Analyse non standard

L' histoire du calcul est pleine de débats philosophiques sur la signification et la validité logique des fluxions ou des nombres infinitésimaux . La manière standard de résoudre ces débats est de définir les opérations du calcul en utilisant des limites plutôt que des nombres infinitésimaux. L'analyse non standard reformule plutôt le calcul en utilisant une notion logiquement rigoureuse de nombres infinitésimaux .

L'analyse non standard a été inventée au début des années 1960 par le mathématicien Abraham Robinson . Il a écrit :

... l'idée de quantités infiniment petites ou infinitésimales semble naturellement séduire notre intuition. En tout cas, l'utilisation des infinitésimaux était répandue pendant les étapes formatrices du calcul différentiel et intégral. Quant à l'objection ... selon laquelle la distance entre deux nombres réels distincts ne peut pas être infiniment petite, Gottfried Wilhelm Leibniz a soutenu que la théorie des infinitésimaux implique l'introduction de nombres idéaux qui pourraient être infiniment petits ou infiniment grands par rapport aux nombres réels mais qui devaient posséder les mêmes propriétés que ces derniers.

Robinson a soutenu que cette loi de continuité de Leibniz est un précurseur du principe de transfert . Robinson a poursuivi :

Cependant, ni lui ni ses disciples et successeurs ne furent capables de proposer un développement rationnel conduisant à un système de ce type. En conséquence, la théorie des infinitésimaux tomba progressivement en discrédit et fut finalement remplacée par la théorie classique des limites.

Robinson continue :

... Les idées de Leibniz peuvent être pleinement justifiées et... elles conduisent à une approche nouvelle et fructueuse de l'analyse classique et de nombreuses autres branches des mathématiques. La clé de notre méthode est fournie par l'analyse détaillée de la relation entre les langages mathématiques et les structures mathématiques qui se trouve à la base de la théorie des modèles contemporaine .

En 1973, l'intuitionniste Arend Heyting a salué l'analyse non standard comme « un modèle standard de recherche mathématique importante ».

Un élément non nul d'un corps ordonné est infinitésimal si et seulement si sa valeur absolue est inférieure à tout élément de qui est de la forme , pour un nombre naturel standard. Les corps ordonnés qui ont des éléments infinitésimaux sont également appelés non-archimédiens . Plus généralement, l'analyse non standard est toute forme de mathématiques qui s'appuie sur des modèles non standard et le principe de transfert . Un corps qui satisfait le principe de transfert pour les nombres réels est appelé un corps réel fermé , et l'analyse réelle non standard utilise ces corps comme modèles non standard des nombres réels.

L'approche originale de Robinson était basée sur ces modèles non standard du corps des nombres réels. Son livre fondateur classique sur le sujet Analyse non standard a été publié en 1966 et est toujours imprimé. À la page 88, Robinson écrit :

L'existence de modèles arithmétiques non standard a été découverte par Thoralf Skolem (1934). La méthode de Skolem préfigure la construction ultra-puissante [...]

Plusieurs problèmes techniques doivent être résolus pour développer un calcul des infinitésimaux. Par exemple, il ne suffit pas de construire un corps ordonné avec des infinitésimaux.

Dans cette section, nous décrivons l'une des approches les plus simples pour définir un corps hyperréel . Soit le corps des nombres réels et soit le semi-anneau des nombres naturels. On note par l'ensemble des suites de nombres réels. Un corps est défini comme un quotient approprié de , comme suit. Prenons un ultrafiltre non principal . En particulier, contient le filtre de Fréchet . Considérons une paire de suites

On dit que et sont équivalents s'ils coïncident sur un ensemble d'indices membre de l'ultrafiltre, ou dans les formules :

Le quotient de par la relation d'équivalence résultante est un corps hyperréel , situation résumée par la formule .

