Doublet unitaire

En mathématiques, le doublet unitaire est la dérivée de la fonction delta de Dirac . Il peut être utilisé pour différencier les signaux en génie électrique : Si u ₁ est le doublet unitaire, alors

{\displaystyle (x*u_{1})(t)={\frac {dx(t)}{dt <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (x*u_{1})(t)={\frac {dx(t)}{dt}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est l' opérateur de convolution . ${\displaystyle * <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>∗</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle *}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$

La fonction est nulle pour toutes les valeurs sauf zéro, où son comportement est intéressant. Son intégrale sur tout intervalle englobant zéro est nulle. Cependant, l'intégrale de sa valeur absolue sur toute région englobant zéro tend vers l'infini. La fonction peut être considérée comme le cas limite de deux rectangles, l'un dans le deuxième quadrant , et l'autre dans le quatrième. La longueur de chaque rectangle est k, tandis que leur largeur est 1/k ² , où k tend vers zéro.