Un nombre complexe z peut être représenté visuellement comme une paire de nombres a , b ) formant un vecteur de position (bleu) ou un point (rouge) sur un diagramme appelé diagr...
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Un nombre complexe vecteur de position (bleu) ou un point (rouge) sur un diagramme appelé diagramme d'Argand, représentant le plan complexe. Re est l'axe réel, Im est l'axe imaginaire et mathématiques , un nombre complexe est un élément d'un système de nombres qui étend les nombres réels avec un élément spécifique, noté unité imaginaire et satisfaisant l'équation i = i² + i² . Comme aucun nombre réel ne satisfait cette équation, René Descartes a nommé nombre imaginaire . Tout nombre complexe peut s'exprimer sous la forme i² + i² , où les équations polynomiales , même celles qui n'ont pas de solutions réelles. Plus précisément, le théorème fondamental de l'algèbre affirme que toute équation polynomiale non constante, à coefficients réels ou complexes, possède une solution complexe. Par exemple, l'équation n'a pas de solution réelle, car le carré d'un nombre réel ne peut être négatif, mais elle admet deux solutions complexes non réelles : et .
L'addition, la soustraction et la multiplication des nombres complexes sont définies à l'aide de la règle `multiplicative = 0` , ainsi que des propriétés d'associativité , de commutativité et de distributivité . Tout nombre complexe non nul possède un inverse multiplicatif , ce qui permet la division par des nombres complexes non nuls. Ceci fait des nombres complexes un corps dont les nombres réels sont un sous-corps. De ce fait, la notation `multiplicative
L'ensemble des nombres complexes forme un espace vectoriel réel de dimension deux , dont la base canonique est . Cette base canonique définit un plan cartésien , appelé plan complexe . Ceci permet une interprétation géométrique des nombres complexes et de leurs opérations, et réciproquement, certains objets et opérations géométriques peuvent être exprimés en termes de nombres complexes. Par exemple, les nombres réels forment la droite réelle , qui est représentée comme l'axe horizontal du plan complexe, tandis que les multiples réels de constituent l'axe vertical. Un nombre complexe peut également être défini par ses coordonnées polaires géométriques : le rayon est appelé la valeur absolue du nombre complexe, tandis que l'angle avec l'axe réel positif est appelé l'argument du nombre complexe. Les nombres complexes de valeur absolue 1 forment le cercle unité . L'addition d'un nombre complexe fixé à tous les nombres complexes définit une translation dans le plan complexe, et la multiplication par un nombre complexe fixé est une similitude centrée à l'origine (dilatation par la valeur absolue et rotation par l'argument). L'opération de conjugaison complexe est la réflexion par rapport à l'axe réel.
Divers nombres complexes représentés dans le plan complexe.
Un nombre complexe est une expression de la forme
Un nombre complexe paire ordonnée de nombres réels , qui peut être interprétée comme les coordonnées d'un point dans un plan euclidien avec des coordonnées standard, lequel est alors appelé plan complexe ou diagramme d'Argand . L'axe horizontal est généralement utilisé pour afficher la partie réelle, avec des valeurs croissantes vers la droite, et la partie imaginaire marque l'axe vertical, avec des valeurs croissantes vers le haut.
Un nombre réel ensemble de tous les nombres complexes est noté ( en gras sur tableau noir ) ou en gras droit ).
Dans certaines disciplines telles que l'électromagnétisme et le génie électrique, L'addition de deux nombres complexes peut être effectuée géométriquement en construisant un parallélogramme.
Deux nombres complexes et s'additionnent en additionnant séparément leurs parties réelle et imaginaire. C'est-à-dire :
L'addition peut être visualisée géométriquement comme suit : la somme de deux nombres complexes parallélogramme à partir des trois sommets triangles congruents .
MultiplicationVisualisation vectorielle de la multiplication des nombres complexes
Par exemple, cela inclut notamment, comme cas particulier, la formule fondamentale
Cette formule permet de distinguer le nombre complexe i de tout nombre réel, puisque le carré de tout nombre réel (négatif ou positif) est toujours un nombre réel non négatif.
