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Les paires ordonnées sont également appelées 2-uplets , ou séquences (parfois, listes en informatique) de longueur 2. Les paires ordonnées de scalaires sont parfois appelées vecteurs bidimensionnels (techniquement, il s'agit d'un abus de langage, car une paire ordonnée n'appartient pas nécessairement à un espace vectoriel ). Les éléments d'une paire ordonnée peuvent être d'autres paires ordonnées, ce qui permet la définition récursive de n -uplets ordonnés (listes ordonnées de n objets). Par exemple, le triplet ordonné ( a , b , c ) peut être défini comme ( a , ( b , c )), c'est-à-dire comme une paire imbriquée dans une autre.
Dans le couple ordonné ( a , b ), l'objet a est appelé le premier élément et l'objet b le second élément du couple. On peut également les appeler les première et seconde composantes , les première et seconde coordonnées , ou encore les projections gauche et droite du couple ordonné.
Les produits cartésiens et les relations binaires (et donc les fonctions ) sont définis en termes de paires ordonnées, cf. image.
Définition de la paire ordonnée à l'aide de la théorie des ensembles
Si l'on admet que la théorie des ensembles constitue un fondement attrayant des mathématiques , alors tous les objets mathématiques doivent être définis comme des ensembles . Par conséquent, si le couple ordonné n'est pas considéré comme primitif, il doit être défini comme un ensemble. Plusieurs définitions ensemblistes du couple ordonné sont données ci-dessous (voir aussi Diepert).
Définition de Wiener
Norbert Wiener a proposé la première définition ensembliste de la paire ordonnée en 1914 : Il a observé que cette définition permettait de définir les types des Principia Mathematica comme des ensembles. Les Principia Mathematica avaient pris les types, et donc les relations de toutes les arités , comme primitifs .
Wiener a utilisé {{ b }} au lieu de { b } pour rendre la définition compatible avec la théorie des types, selon laquelle tous les éléments d'une classe doivent être du même « type ». Comme b est imbriqué dans un ensemble supplémentaire, son type est égal à celui de 's.
Définition de Hausdorff
À peu près au même moment que Wiener (1914), Felix Hausdorff a proposé sa définition : « où 1 et 2 sont deux objets distincts différents de a et b ».
Définition de Kuratowski
En 1921, Kazimierz Kuratowski a proposé la définition désormais acceptée de la paire ordonnée ( a , b ) : lorsque les première et deuxième coordonnées sont identiques, la définition devient :
Étant donné une paire ordonnée p , la propriété « x est la première coordonnée de p » peut être formulée comme suit : La propriété « x est la deuxième coordonnée de p » peut être formulée comme suit : Dans le cas où les coordonnées gauche et droite sont identiques, la conjonction droite est trivialement vraie, puisque c'est le cas.
Si alors :
Voici comment extraire la première coordonnée d'une paire (en utilisant la notation d'opération itérée pour l'intersection et l'union arbitraires ) :
Voici comment extraire la deuxième coordonnée :
(Si , alors l'ensemble pourrait être obtenu plus simplement : , mais la formule précédente tient également compte du cas où .)
Notez que et sont des fonctions généralisées , dans le sens où leurs domaines et codomaines sont des classes propres .
Variantes
La définition de Kuratowski du couple ordonné ci-dessus est « adéquate » en ce qu'elle satisfait la propriété caractéristique qu'un couple ordonné doit satisfaire, à savoir que . En particulier, elle exprime adéquatement la notion d'« ordre », car est faux sauf si . Il existe d'autres définitions, de complexité similaire ou moindre, qui sont tout aussi adéquates :
La définition inverse n'est qu'une variante triviale de la définition de Kuratowski et, de ce fait, ne présente aucun intérêt propre. La définition courte est ainsi nommée car elle requiert deux paires d' accolades au lieu de trois . Démontrer que la définition courte satisfait la propriété caractéristique nécessite l' axiome de régularité de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel . De plus, si l'on utilise la construction ensembliste des nombres naturels de von Neumann , alors 2 est défini comme l'ensemble {0, 1} = {0, {0}}, qui est indiscernable de la paire courte (0, 0) . Un autre inconvénient de la paire courte est que, même si a et b sont du même type, les éléments de la paire courte ne le sont pas. (Cependant, si a = b , la version courte conserve une cardinalité de 2, ce qui est attendu de toute paire, y compris de toute paire ordonnée.)
