Worldlex Wiki En mathématiques , lorsque les éléments d'un ensemble sont liés par une relation d'équivalence (formalisée par cette relation ), on peut naturellement diviser cet ensemble en classes d'équivalence . Ces classes sont construites de telle sorte que deux éléments appartiennent à la même classe d'équivalence si et seulement si ils sont équivalents.
Formellement, étant donné un ensemble et une relation d'équivalence sur la partition de sens, c'est-à-dire que chaque élément de l'ensemble appartient à une seule classe d'équivalence. L'ensemble des classes d'équivalence est parfois appelé l' ensemble quotient ou l' espace quotient de et est noté .
Lorsqu'un ensemble possède une structure (telle qu'une opération de groupe ou une topologie ) et que la relation d'équivalence est compatible avec cette structure, l'ensemble quotient hérite souvent d'une structure similaire de son ensemble parent. On peut citer comme exemples les espaces quotients en algèbre linéaire , les espaces quotients en topologie , les groupes quotients , les espaces homogènes , les anneaux quotients , les monoïdes quotients et les catégories quotients .
relation d'équivalence sur un ensemble est une relation binaire satisfaisant les trois propriétés :Exemples
- Soit l'ensemble de tous les rectangles dans un plan, et la relation d'équivalence « a la même aire que », alors pour chaque nombre réel positif, il y aura une classe d'équivalence de tous les rectangles qui ont une aire
- Considérons la relation d'équivalence modulo 2 sur l'ensemble des entiers , telle que si et seulement si leur différence est paire . Cette relation donne lieu à exactement deux classes d'équivalence : l'une est constituée de tous les nombres pairs, et l'autre de tous les nombres impairs. En utilisant des crochets autour d'un élément de la classe pour désigner une classe d'équivalence sous cette relation, et tous représentent le même élément de
[0] = {..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9,...}
[1] = {..., -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10,...}
[2] = {..., -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11,...}
Chaque valeur de appartient à une seule des classes où les éléments 0, 1 et 2 sont les représentants canoniques de leurs classes.
- Soit l'ensemble des couples ordonnés d'entiers avec non nul et définissons une relation d'équivalence sur telle que si et seulement si alors la classe d'équivalence du couple peut être identifiée au nombre rationnel et cette relation d'équivalence et ses classes d'équivalence peuvent être utilisées pour donner une définition formelle de l'ensemble des nombres rationnels. La même construction peut être généralisée au corps des fractions de tout anneau intègre .
- Si l'ensemble des droites du plan euclidien est constitué de toutes les droites et que signifie que et sont des droites parallèles , alors l'ensemble des droites parallèles entre elles forme une classe d'équivalence, pour autant qu'une droite soit considérée comme parallèle à elle-même . Dans ce cas, chaque classe d'équivalence définit un point à l'infini .
- Pour tout ensemble , la relation est une relation d'équivalence dans laquelle chaque classe d'équivalence est un ensemble constitué d'un seul élément.
Représentation graphique
Un graphe non orienté peut être associé à toute relation symétrique sur un ensemble où les sommets sont les éléments de et deux sommets et sont reliés si et seulement si Parmi ces graphes figurent les graphes de relations d'équivalence. Ces graphes, appelés graphes clusters , sont caractérisés comme les graphes dont les composantes connexes sont des cliques .
Invariants
Si est une relation d'équivalence sur et est une propriété des éléments de telle que si est vraie dès que est vraie, alors la propriété est dite être un invariant de ou bien définie par la relation
A frequent particular case occurs when
Any function
More generally, a function may map equivalent arguments (under an equivalence relation
Quotient space in topology
In topology, a quotient space is a topological space formed on the set of equivalence classes of an equivalence relation on a topological space, using the original space's topology to create the topology on the set of equivalence classes.
In abstract algebra, congruence relations on the underlying set of an algebra allow the algebra to induce an algebra on the equivalence classes of the relation, called a quotient algebra. In linear algebra, a quotient space is a vector space formed by taking a quotient group, where the quotient homomorphism is a linear map. By extension, in abstract algebra, the term quotient space may be used for quotient modules, quotient rings, quotient groups, or any quotient algebra. However, the use of the term for the more general cases can as often be by analogy with the orbits of a group action.
The orbits of a group action on a set may be called the quotient space of the action on the set, particularly when the orbits of the group action are the right cosets of a subgroup of a group, which arise from the action of the subgroup on the group by left translations, or respectively the left cosets as orbits under right translation.
Un sous-groupe normal d'un groupe topologique, agissant sur le groupe par action de translation, est un espace quotient au sens de la topologie, de l'algèbre abstraite et des actions de groupe simultanément.
Bien que le terme puisse s'appliquer à l'ensemble des classes d'équivalence de toute relation d'équivalence, éventuellement dotées d'une structure supplémentaire, son usage vise généralement à comparer ce type de relation d'équivalence sur un ensemble soit à une relation d'équivalence qui induit une structure sur cet ensemble à partir d'une structure de même nature sur l'ensemble initial, soit aux orbites d'une action de groupe. L'idée d'une structure préservée par une relation d'équivalence, ainsi que l'étude des invariants sous l'action de groupes, conduisent à la définition des invariants des relations d'équivalence donnée ci-dessus.