, et des alternatives robustes doivent être utilisées, telles que d'autres quantiles : les 10e et 90e percentiles (premier et dernier décile ) sont des alternatives plus robustes.

En plus d'être un élément de chaque statistique qui utilise tous les éléments de l'échantillon, les extrema d'échantillon sont des parties importantes de la plage , une mesure de dispersion, et de la plage médiane , une mesure de localisation. Ils représentent également l' écart absolu maximal : l'un d'eux est le point le plus éloigné d'un point donné, en particulier une mesure du centre telle que la médiane ou la moyenne.

Pour un ensemble d'échantillons, la fonction maximale n'est pas lisse et donc non différentiable. Pour les problèmes d'optimisation qui se produisent en statistique, il faut souvent l'approximer par une fonction lisse proche du maximum de l'ensemble.

Un maximum lisse , par exemple,

g ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) = log( exp( x ₁ ) + exp( x ₂ ) + … + exp( x _n ) )

est une bonne approximation du maximum de l'échantillon.

Le maximum et le minimum de l'échantillon sont des statistiques récapitulatives de base , montrant les observations les plus extrêmes, et sont utilisés dans le résumé à cinq chiffres et dans une version du résumé à sept chiffres et du graphique en boîte associé .

Le maximum et le minimum de l'échantillon fournissent un intervalle de prédiction non paramétrique : dans un échantillon d'une population, ou plus généralement d'une séquence échangeable de variables aléatoires, chaque observation a la même probabilité d'être le maximum ou le minimum.

Ainsi, si l'on dispose d'un échantillon et que l'on choisit une autre observation , celle-ci a alors la probabilité d'être la plus grande valeur observée jusqu'à présent, la probabilité d'être la plus petite valeur observée jusqu'à présent, et donc l'autre du temps, se situe entre le maximum et le minimum de l'échantillon de Ainsi, en désignant le maximum et le minimum de l'échantillon par M et m, cela donne un intervalle de prédiction de [ m , M ].

Par exemple, si n = 19, alors [ m , M ] donne un intervalle de prédiction de 18/20 = 90 % – 90 % du temps, la 20e observation se situe entre la plus petite et la plus grande observation observée jusqu'à présent. De même, n = 39 donne un intervalle de prédiction de 95 % et n = 199 donne un intervalle de prédiction de 99 %.

En raison de leur sensibilité aux valeurs aberrantes, les extrema de l’échantillon ne peuvent pas être utilisés de manière fiable comme estimateurs à moins que les données ne soient propres – des alternatives robustes incluent les premier et dernier déciles .

Cependant, avec des données propres ou dans des contextes théoriques, ils peuvent parfois s'avérer de très bons estimateurs, en particulier pour les distributions platykurtiques , où pour les petits ensembles de données, la plage médiane est l' estimateur le plus efficace .

Cependant , ils sont des estimateurs inefficaces de la localisation des distributions mésokurtiques, telles que la distribution normale et les distributions leptokurtiques.

Pour un échantillonnage sans remise à partir d'une distribution uniforme avec un ou deux points finaux inconnus (donc avec N inconnu, ou avec M et N inconnus), le maximum de l'échantillon, ou respectivement le maximum de l'échantillon et le minimum de l'échantillon, sont des statistiques suffisantes et complètes pour les points finaux inconnus ; ainsi, un estimateur non biaisé dérivé de ceux-ci sera un estimateur UMVU .

Si seul le point final supérieur est inconnu, le maximum de l'échantillon est un estimateur biaisé du maximum de la population, mais l'estimateur non biaisé (où m est le maximum de l'échantillon et k est la taille de l'échantillon) est l'estimateur UMVU ; voir le problème du char allemand pour plus de détails.

Si les deux points finaux sont inconnus, alors la plage d'échantillons est un estimateur biaisé pour la plage de population, mais la correction comme pour le maximum ci-dessus donne l'estimateur UMVU.

Si les deux points finaux sont inconnus, alors la plage médiane est un estimateur non biaisé (et donc UMVU) du point médian de l'intervalle (ici de manière équivalente à la médiane, à la moyenne ou à la plage médiane de la population).

La raison pour laquelle les extrema d’échantillon sont des statistiques suffisantes est que la distribution conditionnelle des échantillons non extrêmes est simplement la distribution de l’intervalle uniforme entre le maximum et le minimum de l’échantillon – une fois les points finaux fixés, les valeurs des points intérieurs n’ajoutent aucune information supplémentaire.

Les extrema de l'échantillon peuvent être utilisés pour un test de normalité simple , en particulier de kurtosis : on calcule la statistique t du maximum et du minimum de l'échantillon (on soustrait la moyenne de l'échantillon et on divise par l' écart type de l'échantillon ), et s'ils sont inhabituellement grands pour la taille de l'échantillon (conformément à la règle des trois sigma et au tableau qui y figure, ou plus précisément à une distribution t de Student ), alors le kurtosis de la distribution de l'échantillon s'écarte significativement de celui de la distribution normale.

Par exemple, un processus quotidien doit s'attendre à un événement 3σ une fois par an (jours calendaires ; une fois tous les ans et demi de jours ouvrables), tandis qu'un événement 4σ se produit en moyenne tous les 40 ans de jours calendaires, 60 ans de jours ouvrables (une fois dans une vie), des événements 5σ se produisent tous les 5 000 ans (une fois dans l'histoire enregistrée) et des événements 6σ se produisent tous les 1,5 million d'années (essentiellement jamais). Ainsi, si les extrema de l'échantillon sont à 6 sigmas de la moyenne, on a un échec significatif de la normalité.

De plus, ce test est très facile à communiquer sans statistiques impliquées.

Ces tests de normalité peuvent être appliqués si l’on est confronté à un risque de kurtosis , par exemple.

Les extrema d'échantillon jouent deux rôles principaux dans la théorie des valeurs extrêmes :

• Premièrement, ils donnent une limite inférieure pour les événements extrêmes – les événements peuvent être au moins aussi extrêmes, et pour cette taille d’échantillon ;
• deuxièmement, ils peuvent parfois être utilisés dans les estimateurs de probabilité d’événements plus extrêmes.

Il faut cependant faire preuve de prudence lorsqu'on utilise les extrema d'échantillons comme lignes directrices : dans les distributions à queue lourde ou pour les processus non stationnaires , les événements extrêmes peuvent être significativement plus extrêmes que tout événement observé précédemment. Ceci est élaboré dans la théorie du cygne noir .