Avec cette définition de la multiplication et de l'addition, les règles habituelles de l'arithmétique des nombres rationnels ou réels restent valables pour les nombres complexes. Plus précisément, la distributivité et la commutativité (de l'addition et de la multiplication) sont conservées. Par conséquent, les nombres complexes forment une structure algébrique appelée corps , tout comme les nombres rationnels ou réels.
Conjugué complexe, valeur absolue, argument et division
Représentation géométrique de conjugué complexe du nombre complexe « symétrie » de si et seulement s'il est égal à son propre conjugué. L' opération unaire consistant à calculer le conjugué complexe d'un nombre complexe ne peut être exprimée par les seules opérations de base d'addition, de soustraction, de multiplication et de division.L'argument
est un nombre réel non négatif . Cela permet de définir la valeur absolue (ou module ) de z comme étant sa racine carrée D' après le théorème de Pythagore , est la distance entre l'origine et le point représentant le nombre complexe z dans le plan complexe. En particulier, le cercle de rayon un centré sur l'origine est constitué précisément des nombres z tels que , appelés les nombres complexes unitaires .
En utilisant le conjugué, l' inverse d'un nombre complexe non nul peut être calculé comme étant
Plus généralement, la division d'un nombre complexe quelconque par un nombre complexe non nul est égale à : Ce processus est parfois appelé « rationalisation » du dénominateur (bien que le dénominateur de l'expression finale puisse être un nombre réel irrationnel), car il ressemble à la méthode permettant d'éliminer les racines des expressions simples au dénominateur.
L' argument de rayon radians dans cet article. Cet angle est défini à des multiples entiers de φ près , car une rotation de φ (ou 360°) autour de l'origine laisse tous les points du plan complexe inchangés. Une façon de spécifier l'argument de manière univoque est d'exiger qu'il appartienne à l'intervalle [0, 1] , appelé valeur principale . L'argument peut être calculé à partir de la forme rectangulaire arctangente .
Forme polaireOn multiplie hypoténuse du triangle bleu (multiplication des deux rayons, comme indiqué dans le terme r₁ r₂ de l' équation ) .
Pour tout nombre complexe z , avec valeur absolue et argument , l'équation
Cette identité est valable. Elle est appelée la forme polaire de z . Elle est parfois abrégée en . En électronique, on représente un phaseur d'amplitude notation angulaire :
Si deux nombres complexes sont donnés sous forme polaire, c'est-à-dire identités trigonométriques des fonctions sinus et radians ). Par ailleurs, la somme des angles à l'origine des triangles rouge et bleu est respectivement égale à arctan (1/3) et arctan(1/2). Ainsi, la formule est vérifiée. Comme la fonction arctan peut être approchée de manière très efficace, des formules comme celle-ci – connues sous le nom de formules de type Machin – sont utilisées pour des approximations de haute précision de
Pouvoirs et racines
la formule de de Moivre , qui est obtenue en appliquant de manière répétée la formule ci-dessus pour le produit : Par exemple, les premières puissances de l'unité imaginaire i sont .Représentation géométrique des racines 2 à 6 d'un nombre complexe z , sous forme polaire re i φ où r = | z | et φ = arg z . Si z est réel, φ = 0 ou π . Les racines principales sont représentées en noir.
Les racines
En général, il n'existe pas de méthode naturelle pour identifier une racine fonction à valeurs théorème fondamental de l'algèbre , de Carl Friedrich Gauss et Jean le Rond d'Alembert , stipule que pour tous nombres complexes (appelés coefficients ) corps des nombres rationnels (le polynôme le corps est algébriquement clos . Il constitue une pierre angulaire de nombreuses applications des nombres complexes, comme nous le verrons plus loin. Ce théorème admet diverses démonstrations, soit par des méthodes analytiques telles que le théorème de Liouville , soit par des méthodes topologiques comme le nombre d'enroulement , soit encore par une démonstration combinant la théorie de Galois et le fait que tout polynôme réel de degré impair possède au moins une racine réelle.
