Sous-espace invariant

En mathématiques , un sous-espace invariant d'une application linéaire T : V → V ie d'un espace vectoriel V vers lui-même, est un sous-espace W de V qui est préservé par T. Plus généralement, un sous-espace invariant pour une collection d'applications linéaires est un sous-espace préservé par chaque application individuellement.

Considérons un espace vectoriel et une application linéaire. Un sous-espace est appelé sous-espace invariant pour , ou de manière équivalente, T -invariant, si T transforme tout vecteur en W . Dans les formules, cela peut être écrit ou

Dans ce cas, T se limite à un endomorphisme de W :

L'existence d'un sous-espace invariant a aussi une formulation matricielle . Prenons une base C pour W et complétons-la en une base B de V. Par rapport à B , l'opérateur T a la forme pour certains T ₁₂ et T ₂₂ , où ici désigne la matrice de par rapport à la base C .

Toute application linéaire admet les sous-espaces invariants suivants :

• L'espace vectoriel , car il mappe chaque vecteur dans
• L'ensemble , parce que .

Ce sont les sous-espaces invariants impropres et triviaux, respectivement. Certains opérateurs linéaires n'ont pas de sous-espace invariant propre non trivial : par exemple, la rotation d'un espace vectoriel réel à deux dimensions. Cependant, l' axe d'une rotation en trois dimensions est toujours un sous-espace invariant.

Si U est un sous-espace invariant unidimensionnel pour l'opérateur T de vecteur v ∈ U , alors les vecteurs v et T v doivent être linéairement dépendants . Ainsi , en fait, le scalaire α ne dépend pas de v .

L'équation ci-dessus formule un problème de valeur propre . Tout vecteur propre pour T couvre un sous-espace invariant à une dimension, et vice-versa. En particulier, un vecteur invariant non nul (c'est-à-dire un point fixe de T ) couvre un sous-espace invariant de dimension 1.

En conséquence du théorème fondamental de l'algèbre , tout opérateur linéaire sur un espace vectoriel complexe de dimension finie non nul possède un vecteur propre. Par conséquent, tout opérateur linéaire de ce type en au moins deux dimensions possède un sous-espace invariant propre non trivial.

Déterminer si un sous-espace donné W est invariant sous T est apparemment un problème de nature géométrique. La représentation matricielle permet de formuler ce problème de manière algébrique.

On écrit V comme la somme directe W ⊕ W ′ ; un W ′ approprié peut toujours être choisi en étendant une base de W . L' opérateur de projection associé P sur W a une représentation matricielle

Un calcul simple montre que W est T -invariant si et seulement si PTP =  TP .

Si 1 est l' opérateur identité , alors 1- P est une projection sur W ′ . L'équation TP = PT est vraie si et seulement si im( P ) et im(1 − P ) sont tous deux invariants sous T . Dans ce cas, T a une représentation matricielle

Familièrement, une projection qui commute avec T « diagonalise » T .

Comme l'indiquent les exemples ci-dessus, les sous-espaces invariants d'une transformation linéaire T donnée éclairent la structure de T. Lorsque V est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps algébriquement clos , les transformations linéaires agissant sur V sont caractérisées (à similarité près) par la forme canonique de Jordan , qui décompose V en sous-espaces invariants de T. De nombreuses questions fondamentales concernant T peuvent être traduites en questions sur les sous-espaces invariants de T.

L'ensemble des sous-espaces T -invariants de V est parfois appelé treillis de sous-espaces invariants de T et écrit Lat( T ) . Comme son nom l'indique, il s'agit d'un treillis ( modulaire ) , dont les jonctions et les jointures sont données respectivement par l'intersection d'ensembles et l'étendue linéaire . Un élément minimal dans Lat( T ) est dit être un sous-espace invariant minimal .

Dans l'étude des opérateurs de dimension infinie, Lat( T ) est parfois limité aux seuls sous-espaces invariants fermés .

Étant donnée une collection T d'opérateurs, un sous-espace est dit T -invariant s'il est invariant sous chaque T ∈ T .

Comme dans le cas d'un seul opérateur, le treillis du sous-espace invariant de T , écrit Lat( T ) , est l'ensemble de tous les sous-espaces T -invariants, et supporte les mêmes opérations de rencontre et de jointure. En théorie des ensembles, c'est l'intersection

Soit End( V ) l'ensemble de tous les opérateurs linéaires sur V . Alors Lat(End( V ))={0, V } .