Il y a au moins trois raisons d’envisager une analyse non standard :

Une grande partie des premiers développements du calcul infinitésimal par Newton et Leibniz ont été formulés à l'aide d'expressions telles que nombre infinitésimal et quantité nulle , mais ces formulations ont été largement critiquées par George Berkeley et d'autres. Le défi de développer une théorie d'analyse cohérente et satisfaisante en utilisant les infinitésimaux a été relevé pour la première fois par Abraham Robinson.

En 1958, Curt Schmieden et Detlef Laugwitz ont publié un article intitulé « Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung » (« Une extension du calcul infinitésimal ») qui proposait la construction d'un anneau contenant des infinitésimaux. L'anneau a été construit à partir de suites de nombres réels. Deux suites étaient considérées comme équivalentes si elles ne différaient que par un nombre fini d'éléments. Les opérations arithmétiques étaient définies élément par élément. Cependant, l'anneau construit de cette manière contient des diviseurs de zéro et ne peut donc pas être un corps.

H. Jerome Keisler , David Tall et d'autres éducateurs soutiennent que l'utilisation des infinitésimaux est plus intuitive et plus facile à comprendre par les étudiants que l' approche « epsilon-delta » des concepts analytiques. Cette approche peut parfois fournir des preuves de résultats plus faciles que la formulation epsilon-delta correspondante de la preuve. Une grande partie de la simplification provient de l'application de règles très simples d'arithmétique non standard, comme suit :

infinitésimal × fini = infinitésimal

infinitésimal + infinitésimal = infinitésimal

avec le principe de transfert.

Une autre application pédagogique de l'analyse non standard est le traitement de la théorie des processus stochastiques par Edward Nelson .

Des travaux récents ont été réalisés en analyse à l'aide de concepts issus de l'analyse non standard, notamment dans le cadre de l'étude des processus limitatifs de la statistique et de la physique mathématique. Sergio Albeverio et al. discutent de certaines de ces applications.

Il existe deux approches principales de l'analyse non standard : l' approche sémantique ou théorique des modèles et l'approche syntaxique. Ces deux approches s'appliquent à d'autres domaines des mathématiques au-delà de l'analyse, notamment la théorie des nombres, l'algèbre et la topologie.

La formulation originale de l'analyse non standard de Robinson appartient à la catégorie de l' approche sémantique . Telle qu'il l'a développée dans ses articles, elle est basée sur l'étude de modèles (en particulier de modèles saturés ) d'une théorie . Depuis la parution des premiers travaux de Robinson, une approche sémantique plus simple (due à Elias Zakon) a été développée en utilisant des objets purement ensemblistes appelés superstructures . Dans cette approche, un modèle d'une théorie est remplacé par un objet appelé superstructure V ( S ) sur un ensemble S. À partir d'une superstructure V ( S ), on construit un autre objet * V ( S ) en utilisant la construction ultrapower avec une application V ( S ) → * V ( S ) qui satisfait le principe de transfert . L'application * relie les propriétés formelles de V ( S ) et * V ( S ) . De plus, il est possible d'envisager une forme plus simple de saturation appelée saturation dénombrable . Cette approche simplifiée est également plus adaptée à l'utilisation par des mathématiciens qui ne sont pas des spécialistes de la théorie des modèles ou de la logique.

L' approche syntaxique nécessite beaucoup moins de logique et de théorie des modèles pour être comprise et utilisée. Cette approche a été développée au milieu des années 1970 par le mathématicien Edward Nelson . Nelson a introduit une formulation entièrement axiomatique de l'analyse non standard qu'il a appelée théorie des ensembles internes (IST). L'IST est une extension de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF) dans la mesure où, à côté de la relation d'appartenance binaire de base ∈, elle introduit un nouveau prédicat unaire standard , qui peut être appliqué aux éléments de l'univers mathématique avec certains axiomes pour raisonner avec ce nouveau prédicat.

