Homotopie

En topologie , deux fonctions continues d'un espace topologique à un autre sont dites homotopiques (du l'groupes d'homotopie cohomotopie , invariants importants en topologie

En pratique, l'utilisation des homotopies avec certains espaces présente des difficultés techniques. Les topologues algébriques travaillent avec des espaces engendrés de manière compacte , des complexes CW ou des spectres .

Formellement, une homotopie entre deux fonctions continues f et g d'un espace topologique X vers un espace topologique Y est définie comme une fonction continue du produit de l'espace X avec l' intervalle unité [0, 1] vers Y telle que et pour tout .

Si l'on considère le second paramètre de H comme le temps, alors H décrit une déformation continue de f en g : à l'instant 0, on a la fonction f , et à l'instant 1, on a la fonction g . On peut aussi considérer le second paramètre comme un « curseur » qui permet une transition progressive de f à g lorsque le curseur se déplace de 0 à 1, et inversement.

Une autre notation consiste à dire qu'une homotopie entre deux fonctions continues est une famille de fonctions continues telles que et , et que l' application est continue de à . Les deux versions coïncident en posant . Il n'est pas suffisant d'exiger que chaque application soit continue.

^{L'animation en boucle ci-dessus à} droite illustre l'homotopie entre deux plongements , f et g , du tore dans relation d'équivalence sur l'ensemble des fonctions continues de X vers Y. Cette relation d'homotopie est compatible avec composition de fonctions

Plus généralement, si est un sous-ensemble convexe de l'espace euclidien et sont des chemins ayant les mêmes extrémités, alors il existe une homotopie linéaire (ou homotopie de droites ) donnée par

Soit la fonction identité sur le disque unité n ; c'est - à-dire l'ensemble . Soit la fonction constante qui envoie tout point à l' origine . Alors l'homotopie suivante les relie :

équivalence d'homotopie

Étant donné deux espaces topologiques X et Y , une équivalence d'homotopie entre X et Y est une paire d' applications continues application identité id _X et contractiles .

Équivalence d'homotopie vs. homéomorphisme

Un homéomorphisme est un cas particulier d'équivalence d'homotopie, où de bijection entre eux (l'un étant un ensemble infini, tandis que l'autre est fini).

Le ruban de Möbius et un ruban non torsadé (fermé) sont homotopiques, car on peut déformer les deux rubans continûment en un cercle. Mais ils ne sont pas homéomorphes.

Exemples

• Le premier exemple d'équivalence d'homotopie concerne un point, noté . Il convient de vérifier l'existence d'une homotopie entre et , la projection de sur l'origine. Ceci peut s'écrire .
• Il existe une équivalence d'homotopie entre (la 1-sphère ) et .
  • Plus généralement, .
• Tout fibré dont les fibres sont homotopiquement équivalentes à un point possède des espaces total et de base homotopiquement équivalents. Ceci généralise les deux exemples précédents puisque est un fibré dont la fibre est .0}" $0R_{>0}$0
• Tout fibré vectoriel est un fibré dont l'homotopie fibreuse est équivalente à un point.
• pour tout , en écrivant comme l'espace total du fibré , puis en appliquant les équivalences d'homotopie ci-dessus.
• Si un sous-complexe d'un complexe CW est contractile, alors l' espace quotient est homotopiquement équivalent à .
• Une rétraction par déformation est une équivalence d'homotopie.

Homotopie nulle

On dit qu'une fonction est homotopique nullecercle unité vers un espace quelconque est homotope nulle si et seulement si elle peut être prolongée continûment en une application du disque unité vers qui coïncide sur la frontière.

Il découle de ces définitions qu'un espace est contractile si et seulement si l'application identité de cet espace vers lui-même — qui est toujours une équivalence d'homotopie — est homotopique nulle.

Invariance

L'équivalence d'homotopie est importante car, en topologie algébrique, de nombreux concepts sont invariants par homotopie , c'est-à-dire qu'ils respectent la relation d'équivalence d'homotopie. Par exemple, si X et Y sont des espaces homotopiquement équivalents, alors :

• X est connexe par chemin si et seulement si Y l'est.
• X est simplement connexe si et seulement si Y l' est.
• Les groupes d'homologie et de cohomologie (singuliers) de X et Y sont isomorphes .
• Si X et Y sont connexes par arcs, alors leurs groupes fondamentaux sont isomorphes, de même que leurs groupes d'homotopie l'homologie à support compact (qui est, en gros, l'homologie de la compactification , et la compactification n'est pas invariante par homotopie).

