Combinaison linéaire

est la combinaison linéaire des vecteurs et telle que

En mathématiques , une combinaison linéaire , ou superposition , est une expression construite à partir d'un ensemble de termes en multipliant chaque terme par une constante et en additionnant les résultats (par exemple, une combinaison linéaire de x et y est une expression de la forme ax + by , où a et b sont des constantes). Le concept de combinaison linéaire est fondamental en algèbre linéaire et dans les domaines mathématiques connexes. Cet article traite principalement des combinaisons linéaires dans le contexte d'un espace vectoriel sur un corps , avec quelques généralisations présentées en fin d'article.

espace vectoriel sur le corps K. Comme d'habitude, on appelle vecteurs les éléments de V et scalaires les éléments de K. Si v₁ , ..., vₙ sont des vecteurs et a₁ , ..., aₙ _des scalaires, alors la combinaison linéaire de ces vecteurs _,dont les coefficients sont ces scalaires _,_est :

L'utilisation du terme « combinaison linéaire » prête à confusion : se réfère-t-il à l'expression ou à sa valeur ? Le plus souvent, l'accent est mis sur la valeur, comme dans l'affirmation « l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de _v₁, _... , vₙ forme toujours un sous-espace vectoriel ». Cependant, on peut aussi dire « deux combinaisons linéaires différentes peuvent avoir la même valeur », auquel cas la référence est à l'expression. La subtile différence entre ces usages réside dans l'essence même de la notion de dépendance linéaire : une famille F de vecteurs est linéairement indépendante si et seulement si toute combinaison linéaire des vecteurs de F (en tant que valeur) l'est de manière unique (en tant qu'expression). Quoi qu'il en soit, même considérées comme des expressions, seules les valeurs des coefficients des vᵢ importent pour une combinaison linéaire ; des modifications triviales telles que la permutation des termes ou l'ajout de termes de coefficient nul ne produisent pas de combinaisons linéaires distinctes _.

Dans une situation donnée, K et V peuvent être spécifiés explicitement ou être évidents d'après le contexte. Dans ce cas, on parle souvent d' une combinaison linéaire des vecteurs v₁ _, ..., vₙ _, dont les coefficients ne sont pas précisés (si ce n'est qu'ils appartiennent à K ). Ou, si S est un sous-ensemble de V , on peut parler d' une combinaison linéaire de vecteurs de S , où ni les coefficients ni les vecteurs ne sont précisés, si ce n'est que les vecteurs appartiennent à l'ensemble S (et les coefficients appartiennent à K ). Enfin, on peut simplement parler d' une combinaison linéaire , sans rien préciser (si ce n'est que les vecteurs appartiennent à V et les coefficients à K ) ; dans ce cas, on fait probablement référence à l'expression , puisque tout vecteur de V est nécessairement la valeur d'une combinaison linéaire.

Il convient de noter que, par définition, une combinaison linéaire ne fait intervenir qu'un nombre fini de vecteurs, sauf dans le cas décrit dans la infini ; chaque combinaison linéaire ne fera intervenir qu'un nombre fini de vecteurs. De plus, rien n'empêche que n soit nul ; dans ce cas, par convention , le résultat de la combinaison linéaire est le vecteur nul de V.

Exemples et contre-exemples

nombres réels , et V l' espace vectoriel euclidien R³ ^. Considérons les vecteurs vecteur de

Fonctions

Soit K l'ensemble C de tous les nombres complexes , et soit V l'ensemble C _T ( R ) de toutes les fonctions continues de la droite réelle R dans le plan complexe C. Considérons les vecteurs (fonctions) f et g définis par f ( t ) := e ^{it} et g ( t ) := e ^{-it } . (Ici, e est la base du logarithme népérien , environ 2,71828..., et i est l' unité imaginaire , une racine carrée de -1.) Quelques combinaisons linéaires de f et g sont :