Démontrer que les définitions satisfont à la propriété caractéristique
Prouver : ( a , b ) = ( c , d ) si et seulement si a = c et b = d .
Kuratowski : Si . Si a = c et b = d , alors {{ a }, { a , b }} = {{ c }, { c , d }}. Ainsi ( a, b ) K = ( c , d ) K .
Seulement si . Deux cas : a = b et a ≠ b .
Si a = b :
- ( a, b ) K = {{ a }, { a , b }} = {{ a }, { a , a }} = {{ a }}.
- {{ c }, { c , d }} = ( c , d ) K = ( a , b ) K = {{ a }}.
- Ainsi, { c } = { c , d } = { a }, ce qui implique a = c et a = d . Par hypothèse, a = b . Donc b = d .
Si a ≠ b , alors ( a , b ) K = ( c , d ) K implique {{ a }, { a , b }} = {{ c }, { c , d }}.
- Supposons que { c , d } = { a }. Alors c = d = a , et donc {{ c }, { c , d }} = {{ a }, { a , a }} = {{ a }, { a }} = {{ a }}. Mais alors {{ a }, { a, b }} serait également égal à {{ a }}, de sorte que b = a, ce qui contredit a ≠ b .
- Supposons { c } = { a , b }. Alors a = b = c , ce qui contredit également a ≠ b .
- Par conséquent, { c } = { a }, de sorte que c = a et { c , d } = { a , b }.
- Si d = a était vrai, alors { c , d } = { a , a } = { a } ≠ { a , b }, ce qui est contradictoire. Donc d = b est vrai, de sorte que a = c et b = d .
Inverser : ( a, b ) inverse = {{ b }, { a, b }} = {{ b }, { b, a }} = ( b, a ) K .
Si . Si ( a, b ) inverse = ( c, d ) inverse , ( b, a ) K = ( d, c ) K . Par conséquent, b = d et a = c .
Seulement si . Si a = c et b = d , alors {{ b }, { a, b }} = {{ d }, { c, d }}. Ainsi ( a, b ) inverse = ( c, d ) inverse .
Court :
Si : Si a = c et b = d , alors { a , { a, b }} = { c , { c, d }}. Ainsi ( a, b ) court = ( c, d ) court .
Seulement si : Supposons que { a , { a, b }} = { c , { c, d }}. Alors a est dans le membre de gauche, et donc dans le membre de droite. Puisque des ensembles égaux ont des éléments égaux, soit a = c, soit a = { c, d } est nécessairement vrai.
- Si a = { c, d }, alors par un raisonnement similaire à celui ci-dessus, { a, b } est dans le membre de droite, donc { a, b } = c ou { a, b } = { c, d }.
- Si { a, b } = c alors c est dans { c, d } = a et a est dans c , et cette combinaison contredit l'axiome de régularité, car { a, c } n'a pas d'élément minimal sous la relation « élément de ».
- Si { a, b } = { c, d }, alors a est un élément de a , de a = { c, d } = { a, b }, contredisant à nouveau la régularité.
- Donc a = c doit être vrai.
Là encore, nous constatons que { a, b } = c ou { a, b } = { c, d }.
- L'option { a, b } = c et a = c implique que c est un élément de c , ce qui contredit la régularité.
- Donc nous avons a = c et { a, b } = { c, d }, et donc : { b } = { a, b } \ { a } = { c, d } \ { c } = { d }, donc b = d .
