Pyramide triangulaire bipyramide

En géométrie, la bipyramide triangulaire est un hexaèdre à six faces triangulaires, construit en joignant deux tétraèdres face à face. La même forme est également appelée dipyramide triangulaire ou bipyramide trigonale . Si ces tétraèdres sont réguliers, toutes les faces de la bipyramide triangulaire sont équilatérales . C'est un exemple de deltaèdre , de polyèdre composite et de solide de Johnson .

De nombreux polyèdres sont apparentés à la bipyramide triangulaire, comme de nouvelles formes similaires dérivées de différentes approches, et le prisme triangulaire comme polyèdre dual . Les nombreuses applications de la bipyramide triangulaire comprennent la géométrie moléculaire de la bipyramide trigonale qui décrit son groupe d'atomes , une solution du problème de Thomson et la représentation des systèmes d'ordre des couleurs au XVIIIe siècle.

Comme d'autres bipyramides , la bipyramide triangulaire peut être construite en attachant deux tétraèdres face à face. Ces tétraèdres couvrent leur base triangulaire, de sorte que le polyèdre résultant a six triangles, cinq sommets et neuf arêtes. La bipyramide triangulaire est dite droite si les tétraèdres sont symétriquement réguliers et si leurs deux sommets sont sur la ligne passant par le centre de la base ; sinon, elle est oblique .

Selon le théorème de Steinitz , un graphe peut être représenté comme le squelette d'un polyèdre s'il est plan et 3-connexe . En d'autres termes, les arêtes de ce graphe ne se croisent pas mais se coupent seulement au point, et l'un des deux sommets quelconques laisse un sous-graphe connexe lorsqu'il est supprimé. La bipyramide triangulaire est représentée par un graphe à neuf arêtes, construit en ajoutant un sommet se connectant aux sommets d'un graphe en roue représentant des tétraèdres .

Comme d'autres bipyramides droites, la bipyramide triangulaire a une symétrie de groupe ponctuel tridimensionnelle , le groupe diédrique d'ordre douze : l'apparence de la bipyramide triangulaire est inchangée lorsqu'elle tourne d'un, deux tiers et angle complet autour de l' axe de symétrie (une ligne passant par deux sommets et le centre de la base verticalement), et elle a une symétrie miroir par rapport à toute bissectrice de la base ; elle est également symétrique en la réfléchissant sur un plan horizontal. Par conséquent, la bipyramide triangulaire est face-transitive ou isoédrique.

Si les tétraèdres sont réguliers, toutes les arêtes de la bipyramide triangulaire sont de longueur égale, formant des faces triangulaires équilatérales . Un polyèdre avec uniquement des triangles équilatéraux comme faces est appelé un deltaèdre . Il n'existe que huit deltaèdres convexes différents, dont l'un est la bipyramide triangulaire à faces polygonales régulières . Plus généralement, le polyèdre convexe dans lequel toutes les faces sont des polygones réguliers est le solide de Johnson , et chaque deltaèdre convexe est un solide de Johnson. La bipyramide triangulaire à faces régulières est parmi les solides de Johnson numérotés comme le douzième solide de Johnson . C'est un exemple de polyèdre composite , car il est construit en attachant deux tétraèdres réguliers .

La surface d'une bipyramide triangulaire est six fois celle de chaque triangle. Son volume peut être calculé en la découpant en deux tétraèdres et en additionnant leurs volumes. Dans le cas de la longueur des arêtes , cela donne :

L' angle dièdre d'une bipyramide triangulaire peut être obtenu en additionnant l'angle dièdre de deux tétraèdres réguliers. L'angle dièdre d'une bipyramide triangulaire entre des faces triangulaires adjacentes est celui du tétraèdre régulier, soit 70,5°. Dans le cas de l'arête où deux tétraèdres sont attachés, l'angle dièdre des triangles adjacents est le double de celui-ci, soit 141,1°.

Certains types de bipyramides triangulaires peuvent être dérivés de différentes manières. Par exemple, le Kleetope des polyèdres est une construction impliquant la fixation de pyramides ; dans le cas de la bipyramide triangulaire, son Kleetope peut être construit à partir de la bipyramide triangulaire en attachant des tétraèdres sur chacune de ses faces, en les recouvrant et en les remplaçant par trois autres triangles ; le squelette du polyèdre résultant représente le graphe de Goldner-Harary . Un autre type de bipyramide triangulaire consiste à couper tous ses sommets ; ce processus est connu sous le nom de troncature .

Les bipyramides sont le polyèdre dual des prismes , pour lequel les sommets des bipyramides correspondent aux faces du prisme, et les arêtes entre les paires de sommets de l'un correspondent aux arêtes entre les paires de faces de l'autre ; dual il donne à nouveau le polyèdre d'origine lui-même. Par conséquent, la bipyramide triangulaire est le polyèdre dual du prisme triangulaire , et vice versa. Le prisme triangulaire a cinq faces, neuf arêtes et six sommets, et il a la même symétrie que la bipyramide triangulaire.

Le problème de Thomson concerne la configuration d'énergie minimale des particules chargées sur une sphère. L'une d'entre elles est une bipyramide triangulaire, qui est une solution connue pour le cas de cinq électrons, en plaçant les sommets d'une bipyramide triangulaire inscrits dans une sphère . Cette solution est facilitée par l'ordinateur mathématiquement rigoureux.

Dans la géométrie des composés chimiques , la géométrie moléculaire bipyramidale trigonale peut être décrite comme le groupe d'atomes de la bipyramide triangulaire. Cette molécule possède un élément du groupe principal sans paire non liant active , comme décrit par un modèle qui prédit la géométrie des molécules connu sous le nom de théorie VSEPR . Quelques exemples de cette structure sont le pentafluorure de phosphore et le pentachlorure de phosphore en phase gazeuse.

Dans l'étude de la théorie des couleurs , la bipyramide triangulaire a été utilisée pour représenter le système d'ordre des couleurs tridimensionnel dans les couleurs primaires . L'astronome allemand Tobias Mayer a montré en 1758 que chacun de ses sommets représente les couleurs : le blanc et le noir sont respectivement les sommets axiaux supérieur et inférieur, tandis que les autres sommets sont le rouge, le bleu et le jaune.