En revanche, la fonction constante 3 n'est pas une combinaison linéaire de f et g . Pour le démontrer, supposons que 3 puisse s'écrire comme une combinaison linéaire de e ^{it} et e ^{-it } . Cela impliquerait l'existence de scalaires complexes a et b tels que les polynômes à coefficients tirés du corps K. Considérons les vecteurs (polynômes) p ₁ := 1,

En développant les polynômes, cela signifie

et en regroupant les puissances de x , on obtient

Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients correspondants sont égaux, donc nous pouvons en conclure

Ce système d'équations linéaires se résout facilement. La première équation indique simplement que a _3 vaut 1. Sachant cela, on peut résoudre la deuxième équation pour a _2 , qui vaut −1. Enfin, la dernière équation nous indique que a _1 vaut également −1. Par conséquent, la seule façon d'obtenir une combinaison linéaire est avec ces coefficients. En effet,

donc x ² − 1 est une combinaison linéaire de p ₁ , p ₂ , et p ₃ .

En revanche, si l'on cherche à faire de x ³ − 1 une combinaison linéaire de p ₁ , p ₂ et p ₃ , alors en suivant le même processus qu'auparavant, on obtient l'équation

Cependant, lorsque nous égalisons les coefficients correspondants dans ce cas, l'équation ^pourx³ est

ce qui est toujours faux. Par conséquent, cela ne peut pas fonctionner, et x ³ − 1 n'est pas une combinaison linéaire de p ₁ , p ₂ , et p ₃ .

L'étendue linéaire

espace vectoriel engendré (ou simplement espace vectoriel engendré ₎ des vecteurs, soit S = { v₁ , ..., vₙ _} . On note l'espace vectoriel engendré par S comme espace vectoriel engendré( S ) ou sp( S ).

Indépendance linéaire

Cela équivaut, en soustrayant ces ( ), à dire qu'une combinaison non triviale est nulle :

Si cela est possible, alors _les_{vecteurs v₁}, ..., vₙ sont dits linéairement dépendants ; sinon, ils sont linéairement indépendants . De même, on peut parler de dépendance ou d’indépendance linéaire d’un ensemble quelconque S de vecteurs.

Si S est linéairement indépendant et que l'espace engendré par S est égal à V , alors S est une base de V.

combinaisons affines, coniques et convexes

En restreignant les coefficients utilisés dans les combinaisons linéaires, on peut définir les concepts connexes de combinaison affine , de combinaison conique et de combinaison convexe , ainsi que les notions associées d'ensembles fermés par ces opérations.

Type de combinaison	Restrictions sur les coefficients	Nom de l'ensemble	Espace modèle
Combinaison linéaire	aucune restriction	sous-espace vectoriel
Combinaison affine		sous-espace affine	hyperplan affine
Combinaison conique		Cône convexe	Quadrant , octant ou orthant
Combinaison convexe	$et$	Ensemble convexe	Simplex

Comme il s'agit d'opérations plus restreintes , davantage de sous-ensembles seront fermés par elles ; ainsi, les sous-ensembles affines, les cônes convexes et les ensembles convexes sont des généralisations des sous-espaces vectoriels : un sous-espace vectoriel est aussi un sous-espace affine, un cône convexe et un ensemble convexe, mais un ensemble convexe n'est pas nécessairement un sous-espace vectoriel, affine ou un cône convexe.

Ces concepts apparaissent souvent lorsqu'on peut prendre certaines combinaisons linéaires d'objets, mais pas toutes : par exemple, les distributions de probabilité sont fermées par combinaison convexe (elles forment un ensemble convexe), mais pas par combinaisons coniques ou affines (ou linéaires), et les mesures positives sont fermées par combinaison conique mais pas par combinaison affine ou linéaire – d'où la définition des mesures signées comme fermeture linéaire.

