Analyse de Fourier

Quatre graphiques présentant différentes images de l'analyse de Fourier

Signal temporel de la guitare basse pour la note La à vide (55 Hz).

mathématiques , sciences et ingénierie , les fonctions générales droite réelle , le cercle , l'ensemble des entiers , le groupe cyclique fini ou le groupe abélien localement compact peuvent être représentées ou approchées par des sommes de fonctions trigonométriques ou, plus commodément, par exponentielles complexes . L'analyse de Fourier est issue de l'étude des séries de Fourier et porte le nom de Joseph Fourier , qui a démontré que la représentation d'une fonction comme somme de fonctions trigonométriques simplifie considérablement l'étude des transferts thermiques .

L'analyse de Fourier trouve des applications dans de nombreux domaines des mathématiques pures et appliquées, des sciences et de l'ingénierie. Le processus de décomposition d'une fonction en composantes oscillatoires est souvent appelé analyse de Fourier, tandis que l'opération de reconstruction de la fonction à partir de ces composantes est connue sous le nom de synthèse de Fourier . Par exemple, déterminer les fréquences composantes d'une note de musique implique de calculer la transformée de Fourier d'un échantillon de cette note. On peut ensuite resynthétiser ce même son en mélangeant des sons purement harmoniques avec les composantes fréquentielles révélées par l'analyse de Fourier. En mathématiques, le terme « analyse de Fourier » désigne souvent l'étude de ces deux opérations.

Le processus de décomposition lui-même est appelé transformation de Fourier . Son résultat, la transformée de Fourier , porte souvent un nom plus spécifique, qui dépend du domaine et d'autres propriétés de la fonction transformée. De plus, le concept initial d'analyse de Fourier a été étendu au fil du temps pour s'appliquer à des situations de plus en plus abstraites et générales, comme la théorie des représentations de groupes ; ce domaine général est souvent désigné sous le nom d'analyse harmonique . Chaque transformation utilisée pour l'analyse (voir la liste des transformations liées à Fourier ) possède une transformation inverse correspondante qui peut être utilisée pour la synthèse.

En pratique, l'analyse de Fourier est généralement appliquée à un « signal » dépendant du « temps », échantillonné à intervalles de temps égaux de longueur $La transformée de Fourier convertit cette séquence en une séquence d'amplitudes de même longueur pour les sinus et les cosinus (ou plus commodément, les exponentielles complexes) dont la fréquence est un multiple de Ceci est particulièrement utile pour détecter les composantes périodiques importantes du signal. La transformée de Fourier rapide est un algorithme efficace pour calculer ces amplitudes. Différentes approches ont été développées pour l'analyse de données irrégulièrement espacées, notamment les méthodes d'analyse spectrale par moindres carrés (LSSA) qui utilisent un ajustement par moindres carrés de sinusoïdes aux échantillons de données, de manière similaire à l'analyse de Fourier. L'analyse de Fourier, la méthode spectrale la plus utilisée en science, amplifie généralement le bruit à longue période dans les enregistrements comportant de longs intervalles ; la LSSA atténue ces problèmes.$

physique , équations aux dérivées partielles , théorie des nombres , combinatoire , traitement du signal , traitement d'images numériques , théorie des probabilités , statistiques , criminalistique , tarification des options , cryptographie , analyse numérique , acoustique , océanographie , sonar , optique , diffraction , géométrie , analyse de la structure des protéines et dans d'autres domaines.

Cette large applicabilité découle des nombreuses propriétés utiles des transformations :

Les transformations sont des opérateurs linéaires et, avec une normalisation appropriée, sont également unitaires (une propriété connue sous le nom de théorème de Parseval ou, plus généralement, sous le nom de théorème de Plancherel , et plus généralement via la dualité de Pontryagin ).
Les transformations sont généralement inversibles.
Les fonctions exponentielles sont des fonctions propres de la différentiation , ce qui signifie que cette représentation transforme les équations différentielles linéaires à coefficients constants en équations algébriques ordinaires. Par conséquent, le comportement d'un système linéaire invariant dans le temps peut être analysé indépendamment à chaque fréquence.
D'après le théorème de convolution , les transformées de Fourier transforment l' opération de convolution complexe en une simple multiplication, ce qui signifie qu'elles fournissent un moyen efficace de calculer des opérations basées sur la convolution telles que le filtrage du signal, la multiplication polynomiale et la multiplication de grands nombres .
La version discrète de la transformée de Fourier (voir ci-dessous) peut être évaluée rapidement sur ordinateur à l'aide d'algorithmes de transformée de Fourier rapide (FFT).

