Adéquation

L'adéquacité est une technique développée par Pierre de Fermat dans son traité Methodus ad disquirendam maximam et minimam (un traité latin diffusé en France vers 1636) pour calculer les maxima et les minima des fonctions, les tangentes aux courbes, l'aire , le centre de masse , la moindre action et d'autres problèmes de calcul . Selon André Weil , Fermat « introduit le terme technique adaequalitas, adaequare, etc., qu'il dit avoir emprunté à Diophante . Comme le montre Diophante V.11, il signifie une égalité approximative, et c'est en effet ainsi que Fermat explique le mot dans l'un de ses écrits ultérieurs. » (Weil 1973). Diophante a inventé le mot παρισότης ( parisotēs ) pour désigner une égalité approximative. Claude Gaspard Bachet de Méziriac a traduit le mot grec de Diophante en latin par adaequalitas . La traduction française de Paul Tannery des traités latins de Fermat sur les maxima et les minima utilisait les mots adéquation et adégaler .

Fermat a d'abord utilisé l'adégalité pour trouver les maxima des fonctions, puis l'a adaptée pour trouver les tangentes aux courbes.

Pour trouver le maximum d'un terme , Fermat a égalisé (ou plus précisément adéquat) et et après avoir fait de l'algèbre, il pouvait annuler un facteur de puis rejeter tous les termes restants impliquant Pour illustrer la méthode par l'exemple de Fermat lui-même, considérons le problème de trouver le maximum de (selon les termes de Fermat, il s'agit de diviser une ligne de longueur en un point , de telle sorte que le produit des deux parties résultantes soit un maximum. ) Fermat a adéquat avec . C'est-à-dire (en utilisant la notation pour désigner une égalité, introduite par Paul Tannery ) :

Annulation des termes et division par Fermat arrivé à

En supprimant les termes qui contenaient Fermat, on est arrivé au résultat souhaité selon lequel le maximum s'est produit lorsque .

Fermat a également utilisé son principe pour donner une dérivation mathématique des lois de réfraction de Snell directement à partir du principe selon lequel la lumière emprunte le chemin le plus rapide.

La méthode de Fermat a été vivement critiquée par ses contemporains, en particulier Descartes . Victor Katz suggère que cela est dû au fait que Descartes avait découvert indépendamment les mêmes nouvelles mathématiques, connues sous le nom de sa méthode des normales , et Descartes était très fier de sa découverte. Katz note également que si les méthodes de Fermat étaient plus proches des développements futurs du calcul, les méthodes de Descartes ont eu un impact plus immédiat sur ce développement.

Newton et Leibniz ont tous deux fait référence aux travaux de Fermat comme à un ancêtre du calcul infinitésimal . Néanmoins, les chercheurs modernes ne s'accordent pas sur la signification exacte de l'adéquation de Fermat. L' adéquation de Fermat a été analysée dans un certain nombre d'études universitaires. En 1896, Paul Tannery a publié une traduction française des traités latins de Fermat sur les maxima et les minima (Fermat, Œuvres, Vol. III, pp. 121-156). Tannery a traduit le terme de Fermat par « adégaler » et a adopté l'« adéquation » de Fermat. Tannery a également introduit le symbole de l'adéquation dans les formules mathématiques.

Heinrich Wieleitner (1929) a écrit :

Fermat remplace A par A + E . Il pose ensuite la nouvelle expression à peu près égale ( angenähert gleich ) à l'ancienne, annule les termes égaux des deux côtés et divise par la plus grande puissance possible de E . Il annule ensuite tous les termes qui contiennent E et pose ceux qui restent égaux entre eux. Il en résulte le A [requis] . Que E soit aussi petit que possible n'est dit nulle part et est au mieux exprimé par le mot "adaequalitas".

(Wieleitner utilise le symbole .)

Max Miller (1934) a écrit :

Il faudrait alors mettre les deux termes qui expriment le maximum et le minimum à peu près égaux ( näherungsweise gleich ), comme le dit Diophante.

(Miller utilise le symbole .)

Jean Itard (1948) a écrit :

On sait que l'expression "adégaler" est adoptée par Fermat d'après Diophante, traduite par Xylander et par Bachet. Il s'agit d'une " égalité approximative ".

(Itard utilise le symbole .)

Joseph Ehrenfried Hofmann (1963) a écrit :

Fermat choisit une quantité h , considérée comme suffisamment petite, et pose f ( x + h ) à peu près égale ( ungefähr gleich ) à f ( x ). Son terme technique est adaequare .

(Hofmann utilise le symbole .)

Peer Strømholm (1968) a écrit :

La base de l'approche de Fermat était la comparaison de deux expressions qui, bien qu'ayant la même forme, n'étaient pas exactement égales . Il appelait cette partie du processus « comparare par adaequalitatem » ou « comparer per adaequalitatem », et cela impliquait que l'identité stricte entre les deux côtés de l'« équation » était détruite par la modification de la variable d'une petite quantité :

C'est là, je crois, la véritable signification de son utilisation du πἀρισον de Diophante, soulignant la petitesse de la variation. La traduction ordinaire de « adaequalitas » semble être « égalité approximative », mais je préfère de loin « pseudo-égalité » pour présenter la pensée de Fermat à ce stade.