L'analyse syntaxique non standard nécessite une grande prudence dans l'application du principe de formation d'ensemble (connu officiellement sous le nom d' axiome de compréhension ), que les mathématiciens tiennent généralement pour acquis. Comme le souligne Nelson, une erreur de raisonnement dans l'IST est celle de la formation illégale d'ensemble . Par exemple, il n'existe aucun ensemble dans l'IST dont les éléments soient précisément les entiers standards ( standard est ici compris dans le sens du nouveau prédicat). Pour éviter la formation illégale d'ensemble, il faut utiliser uniquement des prédicats de ZFC pour définir des sous-ensembles.

Un autre exemple de l'approche syntaxique est la théorie des ensembles alternative de Vopěnka , qui tente de trouver des axiomes de théorie des ensembles plus compatibles avec l'analyse non standard que les axiomes de ZF.

Le livre d'Abraham Robinson, Analyse non standard, a été publié en 1966. Certains des sujets développés dans le livre étaient déjà présents dans son article de 1961 portant le même titre (Robinson 1961). En plus de contenir le premier traitement complet de l'analyse non standard, le livre contient une section historique détaillée où Robinson remet en question certaines des opinions reçues sur l'histoire des mathématiques basées sur la perception pré-analyse non standard des infinitésimaux comme des entités incohérentes. Ainsi, Robinson remet en question l'idée que le « théorème de somme » d' Augustin-Louis Cauchy dans Cours d'analyse concernant la convergence d'une série de fonctions continues était incorrect, et propose une interprétation infinitésimale de son hypothèse qui aboutit à un théorème correct.

Abraham Robinson et Allen Bernstein ont utilisé une analyse non standard pour prouver que tout opérateur linéaire polynomialement compact sur un espace de Hilbert possède un sous-espace invariant .

Étant donnée un opérateur T sur l'espace de Hilbert H , considérons l'orbite d'un point v dans H sous les itérations de T . En appliquant Gram–Schmidt on obtient une base orthonormée ( e _i ) pour H . Soit ( H _i ) la suite imbriquée correspondante de sous-espaces "coordonnés" de H . La matrice a _i,j exprimant T par rapport à ( e _i ) est presque triangulaire supérieure, au sens où les coefficients a _{i +1, i} sont les seuls coefficients sous-diagonaux non nuls. Bernstein et Robinson montrent que si T est polynomialement compacte, alors il existe un indice hyperfini w tel que le coefficient de matrice a _{w +1, w} soit infinitésimal. Considérons ensuite le sous-espace H _w de * H . Si y dans H _w est de norme finie, alors T ( y ) est infiniment proche de H _w .

Soit maintenant T _w l'opérateur agissant sur H _w , où P _w est la projection orthogonale sur H _w . Notons q le polynôme tel que q ( T ) soit compact. Le sous-espace H _w est interne de dimension hyperfinie. En transférant la triangularisation supérieure des opérateurs d'espace vectoriel complexe de dimension finie, il existe un espace de Hilbert orthonormé interne de base ( e _k ) pour H _w où k va de 1 à w , tel que chacun des sous-espaces k -dimensionnels E _k correspondants soit T -invariant. Notons Π _k la projection sur le sous-espace E _k . Pour un vecteur x non nul de norme finie dans H , on peut supposer que q ( T )( x ) est non nul, ou | q ( T )( x )| > 1 pour fixer les idées. Puisque q ( T ) est un opérateur compact, ( q ( T _w ))( x ) est infiniment proche de q ( T )( x ) et donc on a aussi | q ( ​​T _w )( x )| > 1 . Soit maintenant j le plus grand indice tel que . Alors l'espace de tous les éléments standards infiniment proches de E _j est le sous-espace invariant désiré.

Après avoir lu une prépublication de l'article de Bernstein et Robinson, Paul Halmos a réinterprété leur preuve en utilisant des techniques standard. Les deux articles sont parus l'un après l'autre dans le même numéro du Pacific Journal of Mathematics . Certaines des idées utilisées dans la preuve de Halmos sont réapparues de nombreuses années plus tard dans les propres travaux de Halmos sur les opérateurs quasi-triangulaires.

