Espace localement compact

Tout espace de Hausdorff compact est également localement compact, et de nombreux exemples d'espaces compacts sont présentés dans l'article « espace compact » . Nous en mentionnons ici seulement quelques-uns :

• l' intervalle unitaire [0,1];
• l' ensemble Cantor ;
• le cube de Hilbert .

• Les espaces euclidiens R ⁿ (et en particulier la droite réelle R ) sont localement compacts en conséquence du théorème de Heine-Borel .
• Les variétés topologiques partagent les propriétés locales des espaces euclidiens et sont donc toutes localement compactes. Cela inclut même les variétés non paracompactes telles que la droite longue .
• Tous les espaces discrets sont localement compacts et de Hausdorff (ce sont simplement les variétés de dimension zéro ). Ils sont compacts uniquement s'ils sont finis.
• Tout sous-ensemble ouvert ou fermé d'un espace de Hausdorff localement compact est localement compact pour la topologie des sous-espaces . Ceci fournit plusieurs exemples de sous-ensembles localement compacts d'espaces euclidiens, comme le disque unité (ouvert ou fermé).
• L'espace Q_{_p} des nombres p -adiques est localement compact, car il est homéomorphe à l' ensemble de Cantor moins un point. Ainsi, les espaces localement compacts sont aussi utiles en analyse p -adique qu'en analyse classique .

Comme indiqué dans la section suivante, si un espace de Hausdorff est localement compact, alors c'est également un espace de Tychonoff . C'est pourquoi l'article consacré aux espaces de Tychonoff donne des exemples d'espaces de Hausdorff qui ne sont pas localement compacts, car ils ne sont pas des espaces de Tychonoff . Cependant, il existe aussi des exemples d'espaces de Tychonoff qui ne sont pas localement compacts, tels que :

• l'espace Q des nombres rationnels (doté de la topologie de R ), puisque tout voisinage contient une suite de Cauchy correspondant à un nombre irrationnel, qui n'a pas de sous-suite convergente dans Q ;
• le sous-espace de , puisque l'origine n'a pas de voisinage compact ;
• la topologie de la limite inférieure ou la topologie de la limite supérieure sur l'ensemble R des nombres réels (utile dans l'étude des limites unilatérales ) ;
• tout espace vectoriel topologique T ₀ , donc Hausdorff, sur ou qui est de dimension infinie, tel qu'un espace de Hilbert de dimension infinie .

Les deux premiers exemples montrent qu'un sous-ensemble d'un espace localement compact n'est pas nécessairement localement compact, contrairement aux sous-ensembles ouverts et fermés de la section précédente. Le dernier exemple contraste avec les espaces euclidiens de la section précédente ; plus précisément, un espace vectoriel topologique de Hausdorff est localement compact si et seulement s'il est de dimension finie (auquel cas c'est un espace euclidien). Cet exemple contraste également avec le cube de Hilbert , présenté comme un espace compact ; il n'y a pas de contradiction car le cube ne peut être le voisinage d'aucun point de l'espace de Hilbert.

• La compactification à un point des nombres rationnels Q est compacte et donc localement compacte au sens (1) et (2), mais elle n'est pas localement compacte au sens (3) ou (4).
• La topologie ponctuelle particulière sur tout ensemble infini est localement compacte au sens (1) et (3) mais pas au sens (2) ou (4), car la fermeture de tout voisinage est l'espace entier, qui n'est pas compact.
• L' union disjointe des deux exemples ci-dessus est localement compacte au sens (1) mais pas au sens (2), (3) ou (4).
• La topologie d'ordre droit sur la droite réelle est localement compacte au sens (1) et (3) mais pas au sens (2) ou (4), car la fermeture de tout voisinage est l'espace non compact entier.
• L' espace de Sierpiński est localement compact au sens (1), (2) et (3), et compact également, mais il n'est ni Hausdorff ni régulier (ni même prérégulier), donc il n'est pas localement compact au sens (4) ni (5). L'union disjointe d'une infinité dénombrable de copies de l'espace de Sierpiński est un espace non compact qui demeure localement compact au sens (1), (2) et (3), mais pas au sens (4) ni (5).
• Plus généralement, la topologie des points exclus est localement compacte au sens (1), (2) et (3), et compacte, mais pas localement compacte au sens (4) ou (5).
• La topologie cofinie sur un ensemble infini est localement compacte au sens (1), (2) et (3), et compacte également, mais elle n'est pas Hausdorff ou régulière, donc elle n'est pas localement compacte au sens (4) ou (5).
• La topologie indiscrète sur un ensemble avec au moins deux éléments est localement compacte au sens (1), (2), (3) et (4), et compacte également, mais elle n'est pas Hausdorff, donc elle n'est pas localement compacte au sens (5).

• Tout espace muni d'une topologie d'Alexandrov est localement compact au sens (1) et (3).

Cette section explore les compactifications d'espaces localement compacts. Chaque espace compact admet sa propre compactification. Par conséquent, afin d'éviter les trivialités, nous supposerons ci-dessous que l'espace X n'est pas compact.

Puisque tout espace de Hausdorff localement compact X est de Tychonoff, il peut être plongé dans un espace de Hausdorff compact grâce à la compactification de Stone-Čech . Cependant, une méthode plus simple existe dans le cas localement compact : la compactification à un point permet de plonger X dans un espace de Hausdorff compact muni d'un seul point supplémentaire. (Cette compactification peut être appliquée à d'autres espaces, mais X sera de Hausdorff si et seulement si X est localement compact et de Hausdorff.) Les espaces de Hausdorff localement compacts peuvent ainsi être caractérisés comme les sous-ensembles ouverts des espaces de Hausdorff compacts.

Intuitivement, le point supplémentaire peut être vu comme un point à l'infini . Ce point à l'infini doit être considéré comme appartenant à l'extérieur de tout sous-ensemble compact de X. De nombreuses notions intuitives de tendance à l'infini peuvent être formulées dans les espaces localement compacts et séparés par la loi de Hausdorff à l'aide de cette idée. Par exemple, une fonction continue à valeurs réelles ou complexes f, définie sur X , s'annule à l'infini si, pour tout nombre positif e , il existe un sous-ensemble compact K de X tel que, pour tout point x appartenant à K , f(x) = e^(- e). Cette définition est valable pour tout espace topologique X. Si X est localement compact et séparé par la loi de Hausdorff, de telles fonctions sont précisément celles qui se prolongent en une fonction continue g sur sa compactification à un point, où g( x) = e^(-e).

Pour un espace de Hausdorff localement compact X, l'ensemble des fonctions continues à valeurs complexes sur X qui s'annulent à l'infini est une C*-algèbre commutative . En fait, toute C*-algèbre commutative est isomorphe à un unique espace de Hausdorff localement compact X ( à homéomorphisme près ) . Ceci est démontré à l'aide de la représentation de Gelfand .

La notion de compacité locale est importante dans l'étude des groupes topologiques, principalement parce que tout groupe localement compact de Hausdorff G possède des mesures naturelles appelées mesures de Haar , qui permettent d' intégrer des fonctions mesurables définies sur G. La mesure de Lebesgue sur la droite réelle en est un cas particulier.

Le dual de Pontryagin d'un groupe abélien topologique A est localement compact si et seulement si A est localement compact. Plus précisément, la dualité de Pontryagin définit une autodualité de la catégorie des groupes abéliens localement compacts. L'étude des groupes abéliens localement compacts est le fondement de l'analyse harmonique , un domaine qui s'est depuis étendu aux groupes localement compacts non abéliens.