Worldlex Wiki Les valeurs de sont appelées solutions de l'équation, et racines ou zéros de la fonction quadratique à gauche. Une équation du second degré possède au plus deux solutions. S'il n'y a qu'une seule solution, on dit qu'il s'agit d'une racine double . Si tous les coefficients sont des nombres réels , il existe soit deux solutions réelles, soit une racine double réelle, soit deux solutions complexes conjuguées . Une équation du second degré possède toujours deux racines, si l'on inclut les racines complexes et si l'on compte une racine double pour deux. Une équation du second degré peut être factorisée en une équation équivalente où
La formule quadratique exprime les solutions en fonction de La méthode du carré parfait est l'une des façons d'obtenir cette formule.
Des solutions aux problèmes qui peuvent être exprimés en termes d'équations quadratiques étaient connues dès 2000 avant J.-C.
L'équation du second degré ne contient que des puissances de qui sont des entiers non négatifs ; c'est donc une équation polynomiale . Plus précisément, c'est une équation polynomiale du second degré , puisque la plus grande puissance est deux.
0, la forme de la parabole reste inchangée, mais son sommet est surélevé par rapport à l'origine. Lorsque c < 0, le sommet de la parabole est abaissé par rapport à l'origine. Le graphique du milieu illustre la variation de b. Lorsque b < 0, la forme de la parabole représentant la fonction quadratique reste inchangée, mais son sommet est décalé vers la droite et vers le bas par rapport à l'origine. Lorsque b > 0, son sommet est décalé vers la gauche et vers le bas par rapport à l'origine. Les sommets de la famille de courbes obtenues en faisant varier b suivent une courbe parabolique. Le graphique de droite illustre la variation de eh. Lorsque eh est positif, la fonction quadratique est une parabole ouverte vers le haut. Lorsque eh est nul, la fonction quadratique est une droite horizontale. Lorsque eh est négatif, la fonction quadratique est une parabole ouverte vers le bas." resource="//en.wikipedia.org/wiki/File:Quadratic_equation_coefficients_with_standard_ranges.png" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Quadratic_equation_coefficients_with_standard_ranges.png/330px-Quadratic_equation_coefficients_with_standard_ranges.png" decoding="async" data-file-width="1276" data-file-height="877" data-file-type="bitmap" height="206" width="300" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Quadratic_equation_coefficients_with_standard_ranges.png/960px-Quadratic_equation_coefficients_with_standard_ranges.png 2x" class="mw-file-element" id="mwVQ">Les solutions d'une équation du second degré peuvent être trouvées par plusieurs méthodes alternatives.
Affranchissement par inspection
Il est possible d'exprimer une équation du second degré formules de Viète ). Par exemple,
Le symbole plus-moins « ± » indique que et sont tous deux des solutions de l'équation quadratique.
Formule quadratique et sa démonstration
démonstrations alternatives . Ces preuves sont plus simples que la méthode classique de complétion du carré, constituent des applications intéressantes d'autres techniques fréquemment utilisées en algèbre, ou offrent un éclairage sur d'autres domaines des mathématiques.
Une formule quadratique moins connue, utilisée dans la méthode de Muller , donne les mêmes racines via l'équation suivante : [équation manquante ]. On peut la déduire de la formule quadratique standard grâce aux formules de Viète , qui affirment que le produit des racines est égal à
L'une des propriétés de cette forme est qu'elle donne une racine valide lorsque forme indéterminée multiplication croisée , et de même pour l'autre choix de signes.
Équation quadratique réduite
Il est parfois pratique de simplifier une équation du second degré afin que son coefficient dominant soit égal à un. Pour ce faire, on divise les deux membres par
où polynomiale unitaire a les mêmes solutions que l'originale.
