Coefficient de transport

Un coefficient de transport mesure la rapidité avec laquelle un système perturbé revient à l'équilibre. ${\displaystyle \gamma <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gamma }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les coefficients de transport interviennent dans les phénomènes de transport avec les lois de transport

{\displaystyle \mathbf {J} _{k}=\gamma _{k}\mathbf {X} _{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>J</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>γ</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle mathbf {J} _ {k} = gamma _ {k} mathbf {X} _ {k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où:

{\displaystyle \mathbf {J} _{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>J</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {J} _{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

le coefficient de transport de cette propriété

{\displaystyle \gamma _{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>γ</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gamma _{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle \mathbf {X} _{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {X} _{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Les coefficients de transport peuvent être exprimés via une relation de Green–Kubo :

{\displaystyle \gamma =\int _{0}^{\infty }\left\langle {\dot {A}}(t){\dot {A}}(0) ight angle \,dt, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>γ</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>⟨</mo> <mrow> <mrow> <mrow> <mover> <mi>UN</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>A</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⟩</mo> </mrow> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gamma =\int _{0}^{\infty }\left\langle {\dot {A}}(t){\dot {A}}(0) ight angle \,dt,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est une observable apparaissant dans un hamiltonien perturbé, est une moyenne d'ensemble et le point au-dessus du A désigne la dérivée temporelle. Pour des temps supérieurs au temps de corrélation des fluctuations de l'observable, le coefficient de transport obéit à une relation d'Einstein généralisée : ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \langle \cdot angle <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⟨</mo> <mo>⋅</mo> <mo>⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \langle \cdot angle }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle t <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle 2t\gamma =\left\langle |A(t)-A(0)|^{2} ight angle . <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>2</mn> <mi>t</mi> <mi>γ</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>⟨</mo> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mi>A</mi> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>⟩</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 2t\gamma =\left\langle |A(t)-A(0)|^{2} ight angle .}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

En général, un coefficient de transport est un tenseur.

Exemples

Constante de diffusion , relie le flux de particules au gradient négatif de la concentration (voir les lois de diffusion de Fick )
Conductivité thermique (voir loi de Fourier )
Conductivité ionique
Coefficient de transport de masse
Viscosité de cisaillement , où est le tenseur de contrainte visqueuse (voir fluide newtonien ) ${\displaystyle \eta ={\frac {1}{k_{B}TV}}\int _{0}^{\infty }dt\,\langle \sigma _{xy}(0)\sigma _{xy}(t) angle <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>η</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mi>T</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </msubsup> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mspace></mspace> <mo>⟨</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \eta ={\frac {1}{k_{B}TV}}\int _{0}^{\infty }dt\,\langle \sigma _{xy}(0)\sigma _{xy}(t) angle }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \sigma <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sigma }</annotation> </semantics> </math><img src=$
Conductivité électrique

Coefficients de transport d'ordre supérieur

Pour les gradients forts, l'équation de transport doit généralement être modifiée avec des termes d'ordre supérieur (et des coefficients de transport d'ordre supérieur).