On peut considérer les nombres réels comme tous les points situés sur une droite numérique. En mathématiques , un nombre réel est un nombre qui permet de mesurer une grandeur co...
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On peut considérer les nombres réels comme tous les points situés sur une droite numérique.
Les nombres réels sont fondamentaux en calcul et dans de nombreuses autres branches des mathématiques, notamment par leur rôle dans les définitions classiques des limites , de la continuité et des dérivées .
L'ensemble des nombres réels, parfois appelé « les réels », est généralement noté par un trait noir .
Les nombres réels comprennent les nombres rationnels , tels que l' entier fraction dits irrationnels . Les nombres réels qui sont racines de polynômes à coefficients rationnels sont appelés algébriques ; ils comprennent tous les nombres rationnels ainsi que des nombres irrationnels comme √2 = 1,414... D'autres nombres réels, tels que π = 3,1415... , ne sont pas racines de polynômes ; ce sont les nombres transcendants .
corps ordonné complet de Dedekind . Ici, « entièrement caractérisé » signifie qu'il existe un isomorphisme unique entre deux corps ordonnés complets de Dedekind, et donc que leurs éléments possèdent exactement les mêmes propriétés. Cela implique que l'on peut manipuler les nombres réels et effectuer des calculs avec eux sans connaître leur définition ; c'est ce que les mathématiciens et les physiciens ont fait pendant plusieurs siècles avant que les premières définitions formelles ne soient fournies dans la seconde moitié du XIXe siècle. Voir la section « Construction des nombres réels » pour plus de détails sur ces définitions formelles et la démonstration de leur équivalence.
L' addition de deux nombres réels commutatives , ce qui signifie que et pour tous les nombres réels associatives , ce qui signifie que et pour tous les nombres réels distributive par rapport à l'addition, ce qui signifie que et pour tous les nombres réels zéro et noté identité additive , ce qui signifie que pour tout nombre réel identité multiplicative , ce qui signifie que pour tout nombre réel inverse additif noté Cela signifie que pour tout nombre réel inverse multiplicatif noté ou Cela signifie que pour tout nombre réel non nul
Pour deux nombres réels quelconques
Si et alors .
L'ordre est compatible avec l'addition et la multiplication, ce qui signifie que implique pour tout nombre réel
De nombreuses autres propriétés peuvent être déduites des propriétés ci-dessus. En particulier :
pour tout nombre réel
pour tout nombre réel non nul Soustraction : la soustraction de deux nombres réels inverse additif
Division : la division d'un nombre réel inverse multiplicatif de
Les entiers et les fractions en tant que nombres réels
Les nombres réels nombres naturels nombre rationnel (où sous-corps ordonné des nombres réels. La complétude de Dedekind décrite ci-dessous implique que certains nombres réels, tels que , ne sont pas des nombres rationnels ; ils sont appelés nombres irrationnels .
Les identifications ci-dessus sont logiques, car les nombres naturels, les entiers et les nombres réels ne sont généralement pas définis par leur nature intrinsèque, mais par des propriétés ( axiomes ) qui les définissent. Ainsi, l'identification des nombres naturels à certains nombres réels se justifie par le fait que ces nombres réels satisfont les axiomes de Peano , l'addition à fonction successeur .
Formellement, on a un homomorphisme injectif de monoïdes ordonnés des nombres naturels vers les entiers, un homomorphisme injectif d' anneaux ordonnés vers les nombres rationnels et un homomorphisme injectif de corps ordonnés vers les nombres réels. Les identifications consistent à ne pas distinguer la source et l'image de chaque homomorphisme injectif, et donc à écrire
Ces identifications constituent formellement des abus de notation (puisque, formellement, un nombre rationnel est une classe d'équivalence de paires d'entiers, et un nombre réel est une classe d'équivalence de séries de Cauchy), et sont généralement inoffensives. Ce n'est que dans des situations très spécifiques qu'il faut les éviter et les remplacer par l'utilisation explicite des homomorphismes mentionnés précédemment. C'est le cas en mathématiques constructives et en programmation informatique . Dans ce dernier cas, ces homomorphismes sont interprétés comme des conversions de type qui peuvent souvent être effectuées automatiquement par le compilateur .
