Unité (théorie des anneaux)

d'un anneau dans

{\displaystyle vu=uv=1, </span referrerpolicy=

où est unique pour cette propriété et est appelé l' inverse multiplicatif de un groupe sous la multiplication, appelé le groupe des unités ou groupe unité de , , et (du terme allemand ).

Plus rarement, le terme « unité » est parfois employé pour désigner l’élément parle plus couramment de « l’unité » ou de « l’élément neutre » de l’anneau, et les expressions « anneau unitaire » ou « anneau avec élément neutre » peuvent être utilisées pour souligner qu’il s’agit d’un anneau et non d’un générateur de nombres aléatoires .

Exemples

et son inverse additif est invariante : si , alors est l'inverse multiplicatif de n'est pas stable par addition. Un anneau non nul {0} ) est appelé un corps à division commutatif. Un corps à division commutatif est appelé un corps . Par exemple, le groupe des unités du corps des nombres réels est {0} .

Anneau entier

Dans l'anneau des entiers , les seules unités sont .

Dans l'anneau des entiers modulo représentées par les entiers premiers avec .

Anneau des entiers d'un corps de nombres

Dans l'anneau 3 ] obtenu en adjoignant l' entier quadratique 3 à , on a 3 )(2 − √ 3 ) = 1 , donc 3 est une unité, et ses puissances le sont aussi, donc 3 ] a une infinité d'unités.

Plus généralement, pour l' anneau des entiers , le théorème de l'unité de Dirichlet affirme que est isomorphe au groupe ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n} imes \mu _{R <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>×</mo><msub><mi>μ</mi><mrow><mi>R</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {Z} ^{n} imes \mu _{R}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mu _{R <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>μ</mi><mrow><mi>R</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu _{R}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n=r_{1}+r_{2}-1, <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>=</mo><msub><mi>r</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n=r_{1}+r_{2}-1,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle r_{1},r_{2 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>r</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r_{1},r_{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ ] : le groupe unité (de l'anneau des entiers) d'un corps quadratique réel est infini de rang 1, puisque ${\displaystyle r_{1}=2,r_{2}=0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>r</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><msub><mi>r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r_{1}=2,r_{2}=0}</annotation></semantics></math><img src=$

Polynômes et séries entières

Pour un anneau commutatif sont les polynômes ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n <semantics><mrow><mstyle><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>x</mi><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle a_{i}^{N}=0 <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>un</mi><mrow><mi>je</mi></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a_{i}^{N}=0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R[[x]] <mrow><mstyle><mi>p</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msub><mi>un</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><msup><mi>x</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}</annotation></semantics></math><img src=$

Anneaux matriciels

Le groupe unité de l'anneau des matrices sur un anneau des matrices inversibles . Pour un anneau commutatif de est inversible si et seulement si le déterminant de Dans ce cas, peut être exprimé explicitement en fonction de la matrice adjointe .

En général

Pour les éléments d'un anneau ${\displaystyle 1-xy <mrow><mstyle><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>y</mi><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1-yx}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 1+y(1-xy)^{-1}x <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>x</mi><mi>y</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1+y(1-xy)^{-1}x}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y{\biggl (}\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}{\biggr )}x=1+y(1-xy)^{-1}x. <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>y</mi><mi>x</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mo>(</mo><mi>y</mi><mi>x</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mo>(</mo><mi>x</mi><mi>y</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mrow><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>x</mi><mi>y</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>x</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y{\biggl (}\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}{\biggr )}x=1+y(1-xy)^{-1}x.}</annotation></semantics></math><img src=$

Groupe d'unités

Un anneau commutatif est un anneau local si R ^× est un idéal maximal .

Il s’avère que si R ^× est un idéal, alors c’est nécessairement un idéal maximal et est local puisqu’un idéal maximal est disjoint de .

Si est un groupe cyclique d'ordre R | − 1 .

Tout homomorphisme d'anneaux : R → S induit un homomorphisme de groupes , puisque ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1 <mrow><mstyle><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {G} _{m}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(R) <mrow><mstyle><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>R</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {G} _{m}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R) <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>R</mi><mo>)</mo><mo>≃</mo><mi>Hom</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mrow><mi>Z</mi></mrow><mo>[</mo><mi>t</mi><mo>,</mo><msup><mi>t</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>]</mo><mo>,</mo><mi>R</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}] o R <mrow><mstyle><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mi>un</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {G} _{a}}</annotation></semantics></math><img src=$

Association

Supposons que et sont appelésOn associe deux éléments s'il existe une unitételle que ; alors on écrit . Dans tout anneau, les paires d'élémentsinverses additifs et sontassociées, puisque tout anneau contient l'unité En général,

L'association peut également être décrite en termes d' action de sur sont associés s'ils se trouvent dans la même orbite .

Dans un domaine intègre , l'ensemble des associés d'un élément non nul donné a la même cardinalité que .

La relation d'équivalence .