En mathématiques , un espace topologique est, en résumé, un espace où la proximité est définie mais ne peut pas nécessairement être mesurée par une distance numérique . Plus pré...
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En mathématiques , un espace topologique est, en résumé, un espace où la proximité est définie mais ne peut pas nécessairement être mesurée par une distance numérique . Plus précisément, un espace topologique est un ensemble dont les éléments sont appelés points, muni d'une structure supplémentaire appelée topologie. La topologie peut être définie comme l'ensemble des voisinages de chaque point qui satisfont certains axiomes formalisant la notion de proximité. Il existe plusieurs définitions équivalentes d'une topologie, la plus courante étant la définition par les ouverts .
Bien que très général, le concept d'espaces topologiques est fondamental et utilisé dans pratiquement toutes les branches des mathématiques modernes. L'étude des espaces topologiques en tant que tels est appelée topologie générale (ou topologie générale).
On dit qu'une surface courbe possède une courbure continue en l'un de ses points A, si la direction de toutes les lignes droites tracées de A à des points de la surface situés à une distance infinitésimale de A est déviée de manière infinitésimale par rapport à un même plan passant par A.
Vers 1735, Leonhard Euler découvrit la formulereliant le nombre de sommets ), bords ) et visages ) d'un polyèdre convexe , et donc d'un graphe planaire . L'étude et la généralisation de cette formule, notamment par Cauchy (1789-1857) et L'Huilier (1750-1840), ont donné un nouvel élan à l'étude de la topologie. En 1827, Carl Friedrich Gauss publia ses Recherches générales sur les surfaces courbes , qui, dans la section 3, définissent la surface courbe d'une manière proche de la conception topologique moderne.
Pourtant, « jusqu’aux travaux de Riemann au début des années 1850, les surfaces étaient toujours abordées d’un point de vue local (en tant que surfaces paramétriques) et les questions topologiques n’étaient jamais prises en compte ». « Möbius et Jordan semblent être les premiers à avoir compris que le principal problème concernant la topologie des surfaces (compactes) est de trouver des invariants (de préférence numériques) permettant de déterminer l’équivalence des surfaces, c’est-à-dire de déterminer si deux surfaces sont homéomorphes ou non. »
Le sujet est clairement défini par Felix Klein dans son « Programme d'Erlangen » (1872) : les invariants géométriques des transformations continues arbitraires, une sorte de géométrie. Le terme « topologie » a été introduit par Johann Benedict Listing en 1847, bien qu'il l'ait utilisé dans sa correspondance quelques années auparavant, au lieu de l'expression alors employée « Analysis situs ». Les fondements de cette science, pour un espace de dimension quelconque, ont été posés par Henri Poincaré . Son premier article sur ce sujet a paru en 1894. Dans les années 1930, James Waddell Alexander II et Hassler Whitney ont été les premiers à exprimer l'idée qu'une surface est un espace topologique localement semblable à un plan euclidien .
Les espaces topologiques ont été définis pour la première fois par Felix Hausdorff en 1914 dans son ouvrage fondamental « Principes de la théorie des ensembles ». Les espaces métriques avaient été définis plus tôt, en 1906, par Maurice Fréchet , mais c’est Hausdorff qui a popularisé le terme « espace métrique » ( structure mathématique . On choisit ainsi l' axiomatisation la mieux adaptée à l'application. La plus courante est celle qui s'exprime en termes d' ouverts , mais celle qui s'exprime en termes de voisinages est peut-être plus intuitive ; c'est donc celle-ci que nous présentons en premier.
Définition par quartiersFelix Hausdorff .soit un ensemble (éventuellement vide). Les éléments desont généralement appelés être une fonction assignant à chaque(point) dansune collection non videdes sous-ensembles deLes éléments deseront appelés en ce qui concerne(ou, plus simplement, ). La fonctionOn parle de topologie de voisinage si les axiomes ci-dessous sont satisfaits ; et alorsavecest appelé espace topologique .
Siest un quartier de(c.-à-d.), alorsEn d'autres termes, chaque point de l'ensembleappartient à chacun de ses quartiers en ce qui concerne
Siest un sous-ensemble deet comprend un quartier dealorsest un quartier deC'est-à-dire, tout sur-ensemble d'un voisinage d'un pointest à nouveau un quartier de
L' intersection de deux quartiers deest un quartier de
N'importe quel quartierdecomprend un quartierdetel queest un voisinage de chaque point de
Les trois premiers axiomes relatifs aux voisinages ont une signification claire. Le quatrième axiome joue un rôle très important dans la structure de la théorie, en reliant les voisinages de différents points.
