Worldlex Wiki Dans l'espace euclidien tridimensionnel, l'empilement le plus dense de sphères identiques est obtenu par une famille de structures appelées structures compactes . Une méthode pour générer une telle structure est la suivante : considérons un plan A sur lequel sont disposés de manière compacte des sphères. Pour trois sphères voisines quelconques, une quatrième sphère peut être placée au-dessus, dans le creux formé par les trois sphères inférieures. En répétant cette opération pour la moitié des creux d'un second plan situé au-dessus du premier, on crée une nouvelle couche compacte. Deux options sont possibles : B et C. Supposons que l’on choisisse B. Alors, la moitié des cavités de B se situe au-dessus des centres des billes de A, et l’autre moitié au-dessus des cavités de A non utilisées pour B. Ainsi, les billes d’une troisième couche peuvent être placées soit directement au-dessus des billes de la première, formant une couche de type A, soit au-dessus des cavités de la première couche non occupées par la deuxième, formant une couche de type C. La combinaison de couches de types A, B et C produit diverses structures compactes.
Deux arrangements simples au sein de la famille des structures compactes correspondent à des arrangements réguliers. L'un est appelé empilement cubique à faces centrées (ou CFC, qui est un réseau cristallin) – où les couches alternent selon la séquence ABCABC... L'autre est appelé empilement hexagonal compact (HC, qui, bien qu'étant un arrangement régulier, n'est pas un réseau cristallin), où les couches alternent selon la séquence ABAB... Cependant, de nombreuses séquences d'empilement de couches sont possibles (ABAC, ABCBA, ABCBAC, etc.) et génèrent toujours une structure compacte. Dans tous ces arrangements, chaque sphère est en contact avec 12 sphères voisines , et la densité moyenne est de
En 1611, Johannes Kepler conjectura que cette densité était la plus élevée possible parmi les arrangements réguliers et irréguliers – cette conjecture devint la conjecture de Kepler . Carl Friedrich Gauss démontra en 1831 que ces empilements présentaient la densité la plus élevée parmi tous les empilements de réseau possibles. En 1998, Thomas Callister Hales , suivant l'approche suggérée par László Fejes Tóth en 1953, annonça une démonstration de la conjecture de Kepler. La démonstration de Hales est une démonstration par exhaustion impliquant la vérification de nombreux cas individuels à l'aide de calculs informatiques complexes. Les examinateurs se dirent « sûrs à 99 % » de la validité de la démonstration de Hales. Le 10 août 2014, Hales annonça l'achèvement d'une démonstration formelle utilisant une vérification automatisée des preuves , levant ainsi tout doute.
Autres empilements cristallins courants
D'autres empilements de réseaux sont souvent rencontrés dans les systèmes physiques. Il s'agit notamment du réseau cubique avec une densité de 0,5236 , l'arrangement hexagonal avec une densité de27 ≈0,6046 et l'arrangement tétraédrique avec une densité de3 /16 ≈0,3401 .
Garnitures bloquées à faible densité
Les empilements où toutes les sphères sont contraintes par leurs voisines à rester à une même position sont dits rigides ou bloqués . L'empilement régulier de sphères strictement bloqué (mécaniquement stable même en tant que système fini) présentant la plus faible densité connue est un cristal cubique à faces centrées dilué (« tunnelisé ») d'une densité de seulement 2 /9 ≈ 0,49365 . L'empilement régulier bloqué le plus lâche connu a une densité d'environ 0,555.
Emballage irrégulier
Le problème d'empilement de sphères est la version tridimensionnelle d'une classe de problèmes d'empilement de billes en dimensions arbitraires. En deux dimensions, le problème équivalent consiste à empiler des cercles dans un plan. En une dimension, il s'agit d'empiler des segments de droite dans un univers linéaire.
Les empilements de hypersphères les plus denses sont connus en dimensions 1 à 8 et 24. On connaît comparativement peu de choses sur les empilements d'hypersphères hors réseau, le résultat optimal n'étant connu qu'en dimensions 1 à 3, 8 et 24 ; il est possible qu'en certaines dimensions, l'empilement le plus dense soit irrégulier. Cette hypothèse est étayée par le fait qu'en certaines dimensions (par exemple 10), l'empilement irrégulier le plus dense connu est plus dense que l'empilement régulier le plus dense connu.
En 2016, Maryna Viazovska a annoncé une preuve que le réseau E 8 , qui a une densité de remplissage de
Une autre piste de recherche en grande dimension consiste à déterminer des bornes asymptotiques pour la densité des empilements les plus denses. On sait que pour de grandes valeurs a une densité de . (pour une certaine constante . Des bornes conjecturales se situent entre ces deux valeurs. Dans une prépublication de 2023, Marcelo Campos, Matthew Jenssen, Marcus Michelen et Julian Sahasrabudhe ont annoncé une amélioration de la borne inférieure de la densité maximale à
Empilement inégal de sphères
De nombreux problèmes en chimie et en physique sont liés à des problèmes d'empilement où l'on dispose de sphères de différentes tailles. On peut alors choisir entre séparer les sphères en régions d'empilement compact de sphères identiques, ou combiner les sphères de tailles différentes en un empilement composé ou interstitiel . Lorsque l'on dispose de nombreuses tailles de sphères (ou d'une distribution de tailles ), le problème devient rapidement insoluble ; toutefois, certaines études sur les sphères dures binaires (deux tailles) existent.