Un ensemble de nombres réels est borné supérieurement s'il existe un nombre réel tel que pour tout ; un tel est appelé une borne supérieure de . Ainsi, la complétude de Dedekind signifie que, si Propriété archimédienne : pour tout nombre réel
Tout nombre réel positif racine carrée positive , c'est-à-dire qu'il existe un nombre réel positif tel que
Tout polynôme univarié de degré impair à coefficients réels possède au moins une racine réelle (si le coefficient dominant est positif, prendre la plus petite borne supérieure des nombres réels pour lesquels la valeur du polynôme est négative).
Les deux dernières propriétés se résument en disant que les nombres réels forment un corps réel clos . Ceci implique la version réelle du théorème fondamental de l'algèbre , à savoir que tout polynôme à coefficients réels peut être factorisé en polynômes à coefficients réels de degré au plus deux.
Représentation décimale
chiffres décimaux représentant chacun le produit d'un entier compris entre zéro et neuf par une puissance de dix , s'étendant à une infinité finie de puissances de dix positives à gauche et à une infinité de puissances de dix négatives à droite. Pour un nombre virgule , représentant la série infinie
Par exemple, pour le cercle, la constante
Plus formellement, la représentation décimale d'un nombre réel non négatif suite infinie
(Si alors par convention )0," 0,
Une telle représentation décimale spécifie le nombre réel comme la plus petite borne supérieure des fractions décimales obtenues en tronquant la suite : étant donné un entier positif somme partielle finie
Le nombre réel
Réciproquement, étant donné un nombre réel non négatif récurrence , comme suit :
Définissons comme la représentation décimale du plus grand entier tel que (cet entier existe grâce à la propriété d'Archimède). Supposons alors, par récurrence , que la fraction décimale soit définie pour , on définit comme le plus grand chiffre tel que et on pose
On peut utiliser les propriétés définissantes des nombres réels pour montrer que x fraction décimale de la forme x ≥ 9. Dans ce cas, dans la première représentation décimale, tous les x sont égaux à zéro pour x ≥ 9 et, dans la seconde représentation, tous les x sont égaux à 9. (Voir 0,999... pour plus de détails).h," h,
En résumé, il existe une bijection entre les nombres réels et les représentations décimales qui ne se terminent pas par une infinité de 9.
Les considérations précédentes s'appliquent directement à toutes les bases numériques en remplaçant simplement 10 par et 9 par
complétude topologiquedes limites . Plus formellement, l'ensemble des nombres réels est complet (au sens des espaces métriques ou des espaces uniformes , ce qui est différent de la complétude de Dedekind de l'ordre dans la section précédente) :
Une suite de nombres réels est dite de Cauchy si, pour tout n ≥ 0, il existe un entier n ≥ 0 (pouvant dépendre de n) tel que la distance entre les nombres réels soit inférieure à 0 pour tout n ≥ 0 et tout n ≥ 0. Cette définition, initialement proposée par Cauchy , formalise le fait que les nombres réels finissent par se rapprocher et rester arbitrairement proches les uns des autres. 0" 0
Une suite converge vers la limite si ses éléments finissent par se rapprocher et rester arbitrairement proches de , c'est-à-dire si pour tout , il existe un entier (pouvant dépendre de ) tel que la distance soit inférieure à pour supérieur à . 0" 0
Toute suite convergente est une suite de Cauchy, et la réciproque est vraie pour les nombres réels, ce qui signifie que l' espace topologique des nombres réels est complet.
L'ensemble des nombres rationnels n'est pas complet. Par exemple, la suite (1 ; 1,4 ; 1,41 ; 1,414 ; 1,4142 ; 1,41421 ; ...), où chaque terme ajoute un chiffre du développement décimal de la racine carrée positive de 2, est de Cauchy mais ne converge pas vers un nombre rationnel (dans l'ensemble des nombres réels, en revanche, elle converge vers la racine carrée positive de 2).
La propriété de complétude des nombres réels est le fondement du calcul différentiel et intégral , et plus généralement de l'analyse mathématique . En particulier, le critère de Cauchy permet de démontrer qu'une suite admet une limite, sans la calculer, ni même la connaître.
converge vers un nombre réel pour tout , car les sommes
On peut rendre arbitrairement petit (indépendamment de ) en choisissant suffisamment grand. Ceci prouve que la suite est de Cauchy, et converge donc, démontrant ainsi que est bien définie pour tout .
« Le champ ordonné complet »
Les nombres réels sont souvent décrits comme « le corps ordonné complet », une expression qui peut être interprétée de plusieurs manières.
Premièrement, un ordre peut être complet pour un treillis . Il est facile de voir qu'aucun corps ordonné ne peut être complet pour un treillis, car il ne peut avoir d'élément maximal (étant donné un élément quelconque , il existe un élément plus grand).