Un exemple classique d'un tel système de voisinages est celui de la ligne réelleoù un sous-ensembledeest défini comme un s'il comprend un intervalle ouvert contenant
Étant donné une telle structure, un sous-ensembledeest défini comme ouvert siest un quartier de tous les points dansLes ouverts satisfont alors les axiomes énoncés ci-dessous dans la définition suivante d'un espace topologique. Réciproquement, étant donné les ouverts d'un espace topologique, les voisinages satisfaisant les axiomes précédents peuvent être retrouvés en définissantêtre un quartier desicomprend un ensemble ouverttel que
Définition via les ensembles ouvertsensemble des sous-ensembles de ensemble vide etelle-même appartient à
Toute union arbitraire (finie ou infinie) de membres deappartient à
L'intersection d'un nombre fini quelconque de membres deappartient à
Cette définition de la topologie étant la plus couramment utilisée, l'ensembleLa topologie des ensembles ouverts est communément appelée topologie sur
Un sous-ensembleon dit qu'il est si son complémentest un ensemble ouvert. Remarquons que de cette définition découle l'ensemble vide etsont simultanément ouverts et fermés – c’est-à-dire que les deux ensembles sont complémentaires l’un de l’autre, tout en étant chacun ouvert. En général, tout sous-ensemble deOn dit que cette propriété est fermée .
Exemples de topologies
LaisserReprésentées par des cercles, voici quatre exemples et deux contre-exemples de topologies sur l'ensemble à trois pointsL'exemple en bas à gauche n'est pas une topologie car l'union deet[ie] est manquant ; l'exemple en bas à droite n'est pas une topologie car l'intersection deet[ie], est manquant.
Donnéla topologie triviale ou c'est la familleconstitué uniquement des deux sous-ensembles deLes axiomes requis forment une topologie sur
Donnéla famillede six sous-ensembles deforme une autre topologie de
L'intersection de toute collection d'ensembles fermés est également fermée.
L'union d'un nombre fini quelconque d'ensembles fermés est également fermée.
En utilisant ces axiomes, une autre façon de définir un espace topologique est comme un ensembleainsi qu'une collectiondes sous-ensembles fermés deAinsi, les ensembles dans la topologiesont les ensembles fermés, et leurs complémentaires danssont les ensembles ouverts.
Autres définitions
Il existe de nombreuses autres manières équivalentes de définir un espace topologique : en d'autres termes, les concepts de voisinage, ou d'ensembles ouverts ou fermés, peuvent être reconstruits à partir d'autres points de départ et satisfaire aux axiomes corrects.
Un réseau est une généralisation du concept de séquence . Une topologie est complètement déterminée si, pour tout réseau de cette séquence, on a :L'ensemble de ses points d'accumulation est spécifié.
Comparaison des topologies
est également ouvert à une topologieon dit queest etest Une démonstration reposant uniquement sur l'existence de certains ouverts reste valable pour toute topologie plus fine, et inversement, une démonstration reposant uniquement sur l'inouverture de certains ouverts s'applique à toute topologie plus grossière. Les termes forme un réseau complet : siest une collection de topologies surpuis la rencontre deest l'intersection deet la jonction deest le point de rencontre de la collection de toutes les topologies surqui contiennent chaque membre de
Fonctions continues
fonctionUne liaison entre espaces topologiques est dite continue si, pour toutet chaque quartierdeil y a un quartierdetel queCela correspond aisément à la définition habituelle en analyse. De manière équivalente,Une fonction est continue si l' image réciproque de tout ouvert est ouverte. Ceci vise à rendre compte de l'intuition selon laquelle la fonction ne présente ni discontinuité ni séparation. Un homéomorphisme est une bijection continue dont l'inverse est également continue. Deux espaces sont dits théorie des catégories , l'une des catégories fondamentales est Top , qui désigne la catégorie des espaces topologiques dont les objets sont des espaces topologiques et dont les morphismes sont des fonctions continues. La tentative de classifier les objets de cette catégorie ( à homéomorphisme près ) par invariants a motivé des domaines de recherche tels que la théorie de l'homotopie , la théorie de l'homologie et la K-théorie .topologie discrète, dans laquelle tout sous-ensemble est ouvert. Les seules suites ou tous les seuls réseaux convergents dans cette topologie sont ceux qui convergent à terme. De même, tout ensemble peut être muni de la topologie triviale (ou indiscrète), dans laquelle seuls l'ensemble vide et l'espace entier sont ouverts. Toute suite et tout réseau dans cette topologie convergent vers tout point de l'espace. Cet exemple montre que, dans les espaces topologiques généraux, les limites de suites ne sont pas nécessairement uniques. Cependant, les espaces topologiques sont souvent des espaces de Hausdorff, où les limites sont uniques.