D'autres résultats ont été obtenus dans le sens d'une réinterprétation ou d'une récusation de résultats déjà connus. La preuve de Teturo Kamae du théorème ergodique individuel ou le traitement de L. van den Dries et Alex Wilkie du théorème de Gromov sur les groupes de croissance polynomiale sont particulièrement intéressants . L'analyse non standard a été utilisée par Larry Manevitz et Shmuel Weinberger pour prouver un résultat en topologie algébrique.

Les véritables contributions de l'analyse non standard résident cependant dans les concepts et théorèmes qui utilisent le nouveau langage étendu de la théorie des ensembles non standard. Parmi la liste des nouvelles applications en mathématiques, on trouve de nouvelles approches des probabilités, de l'hydrodynamique, de la théorie de la mesure, de l'analyse non lisse et harmonique, etc.

L'analyse non standard peut également être appliquée à la théorie des processus stochastiques, notamment aux constructions de mouvements browniens sous forme de marches aléatoires . Albeverio et al. proposent une introduction à ce domaine de recherche.

En termes d'axiomatique, l'axiome de superuniversalité de Boffa a trouvé une application comme base pour l'analyse axiomatique non standard.

En tant qu'application à l'enseignement des mathématiques , H. Jerome Keisler a écrit Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach . Couvrant le calcul non standard , il développe le calcul différentiel et intégral en utilisant les nombres hyperréels, qui incluent des éléments infinitésimaux. Ces applications de l'analyse non standard dépendent de l'existence de la partie standard d'un nombre hyperréel fini r . La partie standard de r , notée st( r ) , est un nombre réel standard infiniment proche de r . L'un des dispositifs de visualisation utilisés par Keisler est celui d'un microscope imaginaire à grossissement infini pour distinguer des points infiniment proches les uns des autres. Le livre de Keisler est désormais épuisé, mais est disponible gratuitement sur son site Web.

Malgré l’élégance et l’attrait de certains aspects de l’analyse non standard, des critiques ont également été formulées, notamment par Errett Bishop , Alain Connes et Paul Halmos .

Étant donné un ensemble S , la superstructure sur un ensemble S est l'ensemble V ( S ) défini par les conditions

Ainsi, la superstructure sur S est obtenue en partant de S et en itérant l'opération d'adjonction de l' ensemble des puissances de S et en prenant l'union de la suite résultante. La superstructure sur les nombres réels comprend une richesse de structures mathématiques : par exemple, elle contient des copies isomorphes de tous les espaces métriques séparables et des espaces vectoriels topologiques métrisables . Pratiquement toutes les mathématiques qui intéressent un analyste se déroulent dans V ( R ) .

La vue de travail de l'analyse non standard est un ensemble * R et une application * : V ( R ) → V (* R ) qui satisfait certaines propriétés supplémentaires. Pour formuler ces principes, nous énonçons d'abord quelques définitions.

Une formule a une quantification limitée si et seulement si les seuls quantificateurs qui apparaissent dans la formule ont une plage restreinte sur des ensembles, c'est-à-dire qu'ils sont tous de la forme :

Par exemple, la formule

a une quantification bornée, la variable universellement quantifiée x s'étend sur A , la variable existentiellement quantifiée y s'étend sur l'ensemble de puissance de B . D'autre part,

n'a pas de quantification bornée car la quantification de y n'est pas restreinte.

Un ensemble x est interne si et seulement si x est un élément de * A pour un élément A de V ( R ) . * A lui-même est interne si A appartient à V ( R ) .