En criminalistique, les spectrophotomètres infrarouges de laboratoire utilisent l'analyse par transformée de Fourier pour mesurer les longueurs d'onde auxquelles un matériau absorbe la lumière dans le spectre infrarouge. La méthode FT est utilisée pour décoder les signaux mesurés et enregistrer les données de longueur d'onde. Grâce à un ordinateur, ces calculs de Fourier sont effectués rapidement, de sorte qu'en quelques secondes, un instrument FT-IR piloté par ordinateur peut produire un spectre d'absorption infrarouge comparable à celui d'un instrument à prisme.

La transformation de Fourier est également utile pour une représentation compacte d'un signal. Par exemple, la compression JPEG utilise une variante de la transformation de Fourier ( transformation en cosinus discrète ) appliquée à de petits carrés d'une image numérique. Les composantes de Fourier de chaque carré sont arrondies à une précision arithmétique inférieure et les composantes faibles sont éliminées, permettant ainsi un stockage très compact des composantes restantes. Lors de la reconstruction d'image, chaque carré est reconstitué à partir des composantes approximatives transformées par Fourier, qui sont ensuite transformées inversement pour produire une approximation de l'image originale.

En traitement du signal , la transformée de Fourier applique souvent une série temporelle ou une fonction à temps continu et la convertit en un spectre de fréquences . Autrement dit, elle transforme une fonction du domaine temporel au domaine fréquentiel ; il s’agit d’une décomposition de la fonction en sinusoïdes de différentes fréquences ; dans le cas d’une série de Fourier ou d’une transformée de Fourier discrète , les sinusoïdes sont les harmoniques de la fréquence fondamentale de la fonction analysée.

Lorsqu'une fonction $est une fonction du temps et représente un signal physique ; la transformée a une interprétation standard comme le spectre de fréquence du signal. L' amplitude de la fonction à valeurs complexes résultante à fréquence représente l' amplitude d'une composante de fréquence dont la phase initiale est donnée par l'angle de (coordonnées polaires).$

Les transformées de Fourier ne se limitent pas aux fonctions du temps et aux fréquences temporelles. Elles peuvent également être appliquées à l'analyse des fréquences spatiales , et ce, dans presque tous les domaines fonctionnels. Ceci justifie leur utilisation dans des domaines aussi divers que le traitement d'images , la conduction thermique et le contrôle automatique .

Lors du traitement de signaux tels que l'audio , les ondes radio , les ondes lumineuses, les ondes sismiques et même les images, l'analyse de Fourier permet d'isoler les composantes à bande étroite d'un signal complexe, en les concentrant pour faciliter leur détection ou leur suppression. Une vaste famille de techniques de traitement du signal consiste à effectuer une transformation de Fourier du signal, à manipuler simplement les données transformées et à inverser la transformation.

Voici quelques exemples :

Égalisation des enregistrements audio à l'aide d'une série de filtres passe-bande ;
Réception radio numérique sans circuit superhétérodyne , comme dans un téléphone portable ou un scanner radio moderne ;
Traitement d'image pour supprimer les artefacts périodiques ou anisotropes tels que les crénelures des vidéos entrelacées , les artefacts de bandes des photographies aériennes en bandes ou les motifs d'ondes dus aux interférences radiofréquences dans un appareil photo numérique ;
Corrélation croisée d'images similaires pour le co-alignement ;
Cristallographie aux rayons X pour reconstruire une structure cristalline à partir de son diagramme de diffraction ;
Spectrométrie de masse par résonance cyclotronique ionique à transformée de Fourier pour déterminer la masse des ions à partir de la fréquence du mouvement cyclotronique dans un champ magnétique ;
De nombreuses autres formes de spectroscopie, notamment les spectroscopies infrarouge et de résonance magnétique nucléaire ;
Génération de spectrogrammes sonores utilisés pour analyser les sons ;
Le sonar passif est utilisé pour classifier les cibles en fonction du bruit des machines.