La formule quadratique des solutions de l'équation quadratique réduite, exprimée en fonction de ses coefficients, est :
Discriminant
Dans la formule quadratique, l'expression sous le symbole de la racine carrée est appelée le discriminant de l'équation du second degré et est souvent représentée par un majuscule ou un delta grec majuscule : Une équation du second degré à coefficients réels peut avoir une ou deux racines réelles distinctes, ou deux racines complexes distinctes. Dans ce cas, le discriminant détermine le nombre et la nature des racines. Il existe trois cas :
- Si le discriminant est positif, alors il existe deux racines distinctes, toutes deux réelles. Pour les équations du second degré à coefficients rationnels , si le discriminant est un carré parfait , alors les racines sont rationnelles ; dans le cas contraire, il peut s’agir de nombres irrationnels du second degré .
- Si le discriminant est nul, alors il existe exactement une racine réelle, parfois appelée racine double ou racine répétée, ou encore deux racines égales.
- Si le discriminant est négatif, alors il n'y a pas de racines réelles. Il existe plutôt deux racines complexes distinctes (non réelles) qui sont des complexes conjugués l'un de l'autre. Dans ces expressions, unité imaginaire .
Ainsi, les racines sont distinctes si et seulement si le discriminant est non nul, et les racines sont réelles si et seulement si le discriminant est non négatif.
Interprétation géométrique
La fonction fonction quadratique . Le graphique de toute fonction quadratique a la même forme générale, appelée parabole . La position, minimum et est orientée vers le haut. Si sommet . L' racines de la fonction des nombres réels et que le de f axe axe racine de l'équation du second degré. Il découle de la formule quadratique que… Dans le cas particulier où factorisé comme suit :
Solution graphique
Si la parabole coupe l' axe racines réelles , qui sont les tangente à l' axe complexes conjuguées . Bien que ces racines ne puissent être visualisées sur le graphique, leurs parties réelle et imaginaire peuvent l'être.
Soient
Éviter la perte d'importance
Bien que la formule quadratique fournisse une solution exacte, le résultat ne l'est pas si les nombres réels sont approchés lors du calcul, comme c'est souvent le cas en analyse numérique , où les nombres réels sont approchés par des nombres à virgule flottante (appelés « réels » dans de nombreux langages de programmation ). Dans ce contexte, la formule quadratique n'est pas parfaitement stable .
Cela se produit lorsque les racines sont d'ordres de grandeur différents − 4ac une perte de signification , voire une annulation,
en utilisant le signe plus si et le signe moins si0" 
Une seconde forme d'annulation peut se produire entre les termes
Les équations du cercle et des autres sections coniques — ellipses , paraboles et hyperboles — sont des équations quadratiques à deux variables.
Étant donné le cosinus ou le sinus d'un angle, trouver le cosinus ou le sinus de l'angle qui est deux fois plus petit implique de résoudre une équation du second degré.
Le processus de simplification d'expressions impliquant la racine carrée d'une expression impliquant la racine carrée d'une autre expression consiste à trouver les deux solutions d'une équation du second degré.
Le théorème de Descartes stipule que pour quatre cercles tangents entre eux, leurs rayons satisfont une équation quadratique particulière.
L'équation donnée par le théorème de Fuss , établissant la relation entre le rayon du cercle inscrit d' un quadrilatère bicentrique , le rayon de son cercle circonscrit et la distance entre les centres de ces cercles, peut s'exprimer sous la forme d'une équation du second degré dont l'une des solutions exprime la distance entre les centres des deux cercles en fonction de leurs rayons. L'autre solution de cette même équation, exprimée en fonction des rayons considérés, donne la distance entre le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle extangent à un quadrilatère excentré .
Les points critiques d'une fonction cubique et les points d'inflexion d'une fonction quartique sont déterminés en résolvant une équation du second degré.
En physique , pour un mouvement à accélération constante , le déplacement ou la position d'un corps en mouvement peut être exprimé comme une fonction quadratique du temps étant donné la position initiale et la vitesse initiale : .
