Ultrafiltre

Dans le domaine mathématique de la théorie de l'ordre , un ultrafiltre sur un ensemble partiellement ordonné donné (ou « poset ») est un certain sous-ensemble de, à savoir un filtre maximal sur , c'est-à-dire un filtre propre sur qui ne peut pas être élargi à un filtre propre plus grand sur

Si est un ensemble arbitraire, son ensemble de puissances ordonné par inclusion d'ensembles , est toujours une algèbre de Boole et donc un ensemble ordonné, et les ultrafiltres sur sont généralement appelés ultrafiltres sur l'ensemble . Un ultrafiltre sur un ensemble peut être considéré comme une mesure 0-1-valuée finiment additive sur . Dans cette perspective, chaque sous-ensemble de est soit considéré comme « presque tout » (a une mesure de 1) soit comme « presque rien » (a une mesure de 0), selon qu'il appartient ou non à l'ultrafiltre donné.

Les ultrafiltres ont de nombreuses applications en théorie des ensembles, en théorie des modèles , en topologie et en combinatoire.

En théorie de l'ordre , un ultrafiltre est un sous-ensemble d'un ensemble partiellement ordonné qui est maximal parmi tous les filtres propres . Cela implique que tout filtre qui contient proprement un ultrafiltre doit être égal à l'ensemble ordonné.

Formellement, si est un ensemble, partiellement ordonné par alors

• un sous-ensemble est appelé un filtre si
  • pour tout il existe un élément tel que et et
  • pour chaque et implique que est dans aussi ;
• un sous-ensemble propre de est appelé un ultrafiltre sur si
  • il n'existe pas de filtre approprié sur qui s'étende correctement (c'est-à-dire tel que soit un sous-ensemble approprié de ).

Chaque ultrafiltre appartient exactement à l'une des deux catégories suivantes : principal ou libre. Un ultrafiltre principal (ou fixe , ou trivial ) est un filtre contenant un plus petit élément . Par conséquent, chaque ultrafiltre principal est de la forme pour un élément de l'ensemble donné. Dans ce cas, il est appelé l' élément principal de l'ultrafiltre. Tout ultrafiltre qui n'est pas principal est appelé ultrafiltre libre (ou non principal ). Pour un ensemble quelconque , l'ensemble est un filtre, appelé filtre principal à ; il n'est un ultrafiltre principal que s'il est maximal.

Pour les ultrafiltres sur un ensemble de puissances, un ultrafiltre principal est constitué de tous les sous-ensembles de qui contiennent un élément donné . Chaque ultrafiltre sur qui est également un filtre principal est de cette forme. Par conséquent, un ultrafiltre sur est principal si et seulement s'il contient un ensemble fini. Si est infini, un ultrafiltre sur est donc non principal si et seulement s'il contient le filtre de Fréchet des sous-ensembles cofinis de Si est fini, tout ultrafiltre est principal. Si est infini alors le filtre de Fréchet n'est pas un ultrafiltre sur l'ensemble de puissances de mais c'est un ultrafiltre sur l' algèbre finie-cofinie de

Tout filtre d'une algèbre de Boole (ou plus généralement tout sous-ensemble possédant la propriété d'intersection finie ) est contenu dans un ultrafiltre (voir lemme des ultrafiltres ) et des ultrafiltres libres existent donc, mais les preuves font intervenir l' axiome du choix ( AC ) sous la forme du lemme de Zorn . En revanche, l'affirmation selon laquelle tout filtre est contenu dans un ultrafiltre n'implique pas AC . En effet, il est équivalent au théorème de l'idéal premier de Boole ( BPIT ), un point intermédiaire bien connu entre les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel ( ZF ) et la théorie de ZF augmentée de l'axiome du choix ( ZFC ). En général, les preuves faisant intervenir l'axiome du choix ne produisent pas d'exemples explicites d'ultrafiltres libres, bien qu'il soit possible d'en trouver dans certains modèles de ZFC ; par exemple, Gödel a montré que cela peut être fait dans l' univers constructible où l'on peut écrire une fonction de choix globale explicite. Dans ZF sans l'axiome du choix, il est possible que chaque ultrafiltre soit principal.