Tout ensemble fini possède de nombreuses topologies . Ces espaces sont appelés espaces topologiques finis . On utilise parfois les espaces finis pour fournir des exemples ou des contre-exemples aux conjectures concernant les espaces topologiques en général.
Tout ensemble peut être muni d'une topologie cofinie dont les ouverts sont l'ensemble vide et les ensembles dont le complémentaire est fini. Il s'agit de la plus petite topologie T¹ sur tout ensemble infini.
Tout ensemble peut être muni de la topologie cocomptable , selon laquelle un ensemble est dit ouvert s'il est vide ou si son complémentaire est dénombrable. Lorsque l'ensemble est indénombrable, cette topologie constitue un contre-exemple dans de nombreuses situations.
On peut également munir la droite réelle d'une topologie limite inférieure . Dans ce cas, les ouverts de base sont les intervalles semi-ouverts. Cette topologie surCette topologie est strictement plus fine que la topologie euclidienne définie précédemment ; une suite converge vers un point de cette topologie si et seulement si elle converge par valeurs supérieures dans la topologie euclidienne. Cet exemple montre qu'un ensemble peut être muni de plusieurs topologies distinctes.
Siest un nombre ordinal , alors l'ensemblepeut être doté de la topologie d'ordre générée par les intervallesetoùetsont des éléments de
L' espace de Sierpiński est l'espace topologique non discret le plus simple. Il entretient des liens importants avec la théorie du calcul et la sémantique.
Topologie issue d'autres topologies
topologie de sous-espace , où les ouverts sont les intersections des ouverts de l'espace initial avec le sous-ensemble. Pour toute famille indexée d'espaces topologiques, le produit est muni de la topologie de produit , engendrée par les images réciproques des ouverts des facteurs par les projections . Par exemple, pour les produits finis, une base de la topologie de produit est constituée de tous les produits d'ouverts. Pour les produits infinis, on impose la condition supplémentaire que, dans un ouvert de base, toutes ses projections, sauf un nombre fini, soient égales à l'espace entier. Cette construction est un cas particulier de topologie initiale .
Un espace quotient est défini comme suit : siest un espace topologique etest un ensemble, et siest une fonction surjective , alors la topologie quotient surest l'ensemble des sous-ensembles dequi ont des images inverses ouvertes sousEn d'autres termes, la topologie quotient est la topologie la plus fine surpour lequelest continue. Un exemple courant de topologie quotient est celui où une relation d'équivalence est définie sur l'espace topologique La carteest alors la projection naturelle sur l'ensemble des classes d'équivalence . Cette construction est un cas particulier de topologie finale .
Espaces métriques
métrique , une notion précise de distance entre les points.
Tout espace métrique peut être muni d'une topologie métrique, dont les ouverts de base sont les boules ouvertes définies par la métrique. C'est la topologie usuelle sur tout espace vectoriel normé . Sur un espace vectoriel de dimension finie, cette topologie est identique quelle que soit la norme.
Il existe de nombreuses façons de définir une topologie surL'ensemble des nombres réels . La topologie standard surest engendré par les intervalles ouverts . L'ensemble de tous les intervalles ouverts forme une base pour la topologie, ce qui signifie que tout ensemble ouvert est une union d'une collection d'ensembles de la base. En particulier, cela signifie qu'un ensemble est ouvert s'il existe un intervalle ouvert de rayon non nul autour de chaque point de l'ensemble. Plus généralement, les espaces euclidienspeut être dotée d'une topologie. Dans la topologie usuelle surLes ensembles ouverts de base sont les boules ouvertes . De même,l'ensemble des nombres complexes , etpossèdent une topologie standard dans laquelle les ensembles ouverts de base sont des boules ouvertes.
Siest un filtre sur un ensemblealorsest une topologie sur
De nombreux ensembles d' opérateurs linéaires en analyse fonctionnelle sont dotés de topologies définies en spécifiant quand une séquence particulière de fonctions converge vers la fonction nulle.
à homéomorphisme près, selon leurs propriétés topologiques . Une propriété topologique est une propriété des espaces qui est invariante par homéomorphisme. Pour démontrer que deux espaces ne sont pas homéomorphes, il suffit de trouver une propriété topologique qu'ils ne partagent pas. Parmi ces propriétés, on peut citer la connexité , la compacité et divers axiomes de séparation . Pour les invariants algébriques, voir la topologie algébrique .
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