Méthode des étapes fractionnées

En analyse numérique , la méthode des étapes fractionnées ( de Fourier ) est une méthode numérique pseudo-spectrale utilisée pour résoudre des équations aux dérivées partielles non linéaires comme l' équation de Schrödinger non linéaire . Le nom vient de deux raisons. Tout d'abord, la méthode repose sur le calcul de la solution par petites étapes et sur le traitement séparé des étapes linéaires et non linéaires (voir ci-dessous). Ensuite, il est nécessaire d' effectuer une transformation de Fourier dans les deux sens car l'étape linéaire est réalisée dans le domaine fréquentiel tandis que l'étape non linéaire est réalisée dans le domaine temporel .

Un exemple d'utilisation de cette méthode est dans le domaine de la propagation des impulsions lumineuses dans les fibres optiques, où l'interaction des mécanismes linéaires et non linéaires rend difficile la recherche de solutions analytiques générales. Cependant, la méthode des étapes fractionnées fournit une solution numérique au problème. Une autre application de la méthode des étapes fractionnées qui gagne beaucoup de terrain depuis les années 2010 est la simulation de la dynamique du peigne de fréquences Kerr dans les microrésonateurs optiques . La relative facilité de mise en œuvre de l' équation de Lugiato-Lefever avec un coût numérique raisonnable, ainsi que son succès dans la reproduction des spectres expérimentaux ainsi que dans la prédiction du comportement des solitons dans ces microrésonateurs ont rendu la méthode très populaire.

Considérons, par exemple, l’ équation non linéaire de Schrödinger

où décrit l'enveloppe d'impulsion dans le temps à la position spatiale . L'équation peut être divisée en une partie linéaire,

et une partie non linéaire,

Les parties linéaires et non linéaires ont toutes deux des solutions analytiques, mais l' équation de Schrödinger non linéaire contenant les deux parties n'a pas de solution analytique générale.

Cependant, si l' on ne fait qu'un « petit » pas le long de , alors les deux parties peuvent être traitées séparément avec seulement une « petite » erreur numérique. On peut donc d'abord faire un petit pas non linéaire,

en utilisant la solution analytique. Notons que cet ansatz impose et par conséquent .

L'étape de dispersion a une solution analytique dans le domaine fréquentiel , il faut donc d'abord effectuer une transformation de Fourier en utilisant

où est la fréquence centrale de l'impulsion. On peut montrer qu'en utilisant la définition ci-dessus de la transformée de Fourier , la solution analytique à l'étape linéaire, commutée avec la solution du domaine fréquentiel pour l'étape non linéaire, est

En prenant la transformée de Fourier inverse de on obtient ; l'impulsion s'est ainsi propagée sur un petit pas . En répétant les fois ci-dessus, l'impulsion peut se propager sur une longueur de .

L'exemple ci-dessus montre comment utiliser la méthode pour propager une solution vers l'avant dans l'espace ; cependant, de nombreuses applications de physique, telles que l'étude de l'évolution d'un paquet d'ondes décrivant une particule, nécessitent de propager la solution vers l'avant dans le temps plutôt que dans l'espace. L'équation de Schrödinger non linéaire, lorsqu'elle est utilisée pour régir l'évolution temporelle d'une fonction d'onde, prend la forme

où décrit la fonction d'onde à la position et au temps . Notez que

La solution formelle de cette équation est une exponentielle complexe, nous avons donc que

Comme et sont des opérateurs, ils ne commutent pas en général. Cependant, la formule de Baker-Campbell-Hausdorff peut être appliquée pour montrer que l'erreur de les traiter comme s'ils le faisaient sera de l'ordre de grandeur si nous prenons un pas de temps petit mais fini . Nous pouvons donc écrire

La partie de cette équation impliquant peut être calculée directement en utilisant la fonction d'onde à l'instant , mais pour calculer l'exponentielle impliquant nous utilisons le fait que dans l'espace des fréquences, l'opérateur de dérivée partielle peut être converti en un nombre en remplaçant , où est la fréquence (ou plus exactement le nombre d'onde, car nous traitons d'une variable spatiale et transformons donc en un espace de fréquences spatiales, c'est-à-dire de nombres d'onde) associée à la transformée de Fourier de ce sur quoi on opère. Ainsi, nous prenons la transformée de Fourier de

récupérer le numéro d'onde associé, calculer la quantité

et l'utiliser pour trouver le produit des exponentielles complexes impliquant et dans l'espace des fréquences comme ci-dessous :

où désigne une transformée de Fourier. Nous inversons ensuite cette expression par transformation de Fourier pour trouver le résultat final dans l'espace physique, ce qui donne l'expression finale

Une variante de cette méthode est la méthode de Fourier à pas fractionnés symétrisée, qui prend un demi-pas de temps en utilisant un opérateur, puis prend un pas de temps complet avec seulement l'autre, puis prend un deuxième demi-pas de temps à nouveau avec seulement le premier. Cette méthode est une amélioration de la méthode générique de Fourier à pas fractionnés car son erreur est de l'ordre de 0 pour un pas de temps . Les transformées de Fourier de cet algorithme peuvent être calculées relativement rapidement en utilisant la transformée de Fourier rapide (FFT) . La méthode de Fourier à pas fractionnés peut donc être beaucoup plus rapide que les méthodes aux différences finies classiques .