Concept de solution

En théorie des jeux , un concept de solution est une règle formelle permettant de prédire la manière dont se déroulera une partie. Ces prédictions sont appelées « solutions » et décrivent les stratégies qui seront adoptées par les joueurs et, par conséquent, le résultat de la partie. Les concepts de solution les plus couramment utilisés sont les concepts d'équilibre , le plus connu étant l'équilibre de Nash .

De nombreux concepts de solution, pour de nombreux jeux, donneront lieu à plus d'une solution. Cela met en doute l'une des solutions, de sorte qu'un théoricien des jeux peut appliquer un raffinement pour réduire le nombre de solutions. Chaque concept de solution successif présenté ci-dessous améliore son prédécesseur en éliminant les équilibres invraisemblables dans les jeux plus riches.

Soit la classe de tous les jeux et, pour chaque jeu , soit l'ensemble des profils de stratégie de . Un concept solution est un élément du produit direct ie ., une fonction telle que pour tout

Dans ce concept de solution, les joueurs sont supposés rationnels et donc les stratégies strictement dominées sont éliminées de l'ensemble des stratégies qui pourraient être jouées. Une stratégie est strictement dominée lorsqu'il existe une autre stratégie disponible pour le joueur qui a toujours un gain plus élevé, quelles que soient les stratégies choisies par les autres joueurs. (Les stratégies strictement dominées sont également importantes dans la recherche d'arbre de jeu minimax .) Par exemple, dans le dilemme du prisonnier (à période unique) (illustré ci-dessous), coopérer est strictement dominé par défection pour les deux joueurs car l'un ou l'autre joueur a toujours intérêt à jouer défection , indépendamment de ce que fait son adversaire.

Un équilibre de Nash est un profil de stratégie (un profil de stratégie spécifie une stratégie pour chaque joueur, par exemple dans le jeu du dilemme du prisonnier ci-dessus ( coopérer , faire défection ) spécifie que le prisonnier 1 joue coopérer et le prisonnier 2 joue faire défection ) dans lequel chaque stratégie jouée par chaque agent (agent i) est une meilleure réponse à chaque autre stratégie jouée par tous les autres adversaires (agents j pour chaque j≠i). Une stratégie d'un joueur est une meilleure réponse à la stratégie d'un autre joueur s'il n'y a pas d'autre stratégie qui pourrait être jouée et qui donnerait un gain plus élevé dans toute situation dans laquelle la stratégie de l'autre joueur est jouée.

Dans certains jeux, il existe plusieurs équilibres de Nash, mais tous ne sont pas réalistes. Dans les jeux dynamiques, l'induction rétrospective peut être utilisée pour éliminer les équilibres de Nash irréalistes. L'induction rétrospective suppose que les joueurs sont rationnels et prendront les meilleures décisions en fonction de leurs attentes futures. Cela élimine les menaces non crédibles, c'est-à-dire les menaces qu'un joueur ne mettrait pas à exécution s'il était amené à le faire.

Prenons par exemple un jeu dynamique entre une entreprise en place et un entrant potentiel dans le secteur. L'entreprise en place détient un monopole et souhaite conserver sa part de marché. Si l'entrant entre sur le marché, elle peut soit le combattre, soit l'accommoder. Si l'entreprise en place s'accommode de lui, l'entrant entrera sur le marché et réalisera des bénéfices. Si l'entreprise en place se bat, elle baissera ses prix, ce qui entraînera la faillite de l'entrant (ce qui entraînera des coûts de sortie) et réduira ses propres bénéfices.

La meilleure réponse pour le titulaire si le nouveau venu entre est de s'adapter, et la meilleure réponse pour le nouveau venu si le titulaire s'adapte est d'entrer. Cela aboutit à un équilibre de Nash. Cependant, si le titulaire choisit de se battre, la meilleure réponse pour le nouveau venu est de ne pas entrer. Si le nouveau venu n'entre pas, peu importe ce que le titulaire choisit de faire. Par conséquent, la lutte peut être considérée comme la meilleure réponse pour le titulaire si le nouveau venu n'entre pas, ce qui aboutit à un autre équilibre de Nash.

Cependant, ce deuxième équilibre de Nash peut être éliminé par induction rétrospective, car il repose sur une menace non crédible de la part du titulaire. Au moment où le titulaire atteint le nœud de décision où il peut choisir de se battre, il serait irrationnel de le faire car l'entrant est déjà entré. Par conséquent, l'induction rétrospective élimine cet équilibre de Nash irréaliste.

