Transformation de Stirling

En mathématiques combinatoires , la transformée de Stirling d'une suite { a _n : n = 1, 2, 3, ... } de nombres est la suite { b _n : n = 1, 2, 3, ... } donnée par

{\displaystyle b_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}} ight\}a_{k <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>b</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><mo>{</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>n</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k</mi></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>}</mo></mrow><msub><mi>un</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle b_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}} ight\}a_{k}}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}} ight\ <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>{</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>n</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k</mi></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>}</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}} ight\}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle k <semantics><mrow><mstyle><mi>k</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k}</annotation></semantics></math><img src=$

La transformation inverse est

{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{n-k}\left[{n \atop k} ight]b_{k <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>un</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup><mrow><mo>[</mo><mrow><mfrac><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac></mrow><mo>]</mo></mrow><msub><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{nk}\left[{n \atop k} ight]b_{k}}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${ extstyle (-1)^{n-k}\left[{n \atop k} ight] <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup><mrow><mo>[</mo><mrow><mfrac><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac></mrow><mo>]</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{ extstyle (-1)^{nk}\left[{n \atop k} ight]}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \left[{n \atop k} ight] <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>[</mo><mrow><mfrac><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac></mrow><mo>]</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left[{n \atop k} ight]}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle k <semantics><mrow><mstyle><mi>k</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k}</annotation></semantics></math><img src=$

Bernstein et Sloane (cités ci-dessous) affirment : « Si a _n est le nombre d'objets dans une certaine classe avec des points étiquetés 1, 2, ..., n (avec toutes les étiquettes distinctes, c'est-à-dire des structures étiquetées ordinaires), alors b _n est le nombre d'objets avec des points étiquetés 1, 2, ..., n (avec des répétitions autorisées). »

{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><msub><mi>un</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow></mfrac></mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}}</annotation></semantics></math></span><img src=

est une série formelle de puissances , et

{\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n <semantics><mrow><mstyle><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><msub><mi>b</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow></mfrac></mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}}</annotation></semantics></math></span><img src=

avec a _n et b _n comme ci-dessus, alors

{\displaystyle g(x)=f(e^{x}-1) <semantics><mrow><mstyle><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g(x)=f(e^{x}-1)}</annotation></semantics></math></span><img src=

De même, la transformation inverse conduit à l' identité de la fonction génératrice

{\displaystyle f(x)=g(\log(1+x)) <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(x)=g(\log(1+x))}</annotation></semantics></math></span><img src=