radicale (sans fonctions trigonométriques ) d'une équation cubique générale , lorsque ses trois racines sont réelles, contient des racines carrées négatives . Cette situation ne peut être résolue par factorisation, même avec le critère des racines rationnelles , si la cubique est irréductible ; c'est le cas dit « casus irreducibilis » ( Gerolamo Cardano à concevoir les nombres complexes vers 1545 dans son <i>Ars Magna </i> , bien que sa compréhension fût rudimentaire ; de plus, il a décrit plus tard les nombres complexes comme étant « aussi subtils qu'inutiles » . Cardano utilisait bien les nombres imaginaires, mais qualifiait leur usage de « torture mentale » . C'était avant l'utilisation de la représentation graphique du plan complexe. Cardano et d'autres mathématiciens italiens, notamment Scipione del Ferro , ont créé au XVIe siècle un algorithme pour résoudre les équations cubiques qui admettaient généralement une solution réelle et deux solutions contenant un nombre imaginaire. Comme ils ignoraient les solutions contenant les nombres imaginaires, Cardano les jugea inutiles.
Les travaux sur le problème des polynômes généraux ont finalement abouti au théorème fondamental de l'algèbre, qui démontre que, pour les nombres complexes, toute équation polynomiale de degré un ou supérieur admet une solution. Les nombres complexes forment ainsi un corps algébriquement clos , dans lequel toute équation polynomiale possède une racine .
De nombreux mathématiciens ont contribué au développement des nombres complexes. Les règles d'addition, de soustraction, de multiplication et d'extraction des racines des nombres complexes ont été établies par le mathématicien italien Rafael Bombelli . Un formalisme plus abstrait pour les nombres complexes a ensuite été développé par le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton , qui a étendu cette abstraction à la théorie des quaternions .
La première mention, même fugace, des racines carrées de nombres négatifs se trouve peut-être dans l'œuvre du mathématicien grec Héron d'Alexandrie, au Ier siècle après J.-C. , où, dans ses Stereometrica, il considère, apparemment à tort, le volume d'un tronc de pyramide impossible pour arriver au terme dans ses calculs, qui se simplifierait aujourd'hui en . Les quantités négatives n'étaient pas conçues dans les mathématiques hellénistiques et Héron a simplement remplacé la valeur négative par sa valeur positive
L'intérêt pour l'étude des nombres complexes en tant que sujet à part entière remonte au XVIe siècle, lorsque les mathématiciens italiens Niccolò Fontana Tartaglia et Gerolamo Cardano découvrirent des solutions algébriques pour les racines des polynômes cubiques et quartiques . On s'aperçut rapidement (mais ce fut démontré bien plus tard) que ces formules, même en ne considérant que les solutions réelles, nécessitaient parfois la manipulation de racines carrées négatives. En effet, il fut démontré par la suite que l'utilisation des nombres complexes est inévitable lorsque les trois racines sont réelles et distinctes. Cependant, la formule générale reste applicable dans ce cas, moyennant une attention particulière à l'ambiguïté résultant de l'existence de trois racines cubiques pour des nombres complexes non nuls. Rafael Bombelli fut le premier à aborder explicitement ces solutions apparemment paradoxales des équations cubiques et à développer les règles de l'arithmétique complexe, cherchant ainsi à résoudre ces problèmes.
Le terme « imaginaire » pour ces quantités a été inventé par René Descartes en 1637, qui s’est efforcé de souligner leur nature irréelle :
... parfois seulement imaginaire, c'est-à-dire qu'on peut en imaginer autant que je l'ai dit dans chaque équation, mais parfois il n'existe aucune quantité qui corresponde à celle que nous imaginons. [ ... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imagine. ]
Une autre source de confusion résidait dans l'apparente incohérence de l'équation avec l'identité algébrique , valable pour des nombres réels non négatifs Leonhard Euler . Cette difficulté a finalement conduit à la convention d'utiliser le symbole spécial Éléments d'algèbre , il introduit ces nombres presque immédiatement et les utilise ensuite naturellement tout au long de l'ouvrage.
Au XVIIIe siècle, les nombres complexes se sont largement répandus, car on a constaté que la manipulation formelle des expressions complexes permettait de simplifier les calculs impliquant des fonctions trigonométriques. Par exemple, en 1730, Abraham de Moivre a remarqué que les identités reliant les fonctions trigonométriques d'un multiple entier d'un angle aux puissances des fonctions trigonométriques de cet angle pouvaient être réexprimées par la formule de de Moivre suivante :
La formule d'Euler relie la fonction exponentielle complexe d'un argument imaginaire, que l'on peut considérer comme décrivant un mouvement circulaire uniforme dans le plan complexe, aux fonctions cosinus et sinus, qui sont géométriquement ses projections sur les axes réel et imaginaire, respectivement.
en manipulant formellement des séries de puissances complexes et en observant que cette formule pouvait être utilisée pour réduire n'importe quelle identité trigonométrique à des identités exponentielles beaucoup plus simples.
