Paquet de sphères

Dans le domaine mathématique de la topologie , un fibré sphérique est un fibré de fibres dans lequel les fibres sont des sphères de dimension n . De même, dans un fibré de disques, les fibres sont des disques . D'un point de vue topologique, il n'y a pas de différence entre les fibrés sphériques et les fibrés de disques : c'est une conséquence de l' astuce d'Alexander , qui implique ${\displaystyle S^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>S</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle D^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle D^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {BTop} (D^{n+1})\simeq \operatorname {BTop} (S^{n}). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>BTop</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>≃</mo> <mi>BTop</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle om_opérateur {BTop} (D^{n+1})\simeq om_opérateur {BTop} (S^{n}).}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Un exemple de fibré sphérique est le tore, qui est orientable et possède des fibres sur un espace de base. La bouteille de Klein non orientable possède également des fibres sur un espace de base, mais présente une torsion qui produit une inversion d'orientation lorsque l'on suit la boucle autour de l'espace de base. ${\displaystyle S^{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>S</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S^{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S^{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>S</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S^{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S^{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>S</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S^{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S^{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>S</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S^{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Un fibré circulaire est un cas particulier d'un fibré sphérique.

Orientation d'un faisceau de sphères

Un fibré sphérique qui est un espace produit est orientable, comme tout fibré sphérique sur un espace simplement connexe.

Si E est un fibré vectoriel réel sur un espace X et si E est donné une orientation , alors un fibré sphérique formé à partir de E , Sph( E ), hérite de l'orientation de E .

Fibration sphérique

Une fibration sphérique , une généralisation du concept de fibré sphérique, est une fibration dont les fibres sont homotopiques et équivalentes à des sphères. Par exemple, la fibration

{\displaystyle \operatorname {BTop} (\mathbb {R} ^{n}) o \operatorname {BTop} (S^{n}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>BTop</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>→</mo> <mi>BTop</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {BTop} (\mathbb {R} ^{n}) o \operatorname {BTop} (S^{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

possède des fibres homotopiques équivalentes à S ⁿ .