De plus, un ordre peut être Dedekind-complet (voir groupe ordonné (ici, le groupe additif du corps) définit une structure uniforme , et les structures uniformes possèdent une notion de complétude ; la description du § Complétude en est un cas particulier. (Nous nous référons à la notion de complétude dans les espaces uniformes plutôt qu'à la notion apparentée et mieux connue pour les espaces métriques , car la définition d'un espace métrique suppose une caractérisation préalable des nombres réels.) Il n'est pas vrai que soit le seul corps ordonné uniformément complet, mais c'est le seul corps archimédien uniformément complet , et l'on entend d'ailleurs souvent l'expression « corps archimédien complet » plutôt que « corps ordonné complet ». Tout corps archimédien uniformément complet est également Dedekind-complet (et réciproquement), ce qui justifie l'emploi de l'article défini « le » dans l'expression « le corps archimédien complet ». Ce sentiment de complétude est étroitement lié à la construction des nombres réels à partir des suites de Cauchy (construction effectuée intégralement dans cet article), puisqu'elle part d'un corps archimédien (les rationnels) et en forme le complément uniforme de manière standard.
L'expression « corps archimédien complet » a été employée pour la première fois par David Hilbert , qui lui donnait un sens différent. Il entendait par là que les nombres réels forment le plus grand corps archimédien, au sens où tout autre corps archimédien est un sous-corps de celui -ci . Ainsi, ce corps est « complet » en ce sens qu'on ne peut rien y ajouter sans qu'il cesse d'être un corps archimédien. Cette conception de la complétude est étroitement liée à la construction des nombres réels à partir des nombres surréels , puisque cette construction part d'une classe propre contenant tout corps ordonné (les nombres surréels) et en sélectionne ensuite le plus grand sous-corps archimédien.
Cardinalité
L'ensemble des nombres réels est indénombrable , en ce sens que, bien que l'ensemble des nombres naturels infinis , il n'existe pas de bijection entre les nombres réels et les nombres naturels. La cardinalité de l'ensemble des nombres réels est appelée cardinalité du continu et est généralement notée . Elle est strictement supérieure à la cardinalité de l'ensemble des nombres naturels, notée et appelée aleph -zéro . La cardinalité du continu est égale à la cardinalité de l' ensemble des parties des nombres naturels, c'est-à-dire l'ensemble de tous les sous-ensembles des nombres naturels.
L'affirmation selon laquelle il n'existe pas de cardinalité strictement supérieure ou inférieure est connue sous le nom d'hypothèse du continu (HC). Le système d'axiomes le plus couramment utilisé en mathématiques, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec l' axiome du choix (ZFC), est insuffisant pour déterminer si l'HC est vérifiée : en supposant que ZFC soit cohérente, l'HC ne peut être ni prouvée ni réfutée dans le cadre de ZFC, puisque certains modèles de ZFC la satisfont, tandis que d'autres la violent.
Autres propriétés
séparable . En effet, l'ensemble des rationnels, qui est dénombrable, est dense dans l'espace des nombres réels. Les nombres irrationnels sont également denses dans l'espace des nombres réels, mais ils sont indénombrables et ont le même cardinal que les nombres réels.
Tout nombre réel non négatif possède une racine carrée dans , bien qu'aucun nombre négatif n'en possède. Ceci montre que l'ordre sur est déterminé par sa structure algébrique. De plus, tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle : ces deux propriétés font de le premier exemple de corps réel clos . Démontrer cela constitue la première partie d'une démonstration du théorème fondamental de l'algèbre .
L'axiome du supremum des réels se réfère à des sous-ensembles des réels et constitue donc un énoncé logique du second ordre. Il n'est pas possible de caractériser les réels uniquement par la logique du premier ordre : le théorème de Löwenheim-Skolem implique l'existence d'un sous-ensemble dénombrable et dense des nombres réels satisfaisant exactement les mêmes énoncés de la logique du premier ordre que les nombres réels eux-mêmes. L'ensemble des nombres hyperréels satisfait les mêmes énoncés du premier ordre que les réels . Les corps ordonnés qui satisfont les mêmes énoncés du premier ordre que les réels sont appelés modèles non standard de ces derniers . C'est le principe de l'analyse non standard : en démontrant un énoncé du premier ordre dans un modèle non standard (ce qui peut être plus facile que de le démontrer dans les réels ), on sait que ce même énoncé est également vrai pour les réels .