L'idée d'un nombre complexe comme point dans le plan complexe a été décrite pour la première fois par le mathématicien dano - norvégien Caspar Wessel en 1799, bien qu'elle ait été anticipée dès 1685 dans le Traité d'algèbre de Wallis .
Les mémoires de Wessel parurent dans les Actes de l' Académie de Copenhague, mais passèrent largement inaperçus. En 1806, Jean-Robert Argand publia indépendamment une brochure sur les nombres complexes et en proposa une démonstration rigoureuse du théorème fondamental de l'algèbre . Carl Friedrich Gauss avait auparavant publié une démonstration essentiellement topologique de ce théorème en 1797, mais avait alors exprimé des doutes quant à « la véritable métaphysique de la racine carrée de −1 ». Ce n'est qu'en 1831 qu'il surmonta ces doutes et publia son traité sur les nombres complexes comme points du plan, établissant ainsi en grande partie la notation et la terminologie modernes :
Si l'on a par le passé abordé ce sujet sous un angle erroné et perçu, de ce fait, une certaine obscurité, cela est dû en grande partie à une terminologie maladroite. Si l'on n'avait pas qualifié +1, −1 d'unités positives, négatives ou imaginaires (voire impossibles), mais plutôt d'unités directes, inverses ou latérales, par exemple, il aurait été difficilement envisageable de parler d'une telle obscurité.
Au début du 19e siècle, d'autres mathématiciens ont découvert indépendamment la représentation géométrique des nombres complexes : Buée, Mourey , Français et son frère, Bellavitis .
Le mathématicien anglais GH Hardy a fait remarquer que Gauss était le premier mathématicien à utiliser les nombres complexes « d'une manière vraiment confiante et scientifique », bien que des mathématiciens tels que le Norvégien Niels Henrik Abel et Carl Gustav Jacob Jacobi les utilisaient nécessairement de manière routinière avant que Gauss ne publie son traité de 1831.
Bien que les définitions concrètes ci-dessus, y compris l'addition et la multiplication, décrivent avec précision les nombres complexes, il existe d'autres approches équivalentes qui révèlent plus immédiatement la structure algébrique abstraite des nombres complexes.
Une définition des nombres complexes est qu'ils forment un corps noté corps réel engendré sur élément distingué noté . le corps de décomposition le corps lois d'addition et de multiplication sur les couples ordonnés ce modèle, l'élément correspond à l'élément quotient de l' anneau des polynômes
Puisque le corps modèles, ceux - ci ne constituent pas littéralement le même objet mathématique, mais ils sont tous isomorphes , à un isomorphisme d'anneaux près il existe un unique isomorphisme linéaire sur les nombres réels et tel que . De plus, l'isomorphisme est unique, pourvu qu'il préserve le sous-corps réel, à l'action du groupe de Galois conjugaison complexe) près.
Construction en tant qu'anneau quotient
Une approche possible consiste à utiliser des polynômes , c'est-à coefficients anneau commutatif , appelé anneau des polynômes (sur les réels). À chaque polynôme p , on peut associer le nombre complexe , c'est-à-dire la valeur obtenue en posant . Ceci définit une fonction
Cette fonction est surjective car tout nombre complexe peut être obtenu de la manière suivante : l'évaluation d'un polynôme linéaire en est . Cependant, l'évaluation du polynôme en est 0, car . Ce polynôme est irréductible , c'est-à-dire qu'il ne peut pas être écrit comme un produit de deux polynômes linéaires. Des résultats fondamentaux de l'algèbre abstraite impliquent alors que le noyau de l'application ci-dessus est un idéal engendré par ce polynôme, que le quotient par cet idéal est un corps et qu'il existe un isomorphisme .
entre l'anneau quotient et . Certains auteurs considèrent cela comme la définition de . Cette définition exprime comme une algèbre quadratique .