Variantes de l'analyse de Fourier

Il existe cinq variantes différentes de l'analyse de Fourier en fonction des caractéristiques du signal d'entrée :

Transformée de Fourier à temps continu (CTFT)
Séries de Fourier à temps continu (CTFS)
Transformée de Fourier à temps discret (DTFT)
Séries de Fourier à temps discret (DTFS)
Transformée de Fourier discrète (TFD)

Le choix de la variante à utiliser parmi les quatre premières est déterminé par deux caractéristiques de la fonction d'entrée :

Que le domaine de la fonction d'entrée soit continu ou discret, et
Que la fonction d'entrée soit périodique ou apériodique dans son domaine.

La cinquième variante, la DFT, n'est utilisée que lorsque la fonction d'entrée est discrète sur son domaine et limitée à un intervalle de support fini. La DFT est la seule variante calculable numériquement et permet d'approximer les quatre autres.

Transformée de Fourier à temps continu (CTFT)

réel continu , et produit une fonction continue de fréquence, appelée distribution de fréquence ou spectre . Une fonction est transformée en une autre, et l'opération est réversible. Lorsque le domaine de la fonction d'entrée (initiale) est le temps (

), et le domaine de la fonction de sortie (finale) est la fréquence ordinaire, la transformée de la fonction à fréquence est donné par le nombre complexe : Évaluer cette quantité pour toutes les valeurs de produit la fonction dans le domaine fréquentiel . peut être représenté comme une recombinaison d' exponentielles complexes de toutes les fréquences possibles : qui est la formule de transformation inverse. Le nombre complexe, transmet à la fois l'amplitude et la phase de la fréquence Voir la transformée de Fourier pour beaucoup plus d'informations, notamment : conventions pour la normalisation de l'amplitude et l'échelle/les unités de fréquence propriétés de transformation transformations tabulées de fonctions spécifiques une extension/généralisation pour les fonctions multidimensionnelles, telles que les images.

Séries de Fourier à temps continu (CTFS)

avec période

devient une fonction en peigne de Dirac, modulée par une séquence de coefficients complexes : (où est l'intégrale sur un intervalle de longueur quelconque). La transformée inverse, connue sous le nom de série de Fourier, est une représentation de en termes de somme d'un nombre potentiellement infini de sinusoïdes ou de fonctions exponentielles complexes liées harmoniquement , chacune ayant une amplitude et une phase spécifiées par l'un des coefficients : N'importe lequel peut être exprimé comme une somme périodique d'une autre fonction, : et les coefficients sont proportionnels aux échantillons de à intervalles discrets de : Notez que tout dont la transformée possède les mêmes valeurs d'échantillon discrètes peut être utilisée dans la sommation périodique. Une condition suffisante pour retrouver (et donc) à partir de ces seuls échantillons (c'est-à-dire de la série de Fourier) est que la partie non nulle de être confiné à un intervalle de durée connu qui est le dual dans le domaine fréquentiel du théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon . Voir la série de Fourier pour plus d'informations, y compris son développement historique.

Transformée de Fourier à temps discret (DTFT)

sommation périodique convergente dans le domaine fréquentiel peut être représentée par une série de Fourier dont les coefficients sont des échantillons d'une fonction temporelle continue associée :

qui est connue sous le nom de DTFT. Ainsi, la DTFT de la $La séquence est également la transformée de Fourier de la fonction peigne de Dirac modulée .$

Les coefficients de la série de Fourier (et de la transformée inverse) sont définis par :

Paramètre $correspond à l'intervalle d'échantillonnage, et cette série de Fourier peut alors être reconnue comme une forme de la formule de sommation de Poisson . Ainsi, nous obtenons le résultat important que lorsqu'une séquence de données discrètes, est proportionnel aux échantillons d'une fonction continue sous-jacente, on peut observer une sommation périodique de la transformée de Fourier continue, Notez que tout Avec les mêmes valeurs d'échantillon discrètes, on obtient la même DTFT. Mais dans certaines conditions idéales, on peut théoriquement la récupérer. et Exactement. Une condition suffisante pour une récupération parfaite est que la partie non nulle de être confinée à un intervalle de fréquence connu de largeur Lorsque cet intervalle est La formule de reconstruction applicable est la formule d'interpolation de Whittaker-Shannon . Il s'agit d'un principe fondamental du traitement numérique du signal .$

Une autre raison de s'intéresser à $Il permet souvent de mieux comprendre l'ampleur du repliement de spectre causé par le processus d'échantillonnage.$