En chimie , le pH d'une solution d' acide faible peut être calculé à partir du logarithme décimal négatif de la racine positive d'une équation quadratique en fonction de la constante d'acidité et de la concentration analytique de l'acide.
Histoire
Dès 2000 av. J.-C. (comme en témoignent des tablettes d'argile de l'Ancien Babylone ), les mathématiciens babyloniens étaient capables de résoudre des problèmes reliant les aires et les côtés des rectangles. Des preuves attestent de l'existence de cet algorithme dès la IIIe dynastie d'Ur . En notation moderne, ces problèmes consistaient généralement à résoudre un système de deux équations de la forme : ce qui équivaut à affirmer que
Les étapes données par les scribes babyloniens pour résoudre le problème du rectangle ci-dessus, en fonction de formule quadratique moderne pour la plus grande racine réelle (le cas échéant) avec papyrus de Berlin égyptien , datant du Moyen Empire (2050 à 1650 av. J.-C.), contient la solution d'une équation du second degré à deux termes. Les mathématiciens babyloniens, vers 400 av. J.-C., et les mathématiciens chinois, vers 200 av. J.-C., utilisaient des méthodes géométriques de dissection pour résoudre les équations du second degré à racines positives. Les règles de résolution des équations du second degré sont énoncées dans les Neuf Chapitres sur l'Art mathématique , un traité chinois de mathématiques. Ces premières méthodes géométriques ne semblent pas avoir disposé d'une formule générale. Euclide , le mathématicien grec , a élaboré une méthode géométrique plus abstraite vers 300 av. J.-C. Avec une approche purement géométrique, Pythagore et Euclide ont créé une procédure générale pour trouver les solutions des équations du second degré. Dans son ouvrage Arithmetica , le mathématicien grec Diophante a résolu l'équation quadratique, mais n'a donné qu'une seule racine, même lorsque les deux racines étaient positives.
En 628 apr. J.-C., Brahmagupta , mathématicien indien , a donné dans son ouvrage Brāhmasphuṭasiddhānta la première solution explicite (bien que non encore totalement générale) de l'équation quadratique manuscrit de Bakhshali, écrit en Inde au VIIᵉ siècle apr. J.-C., contenait une formule algébrique pour résoudre les équations quadratiques, ainsi que les équations linéaires indéterminées (à l'origine de type Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (IXe siècle) a développé un ensemble de formules valables pour les solutions positives. Il a ensuite fourni une solution complète à l'équation du second degré générale, admettant une ou deux solutions numériques pour chaque équation, et en fournissant des démonstrations géométriques . Il a également décrit la méthode de complétion du carré et a reconnu que le discriminant devait être positif, Ce résultat a été démontré par son contemporain 'Abd al-Hamīd ibn Turk (Asie centrale, IXe siècle), qui a fourni des figures géométriques pour prouver que si le discriminant est négatif, une équation du second degré n'a pas de solution. Bien qu'al-Khwarizmi lui-même n'ait pas accepté les solutions négatives, les mathématiciens musulmans qui lui ont succédé les ont acceptées, ainsi que les nombres irrationnels . Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (Égypte, Xᵉ siècle) fut notamment le premier à accepter les nombres irrationnels (souvent sous la forme d'une racine carrée , cubique ou quatrième ) comme solutions d'équations du second degré ou comme coefficients d'une équation. Le mathématicien indien Sridhara (IXᵉ siècle) a formulé des règles pour résoudre les équations du second degré.
Le mathématicien juif Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (XIIe siècle, Espagne) est l'auteur du premier ouvrage européen présentant la solution complète de l'équation du second degré générale. Sa solution s'appuyait largement sur les travaux d'Al-Khwarizmi. Les écrits du mathématicien chinois Yang Hui (1238-1298) constituent le premier ouvrage connu mentionnant des équations du second degré à coefficients négatifs en « x », bien qu'il les attribue à Gerolamo Cardano compila les ouvrages relatifs aux équations du second degré. La formule du second degré couvrant tous les cas fut obtenue pour la première fois par Simon Stevin en 1594. En 1637, René Descartes publia La Géométrie, contenant la formule du second degré sous la forme que nous connaissons aujourd'hui.