Les nombres complexes des matrices sous-anneau de l'anneau des matrices isomorphisme d'anneaux du corps des nombres complexes vers l'anneau de ces matrices, prouvant ainsi que ces matrices forment un corps. Cet isomorphisme associe le carré de la valeur absolue d'un nombre complexe au déterminant de la matrice correspondante, et le conjugué d'un nombre complexe à la transposée de la matrice.
La représentation polaire des nombres complexes donne explicitement ces matrices comme des matrices de rotation normalisées . En particulier, le cas où r
Analyse complexe
analyse complexe et trouve de nombreuses applications pratiques en mathématiques appliquées , ainsi que dans d'autres branches des mathématiques. Souvent, les démonstrations les plus naturelles d'énoncés en analyse réelle , voire en théorie des nombres, font appel à des techniques d'analyse complexe (voir le théorème des nombres premiers pour un exemple).Un graphe coloration du domaine de la fonction des pôlesà
Contrairement aux fonctions réelles, généralement représentées par des graphiques bidimensionnels, les fonctions complexes possèdent des graphiques à quatre dimensions et peuvent être utilement illustrées en coloriant un graphique tridimensionnel pour suggérer quatre dimensions, ou en animant la transformation dynamique du plan complexe par la fonction complexe.
Convergence
Illustration du comportement de la suite pour trois valeurs différentes de z (ayant toutes le même argument) : pour , la suite converge vers 0 (spirale intérieure), tandis qu'elle diverge pour (spirale extérieure).1" 1
Les notions de séries convergentes et de fonctions continues en analyse réelle ont des analogues naturels en analyse complexe. Une suite de nombres complexes converge si et seulement si ses parties réelle et imaginaire convergent. Ceci est équivalent à la définition (ε, δ) des limites , où la valeur absolue des nombres réels est remplacée par celle des nombres complexes. D'un point de vue plus abstrait, l'espace métrique Ω , muni de la métrique Ω est un espace métrique complet , qui inclut notamment l' inégalité triangulaire pour tous nombres complexes Illustration de la fonction exponentielle complexe w = exp( z ) sur le plan complexe. Le plan de gauche représente un maillage carré de pas 1, où les trois nombres complexes 0, 1 et i sont mis en évidence. Les deux rectangles (magenta et vert) sont transformés en segments de cercle, tandis que les droites parallèles à l' axe des x sont transformées en rayons issus de l'origine mais ne la contenant pas. Les droites parallèles à l' axe des y sont transformées en cercles.
Comme en analyse réelle, cette notion de convergence est utilisée pour construire un certain nombre de fonctions élémentaires : la fonction exponentiellesérie infinie e<sup>z </sup>, dont on peut démontrer la convergence pour tout z : par exemple, e <sup>z</sup> est le nombre d'Euler . La formule d'Euler s'énonce : e<sup>z</sup> = e<sup>z</sup> pour tout nombre réel L'identité d'Euler en est un cas particulier.
logarithme complexe
La fonction exponentielle transforme les nombres complexes z différant d'un multiple de en un même nombre complexe w .
Pour tout nombre réel positif t , il existe un unique nombre réel x tel que . Ceci conduit à la définition du logarithme népérien comme fonction inverse de l'exponentielle. La situation est différente pour les nombres complexes, puisque
d'après l'équation fonctionnelle et l'identité d'Euler. Par exemple,
est appelé logarithme complexe de argument défini ci-dessus , et le logarithme népérien (réel) . Comme arg est une fonction multivoque , unique à un multiple de valeur principale de log est souvent obtenue en restreignant sa partie imaginaire à l' intervalle bijective prenant ses valeurs dans la bande (représentée dans l'illustration ci-dessus)
Si n'est pas un nombre réel non positif (un nombre positif ou non réel), la valeur principale du logarithme complexe résultant est obtenue avec fonction analytique en dehors des nombres réels négatifs, mais elle ne peut pas être prolongée en une fonction continue en tout nombre réel négatif , où la valeur principale est L'exponentiation complexe
Contrairement aux nombres réels, les nombres complexes ne satisfont généralement pas les identités de puissance et de logarithme non modifiées, en particulier lorsqu'ils sont considérés naïvement comme des fonctions univoques ; voir l'article sur les violations des identités de puissance et de logarithme . Par exemple, ils ne satisfont pas l' équation suivante : les deux membres de l'équation sont multivoques par définition de l'exponentiation complexe donnée ici, et les valeurs à gauche sont un sous-ensemble de celles à droite.