Il note en outre que « il n'a jamais été question dans la méthode M1 (méthode 1) de mettre la variation E égale à zéro. Les mots que Fermat utilisait pour exprimer le processus de suppression des termes contenant E étaient « elido », « deleo » et « expungo », et en français « i'efface » et « i'ôte ». Nous pouvons difficilement croire qu'un homme sain d'esprit souhaitant exprimer sa signification et cherchant des mots, trouverait constamment des moyens aussi tortueux de transmettre le simple fait que les termes ont disparu parce que E était nul. » (p. 51) Claus Jensen (1969) a écrit :

De plus, en appliquant la notion d' adégalité – qui constitue la base de la méthode générale de Fermat pour construire les tangentes, et par laquelle on entend une comparaison de deux grandeurs comme si elles étaient égales, bien qu'elles ne le soient pas en fait (« tamquam essent aequalia, licet revera aequalia non sint ») – j'emploierai le symbole plus usuel de nos jours .

La citation latine provient de l'édition de Fermat de Tannery de 1891, volume 1, page 140. Michael Sean Mahoney (1971) a écrit :

La méthode des maxima et des minima de Fermat, qui s'applique clairement à tout polynôme P(x) , reposait à l'origine sur des fondements algébriques purement finitistes . Elle supposait, contrefactuellement , l'inégalité de deux racines égales afin de déterminer, par la théorie des équations de Viete, une relation entre ces racines et l'un des coefficients du polynôme, relation qui était tout à fait générale. Cette relation a ensuite conduit à une solution aux valeurs extrêmes lorsque Fermat a supprimé son hypothèse contrefactuelle et a mis les racines égales. Empruntant un terme à Diophante, Fermat a appelé cette égalité contrefactuelle « adéquacité ».

(Mahoney utilise le symbole .) À la page 164, à la fin de la note de bas de page 46, Mahoney note que l'une des significations de l'adéquation est l'égalité approximative ou l'égalité dans le cas limite . Charles Henry Edwards, Jr. (1979) a écrit :

Par exemple, pour déterminer comment subdiviser un segment de longueur en deux segments et dont le produit est maximal, c'est-à-dire trouver le rectangle de périmètre qui a l'aire maximale, il [Fermat] procède comme suit. Il substitue d'abord

(il a utilisé A , E au lieu de x , e ) pour l'inconnu x , puis a écrit la « pseudo-égalité » suivante pour comparer l'expression résultante avec l'expression originale :

Après avoir annulé les termes, il a divisé par e pour obtenir. Finalement, il a écarté le terme restant contenant e , transformant la pseudo-égalité en véritable égalité qui donne la valeur de x qui rend maximale. Malheureusement, Fermat n'a jamais expliqué la base logique de cette méthode avec suffisamment de clarté ou d'exhaustivité pour éviter les désaccords entre les historiens quant à ce qu'il voulait dire ou ce qu'il avait l'intention de faire.

Kirsti Andersen (1980) a écrit :

Les deux expressions du maximum ou du minimum sont rendues « adequal » , ce qui signifie quelque chose comme aussi proche que possible de l'égalité .

(Andersen utilise le symbole .) Herbert Breger (1994) a écrit :

Je veux avancer mon hypothèse : Fermat a utilisé le mot "adaequare" dans le sens de "mettre égal" ... Dans un contexte mathématique, la seule différence entre "aequare" et "adaequare" semble être que ce dernier met davantage l'accent sur le fait que l'égalité est réalisée.

(Page 197f.) John Stillwell (Stillwell 2006 p. 91) a écrit :

Fermat a introduit l'idée d'adéquation dans les années 1630, mais il était en avance sur son temps. Ses successeurs n'étaient pas disposés à abandonner la commodité des équations ordinaires, préférant utiliser l'égalité de manière vague plutôt que d'utiliser l'adéquation avec précision. L'idée d'adéquation n'a été relancée qu'au XXe siècle, dans ce qu'on appelle l'analyse non standard .

Enrico Giusti (2009) cite la lettre de Fermat à Marin Mersenne où Fermat écrit :

Cette comparaison par adégalité produit deux termes inégaux qui produisent enfin l'égalité (selon ma méthode) qui nous donne la solution de la question" ("Cette comparaison par adégalité produit deux termes inégaux qui produisent finalement l'égalité (selon ma méthode) qui donne nous la solution du problème").

Giusti note dans une note de bas de page que cette lettre semble avoir échappé à l'attention de Breger.

Klaus Barner (2011) affirme que Fermat utilise deux mots latins différents (aequabitur et adaequabitur) pour remplacer le signe égal habituel de nos jours, aequabitur , lorsque l'équation concerne une identité valide entre deux constantes, une formule universellement valide (prouvée), ou une équation conditionnelle, adaequabitur , cependant, lorsque l'équation décrit une relation entre deux variables, qui ne sont pas indépendantes (et l'équation n'est pas une formule valide). À la page 36, Barner écrit : « Pourquoi Fermat a-t-il répété continuellement sa procédure incohérente pour tous ses exemples de la méthode des tangentes ? Pourquoi n'a-t-il jamais mentionné la sécante, avec laquelle il a en fait opéré ? Je ne sais pas. »

Katz, Schaps, Shnider (2013) soutiennent que l'application de la technique de Fermat aux courbes transcendantes telles que la cycloïde montre que la technique d'adéquativité de Fermat va au-delà d'un algorithme purement algébrique et que, contrairement à l'interprétation de Breger, les termes techniques parisotes utilisés par Diophante et adaequalitas utilisés par Fermat signifient tous deux « égalité approximative ». Ils développent une formalisation de la technique d'adéquativité de Fermat dans les mathématiques modernes comme la fonction partie standard qui arrondit un nombre hyperréel fini à son nombre réel le plus proche .