Relation totale

En mathématiques , une relation binaire R ⊆ X × Y entre deux ensembles X et Y est totale (ou totale à gauche ) si l'ensemble source X est égal au domaine { x : il existe un y avec xRy }. Inversement, R est dite totale à droite si Y est égal au domaine { y : il existe un x avec xRy }.

Lorsque f : X → Y est une fonction , le domaine de définition de f est l'ensemble de X , donc f est une relation totale. En revanche, si f est une fonction partielle , alors le domaine de définition peut être un sous-ensemble propre de X , auquel cas f n'est pas une relation totale.

« On dit qu'une relation binaire est totale par rapport à un univers de discours juste au cas où tout dans cet univers de discours se trouve dans cette relation à quelque chose d'autre. »

Caractérisation algébrique

Les relations totales peuvent être caractérisées algébriquement par des égalités et des inégalités impliquant des compositions de relations . A cet effet, soit deux ensembles, et soit Pour deux ensembles quelconques soit la relation universelle entre et et soit la relation d'identité sur Nous utilisons la notation pour la relation réciproque de ${\displaystyle X,Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X,Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R\subseteq X imes Y. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mo>⊆</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>Y</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R\subseteq X\fois Y.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A,B, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A,B,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle L_{A,B}=A imes B <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>UN</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>UN</mi> <mo>×</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle L_{A,B}=A\fois B}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle B, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle I_{A}=\{(a,a):a\in A\ <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>,</mo> <mi>un</mi> <mo>)</mo> <mo>:</mo> <mi>un</mi> <mo>∈</mo> <mi>UN</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle I_{A}=\{(a,a):a\dans A\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R^{ op <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>⊤</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R^{ op }}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle W <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle W}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S\subseteq W imes X, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>S</mi> <mo>⊆</mo> <mi>L</mi> <mo>×</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S\subseteq W\fois X,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S eq \emptyset <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>S</mi> <mo>≠</mo> <mi>∅</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S eq \emptyset }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle SR eq \emptyset . <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>S</mi> <mi>R</mi> <mo>≠</mo> <mi>∅</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle SR eq \emptyset .}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle I_{X}\subseteq RR^{ op }. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo>⊆</mo> <mi>R</mi> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>⊤</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle I_{X}\subseteq RR^{ op }.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Si est totale, alors La réciproque est vraie si ${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle L_{X,Y}=RL_{Y,Y}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle L_ {X, Y} = RL_ {Y, Y}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y eq \emptyset . <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>≠</mo> <mi>∅</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y eq \emptyset .}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Si est totale, alors La réciproque est vraie si ${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\overline {RL_{Y,Y}}}=\emptyset . <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mover> <mrow> <mi>R</mi> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mi>∅</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\overline {RL_{Y,Y}}}=\emptyset .}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y eq \emptyset . <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>≠</mo> <mi>∅</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y eq \emptyset .}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Si est totale, alors La réciproque est vraie si ${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\overline {R}}\subseteq R{\overline {I_{Y}}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mover> <mi>R</mi> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mo>⊆</mo> <mi>R</mi> <mrow> <mover> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\overline {R}}\subseteq R{\overline {I_{Y}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y eq \emptyset . <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>≠</mo> <mi>∅</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y eq \emptyset .}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Plus généralement, si est totale, alors pour tout ensemble et tout La réciproque est vraie si ${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Z <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S\subseteq Y imes Z, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>S</mi> <mo>⊆</mo> <mi>Y</mi> <mo>×</mo> <mi>Z</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S\subseteq Y\fois Z,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\overline {RS}}\subseteq R{\overline {S}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mover> <mrow> <mi>R</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mo>⊆</mo> <mi>R</mi> <mrow> <mover> <mi>S</mi> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\overline {RS}}\subseteq R{\overline {S}}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y eq \emptyset . <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>≠</mo> <mi>∅</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y eq \emptyset .}</annotation> </semantics> </math><img src=$