Un cas particulier important du concept se produit si le poset considéré est une algèbre booléenne . Dans ce cas, les ultrafiltres sont caractérisés par le fait qu'ils contiennent, pour chaque élément de l'algèbre booléenne, exactement un des éléments et (ce dernier étant le complément booléen de ) :

Si est une algèbre booléenne et est un filtre propre sur alors les affirmations suivantes sont équivalentes :

3. pour chaque soit ou ( )

Une preuve que 1. et 2. sont équivalents est également donnée dans (Burris, Sankappanavar, 2012, Corollaire 3.13, p.133).

De plus, les ultrafiltres sur une algèbre booléenne peuvent être liés à des idéaux maximaux et à des homomorphismes de l'algèbre booléenne à 2 éléments {vrai, faux} (également appelés morphismes à 2 valeurs ) comme suit :

• Étant donné un homomorphisme d'une algèbre booléenne sur {vrai, faux}, l' image inverse de « vrai » est un ultrafiltre, et l'image inverse de « faux » est un idéal maximal.
• Étant donné un idéal maximal d'une algèbre booléenne, son complémentaire est un ultrafiltre, et il existe un homomorphisme unique sur {vrai, faux} prenant l'idéal maximal à « faux ».
• Étant donné un ultrafiltre sur une algèbre booléenne, son complément est un idéal maximal, et il existe un homomorphisme unique sur {true, false} qui amène l'ultrafiltre à « true ».

Étant donné un ensemble arbitraire, son ensemble de puissance ordonné par inclusion d'ensemble , est toujours une algèbre booléenne ; par conséquent, les résultats de la section ci-dessus s'appliquent. Un (ultra)filtre sur est souvent appelé simplement « (ultra)filtre sur ». Étant donné un ensemble arbitraire, un ultrafiltre sur est un ensemble constitué de sous-ensembles de tels que :

1. L'ensemble vide n'est pas un élément de .
2. Si est un élément de alors chaque sur-ensemble l'est aussi .
3. Si et sont des éléments de alors l' intersection l'est aussi .
4. Si est un sous-ensemble de alors soit soit son complément est un élément de .

De manière équivalente, une famille de sous-ensembles de est un ultrafiltre si et seulement si pour toute collection finie de sous-ensembles de , il existe un tel que où est l'ultrafiltre principal ensemencé par . En d'autres termes, un ultrafiltre peut être vu comme une famille d'ensembles qui ressemble « localement » à un ultrafiltre principal.

Une forme équivalente d'une donnée est un morphisme à 2 valeurs , une fonction sur définie comme si est un élément de et sinon. Alors est finiment additif , et donc un contenu sur et toute propriété des éléments de est soit vrai presque partout , soit faux presque partout. Cependant, n'est généralement pas dénombrablement additif , et donc ne définit pas une mesure au sens habituel.

Pour un filtre qui n'est pas un ultrafiltre, on peut définir if et if en laissant indéfini ailleurs.

Les ultrafiltres sur les ensembles de puissance sont utiles en topologie , en particulier par rapport aux espaces de Hausdorff compacts , et en théorie des modèles dans la construction d' ultraproduits et d'ultrapuissances . Tout ultrafiltre sur un espace de Hausdorff compact converge vers exactement un point. De même, les ultrafiltres sur les algèbres booléennes jouent un rôle central dans le théorème de représentation de Stone . En théorie des ensembles, les ultrafiltres sont utilisés pour montrer que l' axiome de constructibilité est incompatible avec l'existence d'un cardinal mesurable κ . Ceci est prouvé en prenant l'ultrapuissance de l'univers théorique des ensembles modulo un ultrafiltre κ -complet, non principal.

L'ensemble de tous les ultrafiltres d'un ensemble ordonné peut être topologisé de manière naturelle, ce qui est en fait étroitement lié au théorème de représentation mentionné ci-dessus. Pour tout élément de , soit Ceci est particulièrement utile lorsque est à nouveau une algèbre booléenne, car dans cette situation l'ensemble de tous est une base pour une topologie de Hausