Worldlex Wiki En mathématiques , la fonction successeur , ou opération successeur, associe à un nombre naturel le suivant. La fonction successeur est notée , donc . Par exemple, et . La fonction successeur est l'un des éléments de base utilisés pour construire une fonction récursive primitive .
Dans le contexte d'une hyperopération zéro, les opérations successeurs sont également appelées zération . Dans ce contexte, l'extension de la zération est l'addition , définie comme une succession répétée.
Aperçu
La fonction successeur fait partie du langage formel utilisé pour énoncer les axiomes de Peano , qui formalisent la structure des nombres naturels. Dans cette formalisation, la fonction successeur est une opération primitive sur les nombres naturels, à l'aide de laquelle les nombres naturels usuels et l'addition sont définis. 1 est défini comme , 2 comme , etc. ; et l'addition sur les nombres naturels est définie récursivement par :
On peut utiliser cette méthode pour calculer l'addition de deux nombres naturels quelconques. Par exemple :
Plusieurs constructions des nombres naturels dans le cadre de la théorie des ensembles ont été proposées. Par exemple, John von Neumann construit le nombre 0 comme l' ensemble vide et son successeur comme l'ensemble . L' axiome de l'infini garantit alors l'existence d'un ensemble contenant 0 et fermé par rapport à . Le plus petit de ces ensembles est noté , et ses éléments sont appelés nombres naturels .
La fonction successeur est la base de niveau 0 de la hiérarchie infinie de Grzegorczyk des hyperopérations , utilisée pour construire l'addition , la multiplication , l'exponentiation , la tétration , etc. Elle a été étudiée en 1986 dans une enquête portant sur la généralisation du modèle pour les hyperopérations.
C'est également l'une des fonctions primitives utilisées dans la caractérisation de la calculabilité par des fonctions récursives .