Sinus et cosinus complexes
Les séries définissant les fonctions trigonométriques réelles fonctions hyperboliques prolongement analytique .
La valeur d'une fonction trigonométrique ou hyperbolique d'un nombre complexe peut être exprimée en fonction de ces fonctions évaluées sur les nombres réels, via des formules d'addition d'angles. Pour
Lorsque ces expressions ne sont pas bien définies, parce qu'une fonction trigonométrique ou hyperbolique s'évalue à l'infini ou qu'il y a division par zéro, elles sont néanmoins correctes en tant que limites .
Fonctions holomorphes
Représentation graphique en roue chromatique de la fonction holomorphe ou complexe différentiable en un point si la limite
existe (auquel cas elle est notée ). Ceci imite la définition des fonctions réellement différentiables, à ceci près que toutes les quantités sont des nombres complexes. En termes simples, la possibilité d'approcher dans différentes directions impose une condition beaucoup plus forte que la différentiabilité (réelle). Par exemple, la fonction
est différentiable en tant que fonction , mais n'est pas différentiable au sens complexe. Une fonction réellement différentiable est différentiable au sens complexe si et seulement si elle satisfait les équations de Cauchy-Riemann , parfois abrégées en
Trois points non alignés dans le plan déterminent la forme du triangle . En localisant ces points dans le plan complexe, cette forme peut être exprimée par l'arithmétique complexe. La forme du triangle reste inchangée lorsque le plan complexe est transformé par translation ou homothétie (par une transformation affine ), ce qui correspond à la notion intuitive de forme et décrit la similitude . Ainsi, chaque triangle appartient à une classe de similitude de triangles de même forme.
Géométrie fractale
L'ensemble de Mandelbrot avec les axes réels et imaginaires étiquetés.
L' ensemble de Mandelbrot est un exemple classique de fractale définie sur le plan complexe. Il est défini en représentant graphiquement tous les points où l'itération de la suite ne diverge pas lorsqu'elle est itérée à l'infini. De même, les ensembles de Julia obéissent aux mêmes règles, à ceci près que le nombre de points reste constant.
Triangles
Chaque triangle possède une inellipse de Steiner unique – une ellipse inscrite dans le triangle et tangente aux milieux de ses trois côtés. Les foyers de l'inellipse de Steiner d'un triangle peuvent être déterminés comme suit, d'après le théorème de Marden : Soient les sommets du triangle dans le plan complexe : équation cubique , on calcule sa dérivée et on annule sa dérivée quadratique. Le théorème de Marden affirme que les solutions de cette équation sont les nombres complexes qui désignent les deux foyers de l'inellipse de Steiner.
Comme mentionné précédemment, toute équation polynomiale non constante (à coefficients complexes) admet une solution dans . A fortiori , il en va de même si l'équation a des coefficients rationnels. Les racines de telles équations sont appelées nombres algébriques ; elles constituent un objet d'étude fondamental en théorie algébrique des nombres . Comparée à , la clôture algébrique de , qui contient également tous les nombres algébriques, présente l'avantage d'être aisément interprétable en termes géométriques. Ainsi, les méthodes algébriques peuvent être utilisées pour étudier des questions géométriques et réciproquement. Grâce aux méthodes algébriques, et plus précisément en appliquant les outils de la théorie des corps au corps des nombres contenant les racines de l'unité , on peut démontrer qu'il est impossible de construire un nonagone régulier à l'aide uniquement d'un compas et d'une règle ; il s'agit d'un problème purement géométrique.
Un autre exemple est celui des entiers gaussiens ; c'est-à-dire des nombres de la forme les sommes de carrés .