Les applications de la DTFT ne se limitent pas aux fonctions échantillonnées. Voir Transformée de Fourier à temps discret pour plus d'informations sur ce sujet et d'autres, notamment :

unités de fréquence normalisées
fenêtrage (séquences de longueur finie)
propriétés de transformation
transformations tabulées de fonctions spécifiques

Séries de Fourier à temps discret (DTFS)

avec période

, devient une fonction en peigne de Dirac, modulée par une séquence de coefficients complexes (voir (où est la somme sur toute séquence de longueur) Le la séquence est généralement appelée la DFT d'un cycle de C'est aussi -périodique, il n'est donc jamais nécessaire de calculer plus de coefficients. La transformée inverse, également appelée série de Fourier discrète, est donnée par : où est la somme sur toute séquence de longueur Quand est exprimée comme une somme périodique d'une autre fonction : et les coefficients sont des échantillons de à intervalles discrets de : Inversement, lorsqu'on souhaite calculer un nombre arbitraire d'échantillons discrets d'un cycle d'une DTFT continue, cela peut être réalisé en calculant la DFT relativement simple de comme défini ci-dessus. Dans la plupart des cas, est choisi égal à la longueur de la partie non nulle de Croissant Cette technique, appelée remplissage par zéros ou interpolation, permet d'obtenir des échantillons plus rapprochés d'un cycle. Diminution provoque un chevauchement (addition) dans le domaine temporel (analogue au repliement de spectre), ce qui correspond à une décimation dans le domaine fréquentiel. (voir La séquence représente une séquence plus longue qui a été tronquée par l'application d'une fonction de fenêtre de longueur finie ou d'un réseau de filtres FIR . La DFT peut être calculée à l'aide d'un algorithme de transformée de Fourier rapide (FFT), ce qui en fait une transformation pratique et importante sur les ordinateurs. Voir la transformée de Fourier discrète pour plus d'informations, notamment : propriétés de transformation applications transformations tabulées de fonctions spécifiques

Résumé

Pour les fonctions périodiques, la transformée de Fourier et la DTFT ne comportent qu'un ensemble discret de composantes fréquentielles (séries de Fourier), et les transformées divergent à ces fréquences. Une pratique courante (non abordée précédemment) consiste à traiter cette divergence à l'aide des fonctions delta et peigne de Dirac . Cependant, on peut extraire la même information spectrale d'un seul cycle de la fonction périodique, puisque tous les autres cycles sont identiques. De même, les fonctions de durée finie peuvent être représentées par une série de Fourier, sans perte d'information réelle, la périodicité de la transformée inverse n'étant qu'un artefact.

En pratique, il est courant que la durée de s (•) soit limitée à la période $transformations (temps continu)Fréquence continueFréquences discrètesTransformer Inverse$

$transformations (temps discret)$
	Fréquence continue	Fréquences discrètes
Transformer
Inverse

Propriétés de symétrie

Lorsque les parties réelle et imaginaire d'une fonction complexe sont décomposées en leurs parties paire et impaire , on obtient quatre composantes, notées ci-dessous par les indices RE, RO, IE et IO. Il existe une correspondance biunivoque entre les quatre composantes d'une fonction temporelle complexe et les quatre composantes de sa transformée de fréquence complexe :

De là, diverses relations se dégagent, par exemple :

La transformée d'une fonction à valeurs réelles $est la fonction symétrique conjuguée Inversement, une transformation symétrique conjuguée implique un domaine temporel à valeurs réelles.$
La transformée d'une fonction à valeurs imaginaires $est la fonction antisymétrique conjuguée et l'inverse est vrai.$
La transformée d'une fonction symétrique conjuguée $est la fonction à valeurs réelles et l'inverse est vrai.$
La transformée d'une fonction antisymétrique conjuguée $est la fonction à valeurs imaginaires et l'inverse est vrai.$

Histoire

mathématiques babyloniennes antiques , où elles étaient utilisées pour calculer les éphémérides (tables de positions astronomiques).

