Le graphique d'une fonction , tracé en noir, et sa tangente , tracée en rouge. La pente de la tangente est égale à la dérivée de la fonction au point indiqué. La dérivée en diff...
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Le graphique d'une fonction , tracé en noir, et sa tangente , tracée en rouge. La pente de la tangente est égale à la dérivée de la fonction au point indiqué.
La dérivée en différents points d'une fonction différentiable. Dans ce cas, la dérivée est égale à .
mathématiques , la dérivée est un outil fondamental qui quantifie la sensibilité de la sortie d'une fonction à ses variations par rapport à ses entrées. La dérivée d'une fonction d'une seule variable en un point donné, lorsqu'elle existe, est la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point. La tangente est la meilleure approximation linéaire de la fonction au voisinage de cette valeur. La dérivée est souvent décrite comme le taux de variation instantané , soit le rapport de la variation instantanée de la variable dépendante à celle de la variable indépendante. Le processus de calcul de la dérivée est appelé dérivation .
Il existe plusieurs notations pour la différentiation. La notation de Leibniz , du nom de Gottfried Wilhelm Leibniz , est représentée par le rapport de deux différentielles , tandis que la notation avec prime s'écrit en ajoutant un prime . Les notations d'ordre supérieur représentent des différentiations successives ; en notation de Leibniz, elles sont généralement notées en ajoutant des exposants aux différentielles, et en notation avec prime, en ajoutant des primes supplémentaires. Les dérivées d'ordre supérieur sont utilisées en physique ; par exemple, la dérivée première par rapport au temps de la position d'un objet en mouvement est sa vitesse , et la dérivée seconde est son accélération .
Les dérivées peuvent être généralisées aux fonctions de plusieurs variables réelles . Dans ce cas, la dérivée est réinterprétée comme une transformation linéaire dont le graphe, après une translation appropriée, constitue la meilleure approximation linéaire du graphe de la fonction originale. La matrice jacobienne est la matrice qui représente cette transformation linéaire par rapport à la base définie par le choix des variables indépendantes et dépendantes. Elle peut être calculée à partir des dérivées partielles par rapport aux variables indépendantes. Pour une fonction à valeurs réelles de plusieurs variables, la matrice jacobienne se réduit au vecteur gradient .
Si la fonction est dérivable en domaine , alors une fonction peut être définie en associant à chaque point la valeur de la dérivée de
Par exemple, soit la fonction carré :
précisément les points et tangente au graphique de
Utilisation des infinitésimaux
On peut concevoir la dérivée comme le rapport d'une variation infinitésimale de la sortie de la fonction à une variation infinitésimale de son entrée. Pour formaliser cette intuition, un système de règles de manipulation des quantités infinitésimales est nécessaire. Le système des nombres hyperréels permet de traiter les quantités infinies et infinitésimales. Les hyperréels sont une extension des nombres réels qui contient des nombres supérieurs à toute valeur de la forme pour un nombre fini quelconque de termes. Ces nombres sont infinis, et leurs inverses sont des infinitésimaux. L'application des nombres hyperréels aux fondements du calcul différentiel et intégral est appelée analyse non standard . Ceci permet de définir les concepts fondamentaux du calcul, tels que la dérivée et l'intégrale, en termes d'infinitésimaux, donnant ainsi une signification précise au terme dans la notation de Leibniz. Ainsi, la dérivée de devient pour un infinitésimal arbitraire fonction partie standard , qui « arrondit » chaque hyperréel fini au réel le plus proche. Prenons à nouveau la fonction carré comme exemple,
Continuité et différentiabilité
Cette fonction n'a pas de dérivée au point marqué, car la fonction n'y est pas continue (plus précisément, elle présente une discontinuité de saut ).
La fonction valeur absolue est continue mais n'est pas dérivable en x = 0 car les pentes des tangentes n'approchent pas la même valeur par la gauche que par la droite.
Si dérivable en continue en fonction en escalier qui renvoie la valeur 1 pour tout inférieur à valeur absolue définie par est continue en tangente est verticale : par exemple, la fonction définie par n'est pas dérivable en
La plupart des fonctions rencontrées en pratique admettent des dérivées en tout point, ou presque . Au début de l' histoire du calcul différentiel et intégral , de nombreux mathématiciens supposaient qu'une fonction continue était dérivable en la plupart des points. Sous certaines conditions (par exemple, si la fonction est monotone ou lipschitzienne ), cela est vrai. Cependant, en 1872, Weierstrass a trouvé le premier exemple de fonction continue partout mais dérivable nulle part. Cet exemple est aujourd'hui connu sous le nom de fonction de Weierstrass . En 1931, Stefan Banach a démontré que l'ensemble des fonctions admettant une dérivée en un point quelconque est un ensemble restreint dans l'espace des fonctions continues. Autrement dit, il est rare qu'une fonction continue choisie au hasard admette une dérivée en au moins un point.