Le corps des nombres réels est une extension du corps des nombres rationnels et peut donc être vu comme un espace vectoriel sur . La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, munie de l' axiome du choix, garantit l'existence d'une base de cet espace vectoriel : il existe un ensemble B de nombres réels tel que tout nombre réel puisse s'écrire de manière unique comme une combinaison linéaire finie d'éléments de cet ensemble, à coefficients rationnels uniquement, et tel qu'aucun élément de B ne soit une combinaison linéaire rationnelle des autres. Cependant, ce théorème d'existence est purement théorique, car une telle base n'a jamais été explicitement décrite.
Le théorème du bon ordre implique que les nombres réels peuvent être bien ordonnés si l'axiome du choix est supposé : il existe un ordre total sur ℝ tel que tout sous-ensemble non vide de ℝ possède un plus petit élément dans cet ordre. (L'ordre usuel des nombres réels n'est pas un bon ordre, car, par exemple, un intervalle ouvert ∑_{n=1}^{n} ne contient pas de plus petit élément dans cet ordre.) Là encore, l'existence d'un tel bon ordre est purement théorique, car elle n'a pas été explicitement décrite. Si l'on suppose l' axiome de constructibilité en plus des axiomes de ZF, on peut montrer qu'un bon ordre des nombres réels est explicitement définissable par une formule.
Les nombres réels comprennent les nombres rationnels , qui comprennent les entiers , qui à leur tour comprennent les nombres naturels.
Les fractions simples étaient utilisées par les Égyptiens vers 1000 av. J.-C. ; les « Shulba Sutras » védiques (« Les règles des accords ») datant d’environ mathématiciens indiens, tels que Manava racines carrées de certains nombres, comme 2 et 61, ne pouvaient être déterminées avec exactitude.
Pour les mathématiciens grecs, les nombres se limitaient aux nombres naturels . Les nombres réels étaient appelés « proportions », car ils représentaient le rapport de deux longueurs, ou, de manière équivalente, la mesure d'une longueur en fonction d'une autre, appelée unité de longueur. Deux longueurs sont « commensurables » s'il existe une unité dans laquelle elles sont toutes deux mesurées par des entiers, c'est-à-dire, en termes modernes, si leur rapport est un nombre rationnel . Eudoxe de Cnide (env. 390-340 av. J.-C.) a donné une définition de l'égalité de deux proportions irrationnelles, similaire aux coupes de Dedekind (introduites plus de 2 000 ans plus tard), à ceci près qu'il n'a utilisé aucune autre opération arithmétique que la multiplication d'une longueur par un nombre naturel (voir Eudoxe de Cnide ). On peut considérer cette définition comme la première définition des nombres réels.
Au Moyen Âge, l'acceptation du zéro , des nombres négatifs , des entiers et des fractions s'est généralisée , d'abord grâce aux mathématiciens indiens et chinois , puis grâce aux mathématiciens arabes , qui furent également les premiers à traiter les nombres irrationnels comme des objets algébriques (ce qui fut rendu possible par le développement de l'algèbre). Les mathématiciens arabes ont fusionné les concepts de « nombre » et de « magnitude » en une notion plus générale de nombres réels. Le mathématicien égyptien Abū Kāmil Shujā ibn Aslam équations du second degré , ou comme coefficients d'une équation (souvent sous forme de racines carrées, cubiques et quatrièmes ). En Europe, ces nombres, non commensurables avec l'unité numérique, étaient appelés irrationnels ou surd (« sourds »).
Au XVIIe siècle, Descartes a introduit le terme « réel » pour décrire les racines d'un polynôme , les distinguant ainsi des nombres « imaginaires ».
Aux XVIIIe et XIXe siècles, de nombreux travaux ont porté sur les nombres irrationnels et transcendants. Lambert (1761) a donné une démonstration imparfaite que Legendre (1794) a complété cette démonstration et a montré que Liouville (1840) a montré que ni équation du second degré à coefficients entiers , et a ainsi établi l'existence des nombres transcendants ; Cantor (1873) a étendu et considérablement simplifié cette démonstration. Hermite (1873) a prouvé que Lindemann 1882) a montré que Hilbert (1893), Hurwitz [ et Gordan .
L’idée qu’il existe de nombreux points entre les nombres rationnels, comme la racine carrée de 2, était bien connue des Grecs anciens. L’existence d’une droite numérique continue était considérée comme allant de soi, mais la nature de cette continuité, aujourd’hui appelée complétude , n’était pas comprise. La rigueur développée pour la géométrie ne s’est étendue au concept de nombres qu’au XIXe siècle.