Les concepts grecs classiques de déférent et d'épicycle dans le système astronomique ptolémaïque étaient liés aux séries de Fourier (voir Alexis Clairaut en 1754 pour calculer une orbite , ce qui a été décrit comme la première formule de la TFD , et en 1759 par Joseph Louis Lagrange pour calculer les coefficients d'une série trigonométrique d'une corde vibrante . Techniquement, les travaux de Clairaut portaient sur une série de cosinus uniquement (une forme de transformée discrète en cosinus ), tandis que ceux de Lagrange portaient sur une série de sinus uniquement (une forme de transformée discrète en sinus ) ; une véritable TFD cosinus + sinus a été utilisée par Gauss en 1805 pour l'interpolation trigonométrique des orbites d'astéroïdes . Euler et Lagrange ont tous deux discrétisé le problème de la corde vibrante, en utilisant ce que l'on appellerait aujourd'hui des échantillons

L'un des premiers développements modernes vers l'analyse de Fourier fut l'article de 1770 intitulé « Réflexions sur la résolution algébrique des équations » de Lagrange, qui, dans la méthode des résolvantes de Lagrange, utilisa une décomposition de Fourier complexe pour étudier la solution d'une équation cubique : Lagrange transforma les racines $dans les résolvantes :$

où $racine cubique de l'unité , qui est la DFT d'ordre 3.$

Plusieurs auteurs, notamment Jean le Rond d'Alembert et Carl Friedrich Gauss, ont utilisé les séries trigonométriques pour étudier l' équation de la chaleur , mais la découverte majeure fut l'article de 1807, « Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides », de Joseph Fourier , dont l'intuition cruciale fut de modéliser toutes les fonctions par des séries trigonométriques, introduisant ainsi les séries de Fourier. Indépendamment de Fourier, l'astronome Friedrich Wilhelm Bessel introduisit également les séries de Fourier pour résoudre l'équation de Kepler . Ses travaux furent publiés en 1819, ignorant l'existence des travaux de Fourier, qui restèrent inédits jusqu'en 1822

Les historiens sont partagés quant à l'importance à accorder à Lagrange et à d'autres pour le développement de la théorie de Fourier : Daniel Bernoulli et Leonhard Euler avaient introduit des représentations trigonométriques des fonctions, et Lagrange avait donné la solution en série de Fourier à l'équation des ondes, la contribution de Fourier étant donc principalement l'affirmation audacieuse qu'une fonction arbitraire pouvait être représentée par une série de Fourier.

Le développement ultérieur de ce domaine est connu sous le nom d'analyse harmonique et constitue également un exemple précoce de théorie des représentations .

Le premier algorithme de transformée de Fourier rapide (FFT) pour la DFT a été découvert vers 1805 par Carl Friedrich Gauss lors de l'interpolation de mesures de l'orbite des astéroïdes Juno et Pallas , bien que cet algorithme FFT particulier soit plus souvent attribué à ses redécouvreurs modernes Cooley et Tukey .

Transformations temps-fréquence

de traitement du signal , une fonction (du temps) est une représentation d'un signal avec une résolution temporelle parfaite , mais sans information de fréquence, tandis que la transformée de Fourier a une résolution de fréquence parfaite , mais sans information temporelle.

En analyse temps-fréquence , on utilise, en alternative à la transformée de Fourier, des transformées temps-fréquence pour représenter les signaux sous une forme qui combine informations temporelles et fréquentielles. Le principe d'incertitude impose un compromis entre ces deux types d'informations. Ces transformées peuvent être des généralisations de la transformée de Fourier, comme la transformée de Fourier à court terme , la transformée de Gabor ou la transformée de Fourier fractionnaire (FRFT), ou encore utiliser différentes fonctions de représentation des signaux, comme dans les transformées en ondelettes et les transformées en chirplets . L'analogue en ondelettes de la transformée de Fourier (continue) est la transformée en ondelettes continue .

Transformées de Fourier sur des groupes topologiques abéliens localement compacts arbitraires

Les variantes de Fourier peuvent également être généralisées aux transformées de Fourier sur des groupes topologiques abéliens localement compacts quelconques , étudiés en analyse harmonique ; dans ce cas, la transformée de Fourier transforme les fonctions d'un groupe en fonctions de son groupe dual. Ce traitement permet également une formulation générale du théorème de convolution , qui relie les transformées de Fourier et les convolutions . Voir aussi la dualité de Pontryagin pour les fondements généralisés de la transformée de Fourier.

Plus précisément, l'analyse de Fourier peut être effectuée sur les classes latérales, même sur les classes latérales discrètes.