Worldlex Wiki Puisque toute surface de Riemann admet un revêtement universel qui est une surface de Riemann simplement connexe, le théorème d'uniformisation conduit à une classification des surfaces de Riemann en trois types : celles dont le revêtement universel est la sphère de Riemann (« elliptiques »), celles dont le revêtement universel est le plan (« paraboliques ») et celles dont le revêtement universel est le disque unité (« hyperboliques »). Il s'ensuit que toute surface de Riemann admet une métrique riemannienne à courbure constante , cette courbure valant 1 pour les surfaces elliptiques, 0 pour les surfaces paraboliques et -1 pour les surfaces hyperboliques.
Le théorème d'uniformisation permet également une classification similaire des 2-variétés riemanniennes fermées et orientables en cas elliptique, parabolique et hyperbolique. Chaque variété de ce type possède une métrique riemannienne conformement équivalente à courbure constante, cette courbure valant 1 dans le cas elliptique, 0 dans le cas parabolique et -1 dans le cas hyperbolique.
1883 ) et Henri 1882 ) ont conjecturé le théorème d'uniformisation pour les surfaces de Riemann des courbes algébriques. 1883 ) a étendu ce théorème aux fonctions analytiques multivoques quelconques et en a fourni des arguments informels. Les premières démonstrations rigoureuses du théorème d'uniformisation général ont été données par 1907 ) et 1907a , 1907b , 1907c ) . Paul Koebe a par la suite fourni plusieurs autres démonstrations et généralisations. L'historique de ce théorème est décrit dans de Bourbaki, du groupe de quinze mathématiciens ayant co-publié cet ouvrage).Classification des surfaces de Riemann connexes
Toute surface de Riemann est le quotient de l'action libre, propre et holomorphe d'un groupe discret sur son revêtement universel et ce revêtement universel, étant une surface de Riemann simplement connexe, est holomorphiquement isomorphe (on dit aussi : « conformement équivalent » ou « biholomorphe ») à l'une des surfaces suivantes :
- la sphère de Riemann
- le plan complexe
- le disque unité dans le plan complexe.
Pour les surfaces de Riemann compactes, celles qui recouvrent universellement le disque unité sont précisément les surfaces hyperboliques de genre supérieur à 1, toutes avec un groupe fondamental non abélien ; celles qui recouvrent universellement le plan complexe sont les surfaces de Riemann de genre 1, à savoir les tores complexes ou les courbes elliptiques avec un groupe fondamental métrique riemannienne induit une structure complexe par passage aux coordonnées isothermes . Si la métrique riemannienne est définie localement comme
alors, dans le système de coordonnées complexes z = x + iy , elle prend la forme
où
de sorte que λ et μ soient régulières avec λ > 0 et | μ | < 1. En coordonnées isothermes ( u , v ), la métrique doit prendre la forme suivante :
avec ρ > 0 lisse. La coordonnée complexe w = u + i v satisfait
de sorte que les coordonnées ( u , v ) soient localement isothermes, à condition que l' équation de Beltrami soit vérifiée.
admet une solution localement difféomorphe, c'est-à-dire une solution dont le jacobien est non nul.
Ces conditions peuvent être formulées de manière équivalente en termes de dérivée extérieure et d' opérateur étoile de Hodge opérateur de Laplace-Beltrami . D'après la théorie elliptique standard, harmonique au voisinage d'un point donné, c'est lemme de Poincaré, théorie générale de l'équation de Beltrami , comme dans courbure constante , c'est-à-dire le quotient de l'une des variétés suivantes par une action libre d'un sous-groupe discret d'un groupe d'isométries :
- la sphère (courbure +1)
- le plan euclidien (courbure 0)
- le plan hyperbolique (courbure − 1).
Le premier cas correspond à la 2-sphère, l'unique 2-variété à courbure positive constante et donc à caractéristique d'Euler positive (égale à 2). Le deuxième cas regroupe toutes les 2-variétés plates, c'est-à-dire les tores , dont la caractéristique d'Euler est nulle. Le troisième cas couvre toutes les 2-variétés à courbure négative constante, c'est-à-dire les 2-variétés hyperboliques , qui ont toutes une caractéristique d'Euler négative. Cette classification est cohérente avec le théorème de Gauss-Bonnet , qui implique que pour une surface fermée à courbure constante, le signe de cette courbure est nécessairement le même que celui de sa caractéristique d'Euler. La caractéristique d'Euler est égale à 2<sup>g</sup> – 2<sup> g </sup>, où g est le genre de la 2-variété, c'est-à-dire le nombre de « trous ».
Méthodes de preuve
De nombreuses démonstrations classiques du théorème d'uniformisation reposent sur la construction d'une fonction harmonique à valeurs réelles sur la surface de Riemann simplement connexe, présentant éventuellement une singularité en un ou deux points et correspondant souvent à une forme de la fonction de Green . Quatre méthodes de construction de cette fonction harmonique sont couramment employées : la méthode de Perron ; la méthode alternée de Schwarz ; le principe de Dirichlet ; et la méthode de projection orthogonale de Weyl . Dans le contexte des 2-variétés riemanniennes fermées, plusieurs démonstrations modernes font appel à des équations différentielles non linéaires sur l'espace des métriques conformément équivalentes. Parmi celles-ci figurent l' équation de Beltrami issue de la théorie de Teichmüller et une formulation équivalente en termes d' applications harmoniques ; l'équation de Liouville , déjà étudiée par Poincaré ; et le flot de Ricci, ainsi que d'autres flots non linéaires.
Le théorème de Rado démontre que toute surface de Riemann est automatiquement à base dénombrable de termes . Bien que ce théorème soit souvent utilisé dans les démonstrations du théorème d'uniformisation, certaines démonstrations ont été formulées de manière à ce qu'il en devienne une conséquence. La base dénombrable est automatique pour les surfaces de Riemann compactes.
méthodes d'espace de Hilbert
Le théorème d'uniformisation simultanée de Lipman Bers montre qu'il est possible d'uniformiser simultanément deux surfaces de Riemann compactes du même genre >1 avec le même groupe quasi-fuchsien .
Le théorème de la transformation de Riemann mesurable montre plus généralement que la transformation vers un sous-ensemble ouvert de la sphère complexe dans le théorème d'uniformisation peut être choisie comme étant une transformation quasi-conforme avec un coefficient de Beltrami mesurable borné donné.