foncteur

Tout foncteur induit le foncteur opposé , où et sont les catégories opposées à et . Par définition, applique les objets et les morphismes de la même manière que . Puisque ne coïncide pas avec en tant que catégorie, et de même pour , est distingué de . Par exemple, lors de la composition avec , il convient d'utiliser soit , soit . Notons que, conformément à la propriété de catégorie opposée , .

Diagramme

Pour les catégories C et J , un diagramme de type J dans C est un foncteur covariant .

(théorie des catégories) préfaisceau

Pour les catégories C et J , un J -préfaisceau sur C est un foncteur contravariant .

préfaisceau sur C.

Préfaisceaux (sur un espace topologique)

Si X est un espace topologique , alors les ouverts de X forment un ensemble partiellement ordonné Open( X ) par inclusion. Comme tout ensemble partiellement ordonné, Open( X ) forme une petite catégorie en ajoutant une flèche préfaisceaux sur X. Par exemple, en associant à chaque ouvert U l' algèbre associative des fonctions continues à valeurs réelles sur U , on obtient un préfaisceau d'algèbres sur X.

foncteur constant

Le foncteur un foncteur polynomial .

foncteur diagonal est défini comme le foncteur de D vers la catégorie de foncteurs D ^C qui envoie chaque objet de D vers le foncteur constant de cet objet.

foncteur limite

Pour une catégorie d'indice J fixée , si tout foncteur limite (par exemple si C est complète), alors le foncteur limite adjoint à droite du foncteur diagonal et en invoquant le théorème du foncteur adjoint de Freyd . Ceci requiert une version appropriée de l' axiome du choix . Des remarques similaires s'appliquent au foncteur de colimite (qui associe à chaque foncteur sa colimite et est covariant).

foncteur des ensembles de puissance

Le foncteur d'ensemble des parties ensemble des parties et à chaque fonction l'application qui envoie sur son image . On peut également considérer le foncteur d'ensemble des parties contravariant qui envoie sur l'application qui envoie sur son image inverse.

topologie triviale sur . Notez également que bien que la fonction dans cet exemple soit envoyée sur l'ensemble des parties de , ce n'est pas nécessairement le cas en général.

espace vectoriel dual

L'application qui associe à tout espace vectoriel son espace dual et à toute application linéaire son dual ou sa transposée est un foncteur contravariant de la catégorie de tous les espaces vectoriels sur un corps fixé vers elle-même.

Groupe fondamental

Considérons la catégorie des espaces topologiques pointés , c'est continue groupe fondamental basé en x₀ , noté groupe des classes _d' homotopie _des lacets basés en x₀ , muni _de l'opération de concaténation. Si espaces pointés , alors tout lacet de X de point de base relation d'équivalence d'homotopie et la composition des lacets, et l'on obtient un de groupes de des

groupoïde fondamental au lieu du groupe fondamental, et cette construction est fonctorielle.

Algèbre des fonctions continues

Un foncteur contravariant de la catégorie des espaces topologiques (avec des morphismes d'applications continues) vers la catégorie des algèbres associatives réelles est donné en associant à chaque espace topologique X l'algèbre C( X ) de toutes les fonctions continues à valeurs réelles sur cet espace. Toute application continue homomorphisme d'algèbres variété différentiable sur son fibré tangent et toute application lisse sur sa dérivée est un foncteur covariant de la catégorie des variétés différentiables vers la catégorie des fibrés vectoriels .

espace tangent , foncteur covariant de la catégorie des variétés différentiables pointées vers la catégorie des espaces vectoriels réels. De même, l'espace cotangent est un foncteur contravariant, essentiellement la composition de l'espace tangent avec l' espace dual ci-dessus.

Actions/représentations de groupe

Tout groupe G peut être vu comme une catégorie munie d'un unique objet dont les morphismes sont les éléments de G. Un foncteur de G vers Set est alors simplement une action de G sur un ensemble particulier, c'est-à-dire un G -ensemble. De même, un foncteur de G vers la catégorie des espaces vectoriels , Vect _K , est une représentation linéaire de G. Plus généralement, un foncteur groupe de Lie réel (complexe) de son algèbre de Lie réelle (complexe) définit un foncteur.

Produits tensoriels

Si C désigne la catégorie des espaces vectoriels sur un corps fixé, avec des applications linéaires comme morphismes, alors le produit tensoriel définit un foncteur groupe son ensemble sous-jacent et à un homomorphisme de groupes sa fonction d'ensembles sous-jacente est un foncteur. Les foncteurs de ce type, qui « oublient » une certaine structure, sont appelés foncteurs oubliatifs . Un autre exemple est le foncteur anneau son groupe abélien additif sous-jacent . Les morphismes dans Rng ( homomorphismes d'anneaux ) deviennent des morphismes dans Ab (homomorphismes de groupes abéliens).

foncteurs libres

À l'opposé des foncteurs oubliatifs, on trouve les foncteurs libres. Le foncteur libre groupe libre engendré par X. Les fonctions sont alors envoyées sur des homomorphismes de groupes libres. Il existe des constructions libres pour de nombreuses catégories basées sur des ensembles structurés. Voir objet libre .

Groupes d'homomorphisme

À toute paire A , B de groupes abéliens, on peut associer le groupe abélien Hom( A , B ) constitué de tous les homomorphismes de groupes de A vers B. Ce foncteur est contravariant par rapport à son premier argument et covariant par rapport à son second, c'est-à-dire un foncteur des groupes abéliens munis d'homomorphismes). Si Hom .

foncteurs représentables

On peut généraliser l'exemple précédent à toute catégorie C. À toute paire X , Y d'objets de C, on peut associer l'ensemble foncteurs représentables . Dans de nombreux contextes, un objectif important est de déterminer si un foncteur donné est représentable.

Soient C et D deux catégories. L'ensemble des foncteurs de C vers D forme les objets d'une catégorie : la catégorie des foncteurs . Les morphismes de cette catégorie sont les transformations naturelles entre foncteurs.

Les foncteurs sont souvent définis par des propriétés universelles ; on peut citer comme exemples le produit tensoriel , la somme et le produit directs de groupes ou d’espaces vectoriels, la construction de groupes et de modules libres, ainsi que les limites directes et inverses . Les concepts de limite et de colimite généralisent plusieurs de ces propriétés.

Les constructions universelles donnent souvent lieu à des paires de foncteurs adjoints .