Analyse moderne
Les fondateurs du calcul infinitésimal ont utilisé les nombres réels et les limites sans les définir rigoureusement. Dans son Cours d'analyse (1821), Cauchy a formalisé le calcul infinitésimal, mais il a utilisé les nombres réels sans les définir et a supposé, sans démonstration, que toute suite de Cauchy admet une limite et que cette limite est un nombre réel.
En 1854, Bernhard Riemann a mis en évidence les limites du calcul infinitésimal dans la méthode des séries de Fourier , démontrant ainsi la nécessité d'une définition rigoureuse des nombres réels.
axiomatiquement à un isomorphisme près, décrit ci-après. Il existe également de nombreuses manières de construire « le » système des nombres réels. Une approche courante consiste à partir des nombres naturels, puis à définir algébriquement les nombres rationnels, et enfin à définir les nombres réels comme classes d'équivalence de leurs suites de Cauchy ou comme coupures de Dedekind, qui sont certains sous-ensembles des nombres rationnels. Une autre approche consiste à partir d'une axiomatisation rigoureuse de la géométrie euclidienne (par exemple, celle de Hilbert ou de Tarski ), puis à définir géométriquement le système des nombres réels. Il a été démontré que toutes ces constructions des nombres réels sont équivalentes, au sens où les systèmes de nombres résultants sont isomorphes .
Approche axiomatique
Soit l' ensemble de tous les nombres réels. Alors :
L'ensemble est un corps , ce qui signifie que l'addition et la multiplication y sont définies et possèdent les propriétés habituelles.
Le corps est ordonné, ce qui signifie qu'il existe un ordre total tel que pour tous les nombres réels , et :
si , alors ;
si et , alors .
L'ordre est Dedekind-complet, ce qui signifie que tout sous-ensemble non vide de avec une borne supérieure dans a une borne supérieure minimale (alias supremum) dans .
La dernière propriété s'applique aux nombres réels mais pas aux nombres rationnels (ni à d'autres corps ordonnés plus exotiques ). Par exemple, possède une borne supérieure rationnelle (par exemple, 1,42), mais pas de borne supérieure rationnelle minimale , car n'est pas rationnel.
Ces propriétés impliquent la propriété d'Archimède (qui n'est pas impliquée par d'autres définitions de la complétude), selon laquelle l'ensemble des entiers réels n'a pas de majoration. En effet, si cela était faux, les entiers auraient une majoration minimale ; alors, n ne serait pas une majoration, et il existerait un entier tel que n ≥ 0 , et donc n ≥ 0 , ce qui contredit la propriété de majoration de l'ensemble des entiers réels . N-1" N-1 N" N
Les nombres réels sont définis de manière unique par les propriétés ci-dessus. Plus précisément, étant donnés deux corps ordonnés Dedekind-complets quelconques et , il existe un unique isomorphisme de corps de à . Cette unicité nous permet de les considérer comme un seul et même objet mathématique.
L'ensemble des nombres réels peut être construit comme un complété des nombres rationnels, de telle sorte qu'une suite définie par un développement décimal ou binaire comme (3 ; 3,1 ; 3,14 ; 3,141 ; 3,1415 ; …) converge vers un unique nombre réel — en l'occurrence Construction des nombres réels .
Des physiciens ont parfois suggéré qu'une théorie plus fondamentale remplacerait les nombres réels par des quantités qui ne forment pas un continuum, mais de telles propositions restent spéculatives.
Logique
Les nombres réels sont le plus souvent formalisés à l'aide de l' axiomatisation de Zermelo-Fraenkel de la théorie des ensembles, mais certains mathématiciens les étudient avec d'autres fondements logiques des mathématiques. En particulier, les nombres réels sont également étudiés en mathématiques inverses et en mathématiques constructives .
La théorie des ensembles interne d' Edward Nelson enrichit syntaxiquement la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel en introduisant un prédicat unaire « standard ». Dans cette approche, les infinitésimaux sont des éléments (non « standard ») de l'ensemble des nombres réels (plutôt que d'être des éléments d'une extension de celui-ci, comme dans la théorie de Robinson).
L' hypothèse du continu postule que le cardinal de l'ensemble des nombres réels est 2, c'est-à-dire le plus petit cardinal infini après 2, le cardinal des entiers. Paul Cohen a démontré en 1963 qu'il s'agit d'un axiome indépendant des autres axiomes de la théorie des ensembles ; autrement dit, on peut choisir indifféremment l'hypothèse du continu ou sa négation comme axiome de la théorie des ensembles, sans contradiction.