Lorsque la seconde sphère est beaucoup plus petite que la première, il est possible d'agencer les grandes sphères de manière compacte, puis d'insérer les petites sphères dans les interstices octaédriques et tétraédriques. La densité de cet empilement interstitiel dépend fortement du rapport des rayons, mais à la limite des rapports de taille extrêmes, les petites sphères peuvent remplir les interstices avec la même densité que les grandes sphères. Même si les grandes sphères ne sont pas disposées de manière compacte, il est toujours possible d'insérer des sphères plus petites, jusqu'à un certain nombre de fois.0,29099 du rayon de la plus grande sphère
Lorsque la plus petite sphère a un rayon supérieur àLorsque le rayon de la sphère la plus grande atteint0,659 786 .
Des limites supérieures pour la densité qui peuvent être obtenues dans de tels empilements binaires ont également été obtenues en utilisant un analogue continu de la hiérarchie de la somme des carrés des programmes semi-définis .
Dans de nombreuses situations chimiques, comme les cristaux ioniques , la stœchiométrie est imposée par les charges des ions constitutifs. Cette contrainte supplémentaire sur l'empilement, associée à la nécessité de minimiser l' énergie coulombienne des charges en interaction, conduit à une diversité d'arrangements optimaux.
La limite supérieure de la densité d'un empilement de sphères strictement bloquées, quel que soit leur ensemble de rayons, est de 1 ; l'empilement apollonien en est un exemple. La limite inférieure est de 0 ; l'empilement dionysiaque en est un exemple.
Espace hyperbolique
Bien que le concept de cercles et de sphères puisse être étendu à l'espace hyperbolique , la recherche de l'empilement le plus dense devient beaucoup plus complexe. Dans un espace hyperbolique, le nombre de sphères pouvant entourer une autre sphère est illimité (par exemple, les cercles de Ford peuvent être vus comme un arrangement de cercles hyperboliques identiques, chaque cercle étant entouré d'une infinité d'autres cercles). La notion de densité moyenne devient également beaucoup plus difficile à définir avec précision. Les empilements les plus denses dans tout espace hyperbolique sont presque toujours irréguliers.
Malgré cette difficulté, K. Böröczky fournit une borne supérieure universelle pour la densité des empilements de sphères dans l'espace hyperbolique à n dimensions, où n ≥ 2. En trois dimensions, la borne de Böröczky est approximativement85,327 613 % , et est réalisé par l’ empilement horosphérique du nid d’abeille tétraédrique d’ordre 6 avec le symbole de Schläfli } . Outre cette configuration, au moins trois autres empilements horosphériques sont connus dans l’espace hyperbolique tridimensionnel qui réalisent la limite supérieure de densité.
Se toucher par paires, triplés et quadruplés
Le graphe de contact d'un empilement fini quelconque de boules unitaires est le graphe dont les sommets correspondent aux éléments de l'empilement et dont deux sommets sont reliés par une arête si les deux éléments correspondants se touchent. La cardinalité de l'ensemble des arêtes du graphe de contact donne le nombre de paires de boules en contact, le nombre de 3-cycles dans le graphe de contact donne le nombre de triplets en contact, et le nombre de tétraèdres dans le graphe de contact donne le nombre de quadruplets en contact (en général, pour un graphe de contact associé à un empilement de sphères en dimension n , la cardinalité de l'ensemble des n -simplexes dans le graphe de contact donne le nombre de ( n + 1)-uplets en contact dans l'empilement de sphères). Dans le cas de l'espace euclidien tridimensionnel, des majorations non triviales du nombre de paires, de triplets et de quadruplets en contact ont été démontrées par Karoly Bezdek et Samuel Reid à l'Université de Calgary.
Le problème consistant à trouver la disposition de n sphères identiques qui maximise le nombre de points de contact entre les sphères est connu sous le nom de « problème des sphères collantes ». Le maximum est connu pour n ≤ 11, et seules des valeurs conjecturales sont connues pour n plus grand .
Autres espaces
L'empilement de sphères aux sommets d'un hypercube ( les sphères étant définies par la distance de Hamming ) correspond à la conception de codes correcteurs d'erreurs : si les sphères ont un rayon t , leurs centres sont les mots de code d'un code correcteur d'erreurs de dimension (2t + 1 ). Les empilements de sphères sur un réseau correspondent à des codes linéaires. Il existe d'autres relations, plus subtiles, entre l'empilement euclidien de sphères et les codes correcteurs d'erreurs. Par exemple, le code binaire de Golay est étroitement lié au réseau de Leech à 24 dimensions.
Pour plus de détails sur ces connexions, voir le livre Sphere Packings, Lattices and Groups de Conway et Sloane .