Les combinaisons linéaires et affines peuvent être définies sur n'importe quel corps (ou anneau), mais les combinaisons coniques et convexes nécessitent une notion de « positif » et ne peuvent donc être définies que sur un corps ordonné (ou anneau ordonné ), généralement les nombres réels.

Si l'on n'autorise que la multiplication scalaire , et non l'addition, on obtient un cône (pas nécessairement convexe) ; on restreint souvent la définition à n'autoriser que la multiplication par des scalaires positifs.

Tous ces concepts sont généralement définis comme des sous-ensembles d'un espace vectoriel ambiant (à l'exception des espaces affines, qui sont également considérés comme des « espaces vectoriels oubliant l'origine »), plutôt que d'être axiomatisés indépendamment.

théorie opérative

la théorie des opérades , on peut considérer les espaces vectoriels comme des algèbres sur l'opérade (la somme directe infinie , de sorte que seul un nombre fini de termes sont non nuls ; cela correspond à ne considérer que des sommes finies), qui paramétrise les combinaisons linéaires : le vecteur par exemple correspond à la combinaison linéaire . De même, on peut considérer que les combinaisons affines, coniques et convexes correspondent aux sous-opérades où la somme des termes est égale à 1, les termes sont tous non négatifs, ou les deux, respectivement. Graphiquement, il s'agit de l'hyperplan affine infini, de l'hyperoctant infini et du simplexe infini. Ceci formalise ce que l'on entend par espaces modèles, et notamment le fait que tout polytope convexe borné est l'image d'un simplexe. Ici, les sous-opérades correspondent à des opérations plus restreintes et donc à des théories plus générales.

De ce point de vue, on peut considérer les combinaisons linéaires comme le type d'opération le plus général sur un espace vectoriel - dire qu'un espace vectoriel est une algèbre sur l'opérade des combinaisons linéaires revient précisément à affirmer que toutes les opérations algébriques possibles dans un espace vectoriel sont des combinaisons linéaires. Les opérations de base d'addition et de multiplication scalaire, ainsi que l'existence d'un élément neutre additif et d'inverses additifs, ne peuvent être combinées d'une manière plus compliquée que la combinaison linéaire générique : les opérations de base constituent un ensemble générateur pour l'opérade de toutes les combinaisons linéaires. En définitive, ce fait est au cœur de l'utilité des combinaisons linéaires dans l'étude des espaces vectoriels.

Généralisations

Si V est un espace vectoriel topologique , il est possible d'interpréter certaines combinaisons linéaires infinies grâce _à la topologie de V. Par exemple, on pourrait parler de a₁v₁ ₊a₂v₂ ₊a₃v₃ + … , _et ainsi de suite. De telles combinaisons linéaires infinies n'ont pas toujours de sens ; on dit qu'elles _convergentlorsqu'elles en ont un. Autoriser davantage de combinaisons linéaires dans ce cas peut également conduire à une conception différente de l' espace engendré, _{de l'indépendance linéaire et de}la base. Les articles consacrés aux différentes variantes d'espaces vectoriels topologiques développent ces points plus en détail.

Si K est un anneau commutatif au lieu d'un corps, alors tout ce qui a été dit précédemment concernant les combinaisons linéaires s'applique sans modification. La seule différence est que l'on appelle ces espaces V des modules au lieu d'espaces vectoriels. Si K est un anneau non commutatif , le concept s'applique également, à une exception près : les modules sur les anneaux non commutatifs admettant une version à gauche et une version à droite, nos combinaisons linéaires peuvent également s'adopter sous l'une ou l'autre de ces versions, selon le module considéré. Il suffit alors d'effectuer la multiplication par un scalaire du bon côté.

Une complexité supplémentaire apparaît lorsque V est un bimodule sur deux anneaux, K _L et K _R . Dans ce cas, la combinaison linéaire la plus générale ressemble à

où a ₁ ,..., a _n appartiennent à K _L , b ₁ ,..., b _n appartiennent à K _R , et v ₁ ,…, v _n appartiennent à V .