Prise en charge d'un module

En algèbre commutative , le support d'un module M sur un anneau commutatif R est l'ensemble de tous les idéaux premiers de R tels que (c'est-à-dire que la localisation de M en n'est pas égale à zéro). Il est noté . Le support est, par définition, un sous-ensemble du spectre de R . ${\displaystyle {\mathfrak {p <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { mathfrak {p}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}} eq 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle M_ { mathfrak {p}} neq 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\mathfrak {p <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { mathfrak {p}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Supp</mi> <mo>⁡</mo> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Supp} M}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Propriétés

${\displaystyle M=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Soit une courte suite exacte de R -modules. Alors ${\displaystyle 0 o M' o M o M'' o 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>→</mo> <msup> <mi>M</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>→</mo> <mi>M</mi> <mo>→</mo> <msup> <mi>M</mi> <mo>$ ${\displaystyle 0\à M'\à M\à M''\à 0 <mrow> <mstyle> <mi>Supp</mi> <mo>⁡</mo> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mi>Supp</mi> <mo>⁡</mo> <msup> <mi>M</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>∪</mo> <mi>Supp</mi> <mo>⁡</mo> <msup> <mi>M</mi> <mo>$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M''. </span referrerpolicy=$

Notez que cette union ne peut pas être une union disjointe .

Si est une somme de sous-modules , alors ${\displaystyle M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle M_{\lambda <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M_{\lambda }}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} M=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} M_{\lambda }. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Supp</mi> <mo>⁡</mo> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>⋃</mo> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> </munder> <mi>Supp</mi> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Supp} M=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} M_{\lambda }.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Si est un R -module de type fini , alors est l'ensemble de tous les idéaux premiers contenant l' annihilateur de M . En particulier, il est fermé dans la topologie de Zariski sur Spec R . ${\displaystyle M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Supp</mi> <mo>⁡</mo> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Supp} M}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Si sont des R -modules de type fini, alors ${\displaystyle M,N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> <mo>,</mo> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M,N}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle \operatorname {Supp} (M\otimes _{R}N)=\operatorname {Supp} M\cap \operatorname {Supp} N. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Supp</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>M</mi> <msub> <mo>⊗</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mi>N</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>Supp</mi> <mo>⁡</mo> <mi>M</mi> <mo>∩</mo> <mi>Supp</mi> <mo>⁡</mo> <mi>N</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Supp} (M\otimes _{R}N)=\operatorname {Supp} M\cap \operatorname {Supp} N.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Si est un R -module de type fini et I est un idéal de R , alors est l'ensemble de tous les idéaux premiers contenant Ceci est . ${\displaystyle M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M/IM) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Supp</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>M</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>je</mi> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Supp} (M/IM)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle I+\operatorname {Ann} M. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>je</mi> <mo>+</mo> <mi>Anne</mi> <mo>⁡</mo> <mi>M</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle I+\operatorname {Ann} M.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V(I)\cap \operatorname {Supp} M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>V</mi> <mo>(</mo> <mi>je</mi> <mo>)</mo> <mo>∩</mo> <mi>Supp</mi> <mo>⁡</mo> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V(I)\cap om_opérateur {Supp} M}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Support d'un faisceau quasi-cohérent

Si F est un faisceau quasi-cohérent sur un schéma X , le support de F est l'ensemble de tous les points x dans X tels que la tige F _x soit non nulle. Cette définition est similaire à la définition du support d'une fonction sur un espace X , et c'est la raison pour laquelle on utilise le mot « support ». La plupart des propriétés du support se généralisent mot pour mot des modules aux faisceaux quasi-cohérents. Par exemple, le support d'un faisceau cohérent (ou plus généralement, d'un faisceau de type fini) est un sous-espace fermé de X .

Si M est un module sur un anneau R , alors le support de M en tant que module coïncide avec le support du faisceau quasi-cohérent associé sur le schéma affine Spec R . De plus, si est un revêtement affine d'un schéma X , alors le support d'un faisceau quasi-cohérent F est égal à la réunion des supports des modules associés M _α sur chaque R _α . ${\displaystyle { ilde {M <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>M</mi> <mo>~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle { ilde {M}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (R_{\alpha })\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <msub> <mi>Tu</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>Spécifications</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (R_{\alpha })\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Exemples

Comme indiqué ci-dessus, un idéal premier est dans le support si et seulement s'il contient l'annihilateur de . Par exemple, sur , l'annihilateur du module ${\displaystyle {\mathfrak {p <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { mathfrak {p}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w] <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle R = mathbb {C} [x, y, z, w]}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle M=R/I={\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>je</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>]</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M=R/I={\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

est l'idéal . Cela implique que , le lieu nul du polynôme f . En regardant la suite exacte courte ${\displaystyle I=(f)=(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>je</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle I = (f) = (x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} + w ^ {4})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} M\cong \operatorname {Spec} (R/I) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Supp</mi> <mo>⁡</mo> <mi>M</mi> <mo>≅</mo> <mi>Spécifications</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>je</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Supp} M\cong \operatorname {Spec} (R/I)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle 0 o I o R o R/I o 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>→</mo> <mi>je</mi> <mo>→</mo> <mi>R</mi> <mo>→</mo> <mi>R</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>je</mi> <mo>→</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0\à I\à R\à R/I\à 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

on pourrait conjecturer à tort que le support de I = ( f ) est Spec( R _{( f )} ), qui est le complément du lieu nul du polynôme f . En fait, comme R est un domaine intégral , l'idéal I = ( f ) = Rf est isomorphe à R en tant que module, donc son support est l'espace entier : Supp( I ) = Spec( R ).

Le support d'un module fini sur un anneau noethérien est toujours fermé sous spécialisation.

Maintenant, si nous prenons deux polynômes dans un domaine intégral qui forment un idéal d'intersection complet , la propriété tensorielle nous montre que ${\displaystyle f_{1},f_{2}\in R <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f_{1},f_{2}\dans R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (f_{1},f_{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (f_{1},f_{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}R/(f_{2}) ight)=\,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{1}) ight)\cap \,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{2}) ight)\cong \,\operatorname {Spec} (R/(f_{1},f_{2})). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Supp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>R</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mo>⊗</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mi>R</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mspace></mspace> <mi>Supp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>R</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>∩</mo> <mspace></mspace> <mi>Supp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>R</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>≅</mo> <mspace></mspace> <mi>Spécifications</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Supp} \gauche(R/(f_{1})\otimes _{R}R/(f_{2})\droite)=\,\operatorname {Supp} \gauche(R/(f_{1})\droite)\cap \,\operatorname {Supp} \gauche(R/(f_{2})\droite)\cong \,\operatorname {Spec} (R/(f_{1},f_{2})).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=