Définition de Quine-Rosser
Rosser (1953) a utilisé une définition de la paire ordonnée due à Quine , qui requiert une définition préalable des nombres naturels . Soit l'ensemble des nombres naturels et définissons d'abord . La fonction incrémente son argument s'il est un nombre naturel et le laisse inchangé sinon ; le nombre 0 n'apparaît pas dans l'image de . Comme est l'ensemble des éléments de n'appartenant pas à , poursuivons avec . C'est l' image ensembliste d'un ensemble par , parfois notée également . Appliquer la fonction à un ensemble x incrémente simplement chaque nombre naturel de cet ensemble. En particulier, ne contient jamais le nombre 0, de sorte que pour tous ensembles x et y , . De plus, définissons . Par conséquent, contient toujours le nombre 0.
Enfin, définissez la paire ordonnée ( A , B ) comme l'union disjointe (qui est en notation alternative).
En extrayant tous les éléments de la paire qui ne contiennent pas 0 et en annulant, on obtient A. De même, B peut être récupéré à partir des éléments de la paire qui contiennent 0.
Par exemple, la paire est encodée comme fourni .
En théorie des types et dans ses prolongements, comme la théorie axiomatique des ensembles NF , la paire de Quine-Rosser a le même type que ses projections et est donc qualifiée de paire ordonnée « de niveau de type ». Cette définition a ainsi l'avantage de permettre à une fonction , définie comme un ensemble de paires ordonnées, d'avoir un type supérieur de seulement 1 à celui de ses arguments. Cette définition n'est valable que si l'ensemble des nombres naturels est infini. C'est le cas en NF , mais pas en théorie des types ni en NFU . J. Barkley Rosser a montré que l'existence d'une telle paire ordonnée de niveau de type (ou même d'une paire ordonnée « d'élévation de type de 1 ») implique l' axiome de l'infini . Pour une discussion approfondie de la paire ordonnée dans le contexte des théories des ensembles quiniennes, voir Holmes (1998).
Définition de Cantor-Frege
Au début du développement de la théorie des ensembles, avant que les paradoxes ne soient découverts, Cantor a suivi Frege en définissant la paire ordonnée de deux ensembles comme la classe de toutes les relations qui existent entre ces ensembles, en supposant que la notion de relation est primitive :
Cette définition est inadmissible dans la plupart des théories formalisées modernes des ensembles et est méthodologiquement similaire à la définition du cardinal d'un ensemble comme la classe de tous les ensembles équipotents avec l'ensemble donné.
Définition de Morse
La théorie des ensembles de Morse-Kelley utilise librement les classes propres . Morse a défini la paire ordonnée de sorte que ses projections puissent être des classes propres ainsi que des ensembles. (La définition de Kuratowski ne le permet pas.) Il a d'abord défini des paires ordonnées dont les projections sont des ensembles à la manière de Kuratowski. Il a ensuite redéfini la paire où les produits cartésiens des composantes sont des paires d'ensembles de Kuratowski et où
Ceci rend possibles les paires dont les projections sont des classes propres. La définition de Quine-Rosser ci-dessus admet également des classes propres comme projections. De même, le triplet est défini comme un 3-uplet comme suit :
L'utilisation de l'ensemble singleton , auquel est inséré un ensemble vide, permet aux tuples de posséder la propriété d'unicité suivante : si a est un n- uplet et b un m- uplet et a = b , alors n = m . Les triplets ordonnés, définis comme des paires ordonnées, ne possèdent pas cette propriété par rapport aux paires ordonnées.
théorie des catégories
Dans une catégorie d'ensembles, un produit catégoriel A × B représente l'ensemble des couples ordonnés, le premier élément appartenant à A et le second à B. Dans ce contexte, la propriété caractéristique mentionnée ci-dessus découle de l' universalité du produit et du fait que les éléments d'un ensemble X peuvent être identifiés par des morphismes de 1 (un ensemble à un seul élément) vers X. Bien que différents objets puissent posséder l'universalité, ils sont tous naturellement isomorphes .