Dans les équations différentielles , il est courant de commencer par trouver toutes les racines complexes équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire ou d'un système d'équations, puis de tenter de résoudre le système en termes de fonctions de base de la forme les équations aux différences finies , les racines complexes matrice carrée complexe non vide possède au moins une valeur propre (complexe) . Par comparaison, les matrices réelles n'ont pas toujours de valeurs propres réelles ; par exemple, les matrices de rotation (pour les rotations du plan d'angles autres que 0° ou 180°) ne fixent aucune direction et n'ont donc pas de valeur propre réelle . L'existence de valeurs propres (complexes), et par conséquent l'existence d' une décomposition spectrale, est un outil précieux pour le calcul des puissances et des exponentielles de matrices .
Dans la méthode du lieu des racines, il est important de savoir si les zéros et les pôles se trouvent dans les demi-plans gauche ou droit, c'est-à-dire si leur partie réelle est supérieure ou inférieure à zéro. Si un système linéaire invariant dans le temps (LTI) possède des pôles qui sont
Si un système possède des zéros dans le demi-plan droit, il s'agit d'un système à phase non minimale .
Analyse du signal
Les nombres complexes sont utilisés en analyse du signal et dans d'autres domaines pour décrire aisément les signaux périodiques. À des fonctions réelles données représentant des grandeurs physiques, souvent sous forme de sinus et de cosinus, on considère les fonctions complexes correspondantes dont les parties réelles correspondent aux grandeurs initiales. Pour une onde sinusoïdale de fréquence donnée , la valeur absolue et son argument phase .
Si l'analyse de Fourier est utilisée pour exprimer un signal réel donné comme une somme de fonctions périodiques, ces fonctions périodiques sont souvent exprimées sous forme de fonctions complexes.
et
où ω représente la fréquence angulaire et le nombre complexe A encode la phase et l'amplitude comme expliqué ci-dessus.
Pour obtenir la grandeur mesurable, on prend la partie réelle :
Le signal à valeurs complexes analytique du signal mesurable à valeurs réelles dynamique des fluides , des fonctions complexes sont utilisées pour décrire l'écoulement potentiel en deux dimensions .
On peut démontrer que tout corps possédant ces propriétés est isomorphe (en tant que corps) à . Par exemple, la clôture algébrique du corps des nombres séries de Puiseux complexes . Cependant, spécifier un isomorphisme requiert l' axiome du choix . Une autre conséquence de cette caractérisation algébrique est que contient de nombreux sous-corps propres qui sont isomorphes à .
Caractérisation en tant que champ topologique
La caractérisation précédente de ne décrit que ses aspects algébriques. Autrement dit, les propriétés de proximité et de continuité , importantes en analyse et en topologie , ne sont pas abordées. La description suivante de comme corps topologique (c'est-à-dire un corps muni d'une topologie , permettant la notion de convergence) prend en compte ces propriétés topologiques. contient un sous-ensemble
Les seuls corps topologiques localement compacts connexes sont et . Ceci donne une autre caractérisation de comme un corps topologique, car peut être distingué de parce que les nombres complexes non nuls sont connexes , alors que les nombres réels non nuls ne le sont pas.
quaternions , les octonions , les sédénions et les trigintaduonions . Cette construction tend à réduire les propriétés structurelles des systèmes de nombres concernés.
Contrairement aux nombres réels, n'est pas un corps ordonné ordre sur des algèbres à division normées sur . D'après le théorème de Hurwitz , ce sont les seuls ; les sédénions , l'étape suivante de la construction de Cayley-Dickson, ne possèdent pas cette structure.
La construction de Cayley-Dickson est étroitement liée à la représentation régulière de , considérée comme une -algèbre (un -espace vectoriel muni d'une multiplication), par rapport à la base représentation linéaire de dans les matrices réelles 2 × 2, ce n'est pas la seule. Toute matrice a la propriété que son carré est l'opposé de la matrice identité : structure complexe linéaire .
Les nombres hypercomplexes généralisent également cette notion. Par exemple, elle inclut les nombres scindés , qui sont des éléments de l'anneau (contrairement aux nombres complexes). Dans cet anneau, l'équation nombres rationnels , muni de la métrique usuelle de la valeur absolue . D'autres choix de métriques sur conduisent aux corps des nombres nombre premier le théorème d'Ostrowski . Les clôtures algébriques de sont munies d'une norme, mais (contrairement à ) ne sont pas complètes par rapport à celle-ci. Le complété de s'avère être algébriquement clos. Par analogie, est appelé le corps des nombres complexes corps locaux .
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