Distribution normale divisée

En théorie des probabilités et en statistique , la distribution normale divisée, également connue sous le nom de distribution normale en deux parties, résulte de la jonction au niveau du mode des moitiés correspondantes de deux distributions normales ayant le même mode mais des variances différentes . Johnson et al. affirment que cette distribution a été introduite par Gibbons et Mylroie et par John. Mais ce sont deux des nombreuses redécouvertes indépendantes de la Zweiseitige Gauss'sche Gesetz introduites dans la Kollektivmasslehre (1897) publiée à titre posthume de Gustav Theodor Fechner (1801-1887), voir Wallis (2014). Une autre redécouverte est apparue plus récemment dans une revue financière.

La distribution normale divisée résulte de la fusion de deux moitiés opposées de deux fonctions de densité de probabilité (PDF) de distributions normales dans leur mode commun .

La PDF de la distribution normale divisée est donnée par

où

La distribution normale divisée résulte de la fusion de deux moitiés de distributions normales. Dans un cas général, les distributions normales « parentes » peuvent avoir des variances différentes, ce qui implique que la PDF jointe ne serait pas continue . Pour garantir que la PDF résultante s'intègre à 1, la constante de normalisation A est utilisée.

Dans un cas particulier où la distribution normale divisée se réduit à une distribution normale avec variance .

Lorsque σ ₂ ≠σ ₁ la constante A est différente de la constante de la distribution normale. Cependant, lorsque les constantes sont égales.

Le signe de son troisième moment central est déterminé par la différence (σ ₂ -σ ₁ ). Si cette différence est positive, la distribution est asymétrique vers la droite et si elle est négative, elle est asymétrique vers la gauche.

D'autres propriétés de la densité normale divisée ont été discutées par Johnson et al. et Julio.

La formulation discutée ci-dessus provient de John. La littérature propose deux paramétrisations alternatives mathématiquement équivalentes. Britton, Fisher et Whitley proposent une paramétrisation en termes de mode, de dispersion et d'asymétrie normée, notée . Le paramètre μ est le mode et a un équivalent au mode dans la formulation de John. Le paramètre σ ² >0 renseigne sur la dispersion (échelle) et ne doit pas être confondu avec la variance. Le troisième paramètre, γ ∈ (-1,1), est l'asymétrie normalisée.

La deuxième paramétrisation alternative est utilisée dans la communication de la Banque d'Angleterre et est écrite en termes de mode, de dispersion et d'asymétrie non normalisée et est notée . Dans cette formulation, le paramètre μ est le mode et est identique à celui de John et de Britton, Fisher et Whitley . Le paramètre σ ² informe sur la dispersion (échelle) et est le même que dans la formulation de Britton, Fisher et Whitley. Le paramètre ξ est égal à la différence entre la moyenne et le mode de la distribution et peut être considéré comme une mesure non normalisée de l'asymétrie.

Les trois paramétrisations sont mathématiquement équivalentes, ce qui signifie qu'il existe une relation stricte entre les paramètres et qu'il est possible de passer d'une paramétrisation à une autre. Les relations suivantes sont valables :

La généralisation multivariée de la distribution normale divisée a été proposée par Villani et Larsson. Ils supposent que chacune des composantes principales a une distribution normale divisée univariée avec un ensemble différent de paramètres μ, σ ₂ et σ ₁ .

John propose d'estimer les paramètres en utilisant la méthode du maximum de vraisemblance . Il montre que la fonction de vraisemblance peut être exprimée sous une forme intensive, dans laquelle les paramètres d'échelle σ ₁ et σ ₂ sont une fonction du paramètre de localisation μ. La vraisemblance dans sa forme intensive est :

et doit être maximisé numériquement par rapport à un seul paramètre μ seulement.

Étant donné l'estimateur du maximum de vraisemblance, les autres paramètres prennent les valeurs :

$\backslash mu\; \}(x\_\{i\}-\backslash mu\; )^\{2\}\; ight]^\{2/3\},{\hat{\sigma }}_2^2=\frac{-L\left(\mu \right)}{N}{\left[\sum _{x_i:x_i>\mu }(x_i-\mu {)}^2\right]}^{2/3},$\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\droit]^{2/3},}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0f2e6d01e72d889d694b3f389deb6507bdd379">

où N est le nombre d'observations.

Villani et Larsson proposent d'utiliser soit la méthode du maximum de vraisemblance , soit l'estimation bayésienne et fournissent des résultats analytiques pour les cas univariés et multivariés.

La distribution normale fractionnée a été principalement utilisée en économétrie et dans les séries chronologiques. Un domaine d'application remarquable est la construction du graphique en éventail , une représentation de la distribution des prévisions d'inflation communiquée par les banques centrales ciblant l'inflation dans le monde entier.