Sujets avancés
Méthodes alternatives de calcul des racines
Les formules de Viète
La première formule de Viète est utile pour tracer le graphique d'une fonction quadratique. Puisque le graphique est symétrique par rapport à une droite verticale passant par le sommet , l'abscisse du sommet la méthode de complétion du carré ).
Pour le calcul numérique, les formules de Viète offrent une méthode efficace pour trouver les racines d'une équation du second degré lorsque l'une des racines est très petite par rapport à l'autre. Si des erreurs d'arrondi lors du calcul numérique. La figure illustre la différence entre (i) un calcul direct à l'aide de la formule du second degré (précise lorsque les racines sont proches en valeurs) et (ii) un calcul basé sur l'approximation des formules de Viète (précise lorsque les racines sont très éloignées l'une de l'autre). Lorsque le coefficient linéaire Réponse indicielle ).
Solution trigonométrique
Avant l'invention des calculatrices, on utilisait des tables mathématiques – des listes de nombres présentant les résultats de calculs avec différents arguments – pour simplifier et accélérer les calculs. Les tables de logarithmes et de fonctions trigonométriques étaient courantes dans les manuels de mathématiques et de sciences. Des tables spécialisées étaient publiées pour des applications telles que l'astronomie, la navigation astronomique et les statistiques. Des méthodes d'approximation numérique, appelées prosthaphérèse , permettaient de gagner du temps sur des opérations fastidieuses comme la multiplication et le calcul des puissances et des racines. Les astronomes, en particulier, recherchaient des méthodes permettant d'accélérer les longs calculs nécessaires en mécanique céleste .
C’est dans ce contexte que l’on peut comprendre le développement des méthodes de résolution des équations du second degré par substitution trigonométrique . Considérons la forme alternative suivante de l’équation du second degré :
où le signe du symbole ± est choisi de sorte que
et en multipliant ensuite par
En introduisant des fonctions de
où les indices [1] . En substituant les deux valeurs de [4] ou [5] dans [2], on obtient les racines recherchées de [1] . Des racines complexes apparaissent dans la solution basée sur l'équation [5] si la valeur absolue de
- Une table de consultation à sept positions peut ne contenir que 100 000 entrées, et le calcul des résultats intermédiaires à sept positions nécessiterait généralement une interpolation entre les entrées adjacentes.
- (arrondi à six chiffres significatifs)
Solution pour les racines complexes en coordonnées polaires
Si l'équation quadratique à coefficients réels a deux racines complexes — le cas où a et c doivent avoir le même signe l'un que l'autre — alors les solutions pour les racines peuvent être exprimées sous forme polaire comme
où et
Solution géométrique
Le cercle de Carlyle , nommé d'après Thomas Carlyle , a la propriété que les solutions de l'équation quadratique sont les coordonnées horizontales des intersections du cercle avec l' axe horizontal . Les cercles de Carlyle ont été utilisés pour développer des constructions à la règle et au compas de polygones réguliers .
Généralisation de l'équation quadratique
La formule et sa démonstration restent correctes si les coefficients des nombres complexes , ou plus généralement des éléments d'un corps dont la caractéristique n'est pas extension quadratique qui en contient une, de sorte que la formule quadratique sera toujours définie comme une formule dans cette extension.
Caractéristique 2
Dans un corps de caractéristique inversion de unitaire sur un corps de caractéristique la notion de résidu quadratique pour plus d'informations sur l'extraction de racines carrées dans les corps finis.
Dans le cas où irréductible , elles ne peuvent être exprimées en fonction des racines carrées de nombres appartenant au corps des coefficients. On définit alors la racine 2 corps de décomposition de ce polynôme. On vérifie que
Par exemple, soit corps de Galois la théorie d’Artin-Schreier .