Notation
Leibniz , introduite par Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675, qui désigne une dérivée comme le quotient de deux différentielles , telles que des variables dépendantes et indépendantes . La dérivée première est notée opérateur différentiel à une fonction. Les dérivées d'ordre supérieur sont exprimées à l'aide de la notation pour la dérivée d'ordre fonction composée peut être exprimée à l'aide de la règle de la chaîne : si et alors
Une autre notation courante pour la différentiation consiste à utiliser le symbole prime dans le nom d'une fonction notation, due à -Louis Lagrange se lisant « » ou se lisant « première . De même, les dérivées seconde et troisième s'écrivent respectivement et , tandis
Dans la notation de Newton, ou notation pointée, un point est placé au-dessus d'un symbole pour représenter une dérivée temporelle. Si f la longueur d'arc . Elle est couramment utilisée dans les équations différentielles en physique et en géométrie différentielle . Cependant, la notation pointée devient difficile à manipuler pour les dérivées d'ordre élevé (d'ordre 4 ou plus) et ne permet pas de traiter plusieurs variables indépendantes.
Une autre notation est la notation D , qui représente l'opérateur différentiel par le symbole . La dérivée première est notée et les dérivées d'ordre supérieur sont notées avec un exposant, ainsi la dérivée d'ordre n est Leonhard Euler ne l'ait pas utilisée, et qu'elle ait été introduite par Louis François Antoine Arbogast . Pour indiquer une dérivée partielle, la variable dérivée par est indiquée par un indice, par exemple, étant donné la fonction
Règles de calcul
la composition de fonctions , peuvent être déterminées en appliquant les règles de dérivation. Ce processus de calcul d'une dérivée est appelé dérivation .
La dérivée de la fonction donnée par est : Ici la chaîne et le troisième terme à l'aide de la règle du produit .
Antidifférenciation
primitive d'une fonction est une fonction dont la dérivée est théorème fondamental du calcul intégral montre que la recherche d'une primitive d'une fonction permet de calculer les aires des figures délimitées par cette fonction. Plus précisément, l' intégrale d'une fonction sur un intervalle fermé est égale à la différence entre les valeurs de sa primitive évaluées aux extrémités de cet intervalle.
Dérivées d'ordre supérieur
Les dérivées d'ordre supérieur résultent de la dérivation successive d'une fonction. Étant donné que f est une fonction dérivable, sa dérivée première est notée seconde est notée troisième est notée précédemment , la généralisation de la dérivée d'une fonction peut être notée classe de dérivabilité lisse . Toute fonction polynomiale est infiniment différentiable ; le calcul des dérivées successives aboutit finalement à une fonction constante , et toutes les dérivées suivantes de cette fonction sont nulles.
Une application des dérivées ordre supérieur se trouve en physique . Par exemple, si la fonction la vitesse de accélération de l'objet et représente la secousse
Dans d'autres dimensions
fonction vectorielle d'une variable réelle associe espace vectoriel les courbes paramétriques dans ou vecteur , appelé vecteur tangent , dont les coordonnées sont les dérivées des fonctions de coordonnées. Autrement dit,
Dérivées partielles
plusieurs variables . La dérivée partielle d'une fonction à plusieurs variables est sa dérivée par rapport à l'une de ces variables, les autres étant maintenues constantes. Les dérivées partielles sont utilisées en calcul vectoriel et en géométrie différentielle . Comme pour les dérivées ordinaires, plusieurs notations existent : la dérivée partielle d'une fonction par rapport à la variable est notée de diverses manières. , , , , ou ,
Parmi d'autres possibilités. On peut le considérer comme le taux de variation de la fonction dans la direction . Ici, ∂ est un d arrondi appelé symbole de dérivée partielle . Pour le distinguer de la lettre d , ∂ est parfois prononcé « der », « del » ou « partielle » au lieu de « dee ». Par exemple, soit
Ceci est fondamental pour l'étude des fonctions de plusieurs variables réelles . Soit une telle fonction à valeurs réelles . Si toutes les dérivées partielles par rapport à sont définies au point gradient de en fonction vectorielle qui associe à chaque point le vecteur champ vectoriel .
Dérivées directionnelles
directionnelle de f selon la direction de au point est :
Si toutes les dérivées partielles de existent et sont continues en
Dérivée totale et matrice jacobienne
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Si la dérivée totale existe en . Cette matrice est appelée la matrice jacobienne de en :
Généralisations
approximation linéaire de la fonction en ce point.
Une autre généralisation concerne les fonctions entre variétés différentiables ou différentiables . Intuitivement, une telle variété espace tangent : l’exemple prototypique est une surface lisse dans application linéaire de l’espace tangent de ℝⁿ en ℝⁿ vers l’espace tangent de ℝⁿ en fibrés tangents de géométrie différentielle .
L'un des défauts de la dérivée classique est que de nombreuses fonctions ne sont pas dérivables. Néanmoins, il existe une méthode pour étendre la notion de dérivée afin que toutes les fonctions continues , ainsi que de nombreuses autres fonctions, puissent être dérivées grâce à un concept appelé dérivée faible . L'idée consiste à plonger les fonctions continues dans un espace plus vaste, appelé espace des distributions , et à exiger seulement qu'une fonction soit dérivable « en moyenne ».
Les propriétés de la dérivée ont inspiré l'introduction et l'étude de nombreux objets similaires en algèbre et en topologie ; l'algèbre différentielle en est un exemple . Celle-ci consiste en la dérivation de certains concepts d'algèbre abstraite, tels que les anneaux , les idéaux , les corps , etc.
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