Nous formulons maintenant le cadre logique de base de l’analyse non standard :

• Principe d'extension : L'application * est l'identité sur R .
• Principe de transfert : Pour toute formule P ( x ₁ , ..., x _n ) de quantification bornée et de variables libres x ₁ , ..., x _n , et pour tous éléments A ₁ , ..., A _n de V ( R ) , l'équivalence suivante est vérifiée :

• Saturation dénombrable : Si { A _k } _{k ∈ N} est une suite décroissante d'ensembles internes non vides, avec k parcourant les entiers naturels, alors

On peut montrer à l'aide d'ultraproduits qu'une telle application * existe. Les éléments de V ( R ) sont dits standards . Les éléments de * R sont dits hyperréels .

Le symbole * N désigne les nombres naturels non standard. Selon le principe d'extension, il s'agit d'un sur-ensemble de N. L'ensemble * N − N est non vide. Pour le voir, appliquez la saturation dénombrable à la séquence d'ensembles internes

La séquence { A _n } _{n ∈ N} a une intersection non vide, ce qui prouve le résultat.

Commençons par quelques définitions : Les hyperréels r , s sont infiniment proches si et seulement si

Un hyperréel r est infinitésimal si et seulement s'il est infiniment proche de 0. Par exemple, si n est un hyperentier , c'est-à-dire un élément de * N − N , alors 1/ n est un infinitésimal. Un hyperréel r est limité (ou fini ) si et seulement si sa valeur absolue est dominée par (moins que) un entier standard. Les hyperréels limités forment un sous-anneau de * R contenant les réels. Dans cet anneau, les hyperréels infinitésimaux sont un idéal .

L'ensemble des hyperréels limités ou l'ensemble des hyperréels infinitésimaux sont des sous-ensembles externes de V (* R ) ; ce que cela signifie en pratique est que la quantification bornée, où la borne est un ensemble interne, ne s'étend jamais sur ces ensembles.

Exemple : Le plan ( x , y ) avec x et y s'étendant sur * R est interne et est un modèle de géométrie euclidienne plane. Le plan avec x et y restreints à des valeurs limitées (analogue au plan de Dehn ) est externe et dans ce plan limité le postulat de parallélisme est violé. Par exemple, toute droite passant par le point (0, 1) sur l' axe des y et ayant une pente infinitésimale est parallèle à l' axe des x .

Théorème. Pour tout hyperréel limité r il existe un unique réel standard noté st( r ) infiniment proche de r . L'application st est un homomorphisme d'anneau de l'anneau des hyperréels limités vers R .

Le mappage st est également externe.

Une façon de penser la partie standard d'un hyperréel est de la considérer en termes de coupes de Dedekind ; tout hyperréel limité s définit une coupe en considérant la paire d'ensembles ( L , U ) où L est l'ensemble des rationnels standards a inférieurs à s et U est l'ensemble des rationnels standards b supérieurs à s . Le nombre réel correspondant à ( L , U ) peut être considéré comme satisfaisant la condition d'être la partie standard de s .

Une caractérisation intuitive de la continuité est la suivante :

Théorème. Une fonction réelle f sur l'intervalle [ a , b ] est continue si et seulement si pour tout hyperréel x dans l'intervalle *[ a , b ] , on a : * f ( x ) ≅ * f (st( x )) .

De la même manière,

Théorème. Une fonction à valeur réelle f est différentiable à la valeur réelle x si et seulement si pour tout nombre hyperréel infinitésimal h , la valeur

existe et est indépendant de h . Dans ce cas f ′( x ) est un nombre réel et est la dérivée de f en x .

Il est possible d'« améliorer » la saturation en permettant l'intersection d'ensembles de cardinalité supérieure. Un modèle est κ - saturé si chaque fois que est un ensemble d'ensembles internes avec la propriété d'intersection finie et ,

Ceci est utile, par exemple, dans un espace topologique X , où nous pouvons vouloir une saturation |2 ^X | pour garantir que l'intersection d'une base de voisinage standard n'est pas vide.

Pour tout cardinal κ , une extension κ -saturée peut être construite.