Calcul
Les calculatrices et les ordinateurs électroniques ne peuvent pas traiter des nombres réels arbitraires, car les ordinateurs, de capacité finie, ne peuvent pas stocker directement une infinité de chiffres ou d'autres représentations infinies. De plus, ils ne traitent généralement même pas des nombres réels définissables arbitraires , qui sont difficiles à manipuler.
Par ailleurs, les systèmes de calcul formel peuvent opérer exactement sur les quantités irrationnelles en manipulant leurs formules symboliques (telles que `x + y` ou `y + z`) plutôt que leurs approximations rationnelles ou décimales. Cependant, l'arithmétique exacte et symbolique présente également des limitations : par exemple, elle est plus coûteuse en calcul ; il n'est généralement pas possible de déterminer si deux expressions symboliques sont égales (le problème de la constante ) ; et les opérations arithmétiques peuvent entraîner une explosion exponentielle de la taille de la représentation d'un nombre (par exemple, élever au carré un nombre rationnel double approximativement le nombre de chiffres de son numérateur et de son dénominateur, et élever au carré un polynôme double approximativement son nombre de termes), ce qui peut saturer la mémoire limitée des ordinateurs.
Un nombre réel est dit calculable s'il existe un algorithme permettant de calculer ses décimales. Comme il n'existe qu'une infinité dénombrable d'algorithmes , tandis que le nombre de nombres réels est non dénombrable, la quasi-totalité des nombres réels ne sont pas calculables. De plus, l'égalité de deux nombres calculables est un problème indécidable . Certains constructivistes n'acceptent l'existence que des nombres réels calculables. L'ensemble des nombres définissables est plus vaste, mais reste néanmoins dénombrable.
théorie des ensembles
En théorie des ensembles , et plus précisément en théorie descriptive des ensembles , l' espace de Baire est utilisé comme substitut des nombres réels, car certaines propriétés topologiques (connexité) de ces derniers constituent un inconvénient technique. Les éléments de l'espace de Baire sont appelés « réels ».
Vocabulaire et notation
Variantes du symbole du nombre réel, à partir des lettres I et R proches (anciens manuels de mathématiques composés avec I et R en arrière-plan), symbole à empattements issu de la police Blackboard Bold avec empattements, police MathDS et MathBB en LaTeX.
Le corps des nombres réels , naturellement doté de la structure d'un corps , est fréquemment utilisé lorsque ses propriétés algébriques sont étudiées.
Les ensembles des nombres réels positifs et des nombres réels négatifs sont souvent notés respectivement et , ; et sont également utilisés. L’ensemble des nombres réels non négatifs peut être noté , mais on le voit souvent noté .
La notation se réfère à l'ensemble des -uplets d'éléments de ( espace des coordonnées réelles ), qui peuvent être identifiés au produit cartésien de espace vectoriel de dimension n espace des coordonnées de dimension espace euclidien de dimension système de coordonnées cartésiennes a été choisi dans ce dernier. Dans cette identification, un point de l'espace euclidien est identifié au n-uplet de ses coordonnées cartésiennes .
En mathématiques, « réel » est employé comme adjectif, signifiant que le corps sous-jacent est le corps des nombres réels (ou le corps réel ). Par exemple, matrice réelle , polynôme réel et algèbre de Lie réelle . Le mot est également employé comme nom , désignant un nombre réel (comme dans « l'ensemble de tous les réels »).
Généralisations et extensions
Les nombres réels peuvent être généralisés et étendus dans plusieurs directions différentes :
L' ensemble des nombres complexes contient les solutions de toutes les équations polynomiales et constitue donc un corps algébriquement clos, contrairement à l'ensemble des nombres réels. Cependant, l'ensemble des nombres complexes n'est pas un corps ordonné.
La longue droite réelle assemble des copies de la droite réelle et un point (où désigne l'ordre inversé de ) pour créer un ensemble ordonné « localement » identique aux nombres réels, mais d'une certaine manière plus long ; par exemple, il existe un plongement de dans la longue droite réelle qui préserve l'ordre, mais pas dans les nombres réels. La longue droite réelle est le plus grand ensemble ordonné complet et localement archimédien. Comme pour les deux exemples précédents, cet ensemble n'est plus un corps ni un groupe additif.
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