Étant donnée une représentation d'un groupe G sur un espace vectoriel V , on a une transformation linéaire T ( g ) : V → V pour tout élément g de G . Si un sous-espace W de V est invariant par rapport à toutes ces transformations, alors c'est une sous-représentation et le groupe G agit sur W de façon naturelle. La même construction s'applique aux représentations d'une algèbre .

À titre d'exemple, soit T ∈ End( V ) et Σ l'algèbre engendrée par {1,  T  }, où 1 est l'opérateur identité. Alors Lat( T ) = Lat(Σ).

Tout comme le théorème fondamental de l'algèbre garantit que toute transformation linéaire agissant sur un espace vectoriel complexe de dimension finie possède un sous-espace invariant non trivial, le théorème fondamental de l'algèbre non commutative affirme que Lat(Σ) contient des éléments non triviaux pour certains Σ.

Une conséquence est que chaque famille commutative dans L ( V ) peut être simultanément triangularisée supérieurement . Pour le voir, notez qu'une représentation matricielle triangulaire supérieure correspond à un drapeau de sous-espaces invariants, qu'une famille commutative génère une algèbre commutative et que End( V ) n'est pas commutatif lorsque dim( V ) ≥ 2 .

Si A est une algèbre , on peut définir une représentation régulière à gauche Φ sur A : Φ( a ) b = ab est un homomorphisme de A vers L ( A ), l'algèbre des transformations linéaires sur A

Les sous-espaces invariants de Φ sont précisément les idéaux gauches de A . Un idéal gauche M de A donne une sous-représentation de A sur M .

Si M est un idéal à gauche de A alors la représentation régulière à gauche Φ sur M descend maintenant à une représentation Φ' sur l' espace vectoriel quotient A / M . Si [ b ] désigne une classe d'équivalence dans A / M , Φ'( a )[ b ] = [ ab ]. Le noyau de la représentation Φ' est l'ensemble { a ∈ A | ab ∈ M pour tout b }.

La représentation Φ' est irréductible si et seulement si M est un idéal gauche maximal , car un sous-espace V ⊂ A / M est un invariant par {Φ'( a ) | a ∈ A } si et seulement si son préimage par l' application quotient , V + M , est un idéal gauche dans A .

Le problème du sous-espace invariant concerne le cas où V est un espace de Hilbert séparable sur les nombres complexes , de dimension > 1, et T est un opérateur borné . Le problème consiste à décider si tout T de ce type possède un sous-espace invariant fermé non trivial. Il n'est pas résolu.

Dans le cas plus général où V est supposé être un espace de Banach , Per Enflo (1976) a trouvé un exemple d'opérateur sans sous-espace invariant. Un exemple concret d'opérateur sans sous-espace invariant a été produit en 1985 par Charles Read .

Les sous-espaces invariants sont apparentés aux demi-espaces dits presque invariants ( AIHS ). Un sous-espace fermé d'un espace de Banach est dit presque invariant par un opérateur si pour un sous-espace de dimension finie ; de manière équivalente, est presque invariant par s'il existe un opérateur de rang fini tel que , c'est-à-dire si est invariant (au sens habituel) par . Dans ce cas, la dimension minimale possible de (ou le rang de ) est appelé le défaut .

Il est clair que tout sous-espace de dimension finie et de codimension finie est presque invariant sous chaque opérateur. Ainsi, pour rendre les choses non triviales, nous disons que est un demi-espace chaque fois qu'il s'agit d'un sous-espace fermé de dimension infinie et de codimension infinie.

Le problème AIHS se pose la question de savoir si tout opérateur admet un AIHS. Dans le cadre complexe, ce problème a déjà été résolu ; c'est-à-dire si est un espace de Banach complexe de dimension infinie et admet alors un AIHS de défaut au plus égal à 1. On ne sait pas actuellement si la même chose est vraie si est un espace de Banach réel. Cependant, quelques résultats partiels ont été établis : par exemple, tout opérateur auto-adjoint sur un espace de Hilbert réel de dimension infinie admet un AIHS, de même que tout opérateur strictement singulier (ou compact) agissant sur un espace réflexif réel de dimension infinie.