Variantes

Homotopie relative

Pour définir le groupe fondamental , on a besoin de la notion d' homotopie relative à un sous-espace . Il s'agit d'homotopies qui fixent les éléments du sous-espace. Formellement : si f et g sont des applications continues de X vers Y et K est un sous-ensemble de X , alors f et g sont homotopes par rapport à K s'il existe une homotopie rétraction de X vers K et f l'application identité, on parle de rétraction par déformation forte de X vers K. Lorsque K est un point, on utilise le terme d'homotopie pointée .

Isotopie

Le nœud dénoué n'est pas équivalent au nœud de trèfle, car l'un ne peut être transformé en l'autre par un chemin continu d'homéomorphismes de l'espace ambiant. Ils ne sont donc pas isotopiques de l'espace ambiant.

Lorsque deux fonctions continues données f et g de l'espace topologique X vers l'espace topologique Y sont des plongements , on peut se demander s'il est possible de les relier « par plongement ». Ceci introduit le concept d' isotopie , qui est une homotopie, H , dans la notation utilisée précédemment, telle que pour tout t fixé , H ( x , t ) induit un plongement.

Un concept connexe, mais distinct, est celui d’ isotopie ambiante .

Exiger que deux plongements soient isotopiques est une condition plus forte que l' exigence qu'ils soient homotopiques. Par exemple, l'application de l'intervalle [−1, 1] dans les nombres réels définie par f ( x ) = −x n'est pas isotopique à l'identité g ( x ) = x . Toute homotopie de f vers l'identité impliquerait un échange des extrémités, ce qui signifierait qu'elles devraient se traverser. De plus, f a modifié l'orientation de l'intervalle, contrairement à g , ce qui est impossible sous l'hypothèse d'isotopie. Cependant, les applications sont homotopiques ; une homotopie de f vers l'identité est H : [−1, 1 ] × [0, 1] → [−1, 1] définie par H ( x , y ) = 2yx − x .

Deux homéomorphismes (cas particuliers d'immersions) de la boule unité, coïncidant sur le bord, sont isotopiques grâce à l'astuce d'Alexander . Par conséquent, l'application du disque unité définie par f ( x , y ) = ( −x , −y ) est isotopique à une rotation de 180° autour de l'origine, et donc l'application identité et f sont isotopiques car elles peuvent être reliées par rotation.

En topologie géométrique — par exemple, en théorie des nœuds —, la notion d'isotopie est utilisée pour établir des relations d'équivalence. Par exemple, quand deux nœuds sont-ils considérés comme identiques ? Considérons deux nœuds, _K₁ et K₂ , _dans l' espace tridimensionnel . Un nœud est un plongement d'un espace unidimensionnel, la « boucle de corde » (ou le cercle), dans cet espace, et ce plongement définit un homéomorphisme entre le cercle et son image dans l'espace de plongement. On pourrait tenter de définir l'équivalence des nœuds à partir de l'isotopie plutôt que de la propriété plus restrictive d' isotopie ambiante . Autrement dit, deux nœuds sont isotopiques s'il existe une fonction continue, partant de t = 0 et donnant le plongement de K₁, et arrivant à _t = 1 et donnant le plongement _de K₂ , toutes les valeurs intermédiaires correspondant à des plongements. Cependant, cette définition rendrait tout nœud équivalent au nœud non noué, puisque les portions nouées peuvent être « contractées » à une ligne droite. Le problème est que, bien que continue, cette fonction n'est pas injective de l' espace euclidien dans lequel le nœud est plongé. Une isotopie ambiante , étudiée dans ce contexte, est une isotopie de l'espace plus grand, considérée à la lumière de son action sur la sous-variété plongée. Les nœuds K₁ et K₂ sont considérés comme équivalents lorsqu'il existe une famille continue d'applications indexées _sur [0, 1 _] qui associe à K₁ _{une fonction via} des homéomorphismes de l'espace euclidien.

Un langage similaire est utilisé pour le concept équivalent dans des contextes où l'équivalence est plus forte. Par exemple, un chemin entre deux plongements lisses est une isotopie lisse .