Worldlex Wiki En mathématiques , l' intervalle unité est l' intervalle fermé ensemble de tous les nombres réels supérieurs ou égaux à 0 et inférieurs ou égaux à 1. Il est souvent noté analyse réelle , l'intervalle unité est utilisé pour étudier la théorie de l'homotopie en topologie .
Dans la littérature, le terme « intervalle unitaire » est parfois appliqué aux autres formes que peut prendre un intervalle de 0 à 1 : espace métrique complet , homéomorphe à la droite réelle étendue . En tant qu'espace topologique , il est compact , contractile , connexe par arcs et localement connexe par arcs . Le cube de Hilbert est obtenu en prenant le produit topologique d'une infinité dénombrable de copies de l'intervalle unité.
En analyse mathématique , l'intervalle unité est une variété analytique unidimensionnelle dont la frontière est constituée des deux points 0 et 1. Son orientation standard va de 0 à 1.
L'intervalle unité est un ensemble totalement ordonné et un treillis complet (chaque sous-ensemble de l'intervalle unité possède un supremum et un infimum ).
Cardinalité
L'intervalle unité est un sous-ensemble des nombres réels . Cependant, il a la même cardinalité que l'ensemble entier : la cardinalité du continu . Puisque les nombres réels peuvent servir à représenter des points sur une droite infiniment longue , cela implique qu'un segment de droite de longueur 1, qui fait partie de cette droite, possède le même nombre de points que la droite entière. De plus, il possède le même nombre de points qu'un carré d' aire 1, qu'un cube de volume 1, et même qu'un espace euclidien non borné de dimension n (voir Courbe de remplissage de l'espace ).
Le nombre d'éléments (qu'il s'agisse de nombres réels ou de points) dans tous les ensembles mentionnés ci-dessus est indénombrable , car il est strictement supérieur au nombre de nombres naturels .
Orientation
L'intervalle unité est une courbe . L'intervalle ouvert (0,1) est un sous-ensemble des nombres réels positifs et hérite de leur orientation. Cette orientation est inversée lorsqu'on entre dans l'intervalle à partir de 1, comme dans l'intégrale utilisée pour définir le logarithme népérien de x dans l'intervalle, ce qui donne des valeurs négatives pour le logarithme de tels x . En fait, cette intégrale est évaluée comme une aire signée , ce qui donne une aire négative sur l'intervalle unité en raison de l'inversion d'orientation.
Généralisations
L'intervalle domaine des fonctions trigonométriques sinus et cosinus et de la fonction hyperbolique tangente hyperbolique (tanh). Cet intervalle peut servir de domaine de définition pour les fonctions inverses . Par exemple, si
L'expression « intervalle unitaire » est parfois employée pour désigner des objets jouant un rôle dans diverses branches des mathématiques, analogue à celui de l'intervalle carquois , l'intervalle unitaire (analogue de l'intervalle unitaire) est le graphe dont l'ensemble des sommets est et qui contient une unique arête e dont la source est 0 et l'arrivée 1. On peut alors définir une notion d' homotopie entre homomorphismes de carquois analogue à la notion d'homotopie entre applications continues .
Logique floue
En logique , l'intervalle unité domaine booléen {0,1}, auquel cas, au lieu de ne prendre que les valeurs 0 ou 1, toute valeur comprise entre 0 et 1 inclus peut être envisagée. Algébriquement, la négation (NON) est remplacée par la conjonction (ET) est remplacée par la multiplication ( la disjonction (OU) est définie, selon les lois de De Morgan , comme des valeurs de vérité logiques aboutit à une logique multivaluée , qui constitue le fondement de la logique floue et de la logique probabiliste . Dans ces interprétations, une valeur est interprétée comme le « degré » de vérité : dans quelle mesure une proposition est vraie, ou la probabilité que la proposition soit vraie.