Voir aussi :

• Théorie de la politique monétaire
• Concours Stackelberg

Une généralisation de l'induction rétrograde est la perfection du sous-jeu. L'induction rétrograde suppose que tout jeu futur sera rationnel. Dans les équilibres parfaits du sous-jeu, le jeu dans chaque sous-jeu est rationnel (en particulier un équilibre de Nash). L'induction rétrograde ne peut être utilisée que dans les jeux (finis) de longueur définie et ne peut pas être appliquée aux jeux avec information imparfaite . Dans ces cas, la perfection du sous-jeu peut être utilisée. L'équilibre de Nash éliminé décrit ci-dessus est imparfait du sous-jeu car il ne s'agit pas d'un équilibre de Nash du sous-jeu qui commence au nœud atteint une fois que l'entrant est entré.

Parfois, la perfection des sous-jeux n'impose pas une restriction suffisamment importante aux résultats déraisonnables. Par exemple, comme les sous-jeux ne peuvent pas traverser les ensembles d'informations , un jeu d'informations imparfaites peut n'avoir qu'un seul sous-jeu - lui-même - et donc la perfection des sous-jeux ne peut pas être utilisée pour éliminer les équilibres de Nash. Un équilibre bayésien parfait (EBP) est une spécification des stratégies et des croyances des joueurs sur le nœud de l'ensemble d'informations qui a été atteint par le jeu. Une croyance sur un nœud de décision est la probabilité qu'un joueur particulier pense que ce nœud est ou sera en jeu (sur le chemin d'équilibre ). En particulier, l'intuition de l'EBP est qu'il spécifie des stratégies de joueur qui sont rationnelles étant donné les croyances des joueurs qu'il spécifie et que les croyances qu'il spécifie sont cohérentes avec les stratégies qu'il spécifie.

Dans un jeu bayésien, une stratégie détermine ce qu'un joueur joue à chaque ensemble d'informations contrôlé par ce joueur. L'exigence selon laquelle les croyances sont cohérentes avec les stratégies n'est pas spécifiée par la perfection du sous-jeu. Par conséquent, l'EPP est une condition de cohérence sur les croyances des joueurs. Tout comme dans un équilibre de Nash, aucune stratégie de joueur n'est strictement dominée, dans un EPP, pour tout ensemble d'informations, aucune stratégie de joueur n'est strictement dominée à partir de cet ensemble d'informations. C'est-à-dire que pour chaque croyance que le joueur pourrait avoir à cet ensemble d'informations, il n'existe aucune stratégie qui génère un gain attendu plus élevé pour ce joueur. Contrairement aux concepts de solution ci-dessus, aucune stratégie de joueur n'est strictement dominée à partir de tout ensemble d'informations, même s'il est hors du chemin d'équilibre. Ainsi, dans l'EPP, les joueurs ne peuvent pas menacer de jouer des stratégies qui sont strictement dominées à partir de tout ensemble d'informations hors du chemin d'équilibre.

Le terme bayésien dans le nom de ce concept de solution fait allusion au fait que les joueurs mettent à jour leurs croyances selon le théorème de Bayes . Ils calculent des probabilités en fonction de ce qui s'est déjà produit dans le jeu.

L'induction directe est ainsi appelée parce que, tout comme l'induction inverse suppose que le jeu futur sera rationnel, l'induction directe suppose que le jeu passé était rationnel. Lorsqu'un joueur ne sait pas quel type est un autre joueur (c'est-à-dire qu'il y a des informations imparfaites et asymétriques), ce joueur peut se faire une idée du type de ce joueur en observant les actions passées de ce joueur. Par conséquent, la croyance formée par ce joueur sur la probabilité que l'adversaire soit d'un certain type est basée sur le jeu passé de cet adversaire qui était rationnel. Un joueur peut choisir de signaler son type par ses actions.

Kohlberg et Mertens (1986) ont introduit le concept de solution d'équilibre stable, un raffinement qui satisfait l'induction directe. Un contre-exemple a été trouvé où un tel équilibre stable ne satisfaisait pas l'induction inverse. Pour résoudre le problème, Jean-François Mertens a introduit ce que les théoriciens des jeux appellent maintenant le concept d'équilibre stable de Mertens , probablement le premier concept de solution satisfaisant à la fois l'induction directe et l'induction inverse.

L'induction directe donne une solution unique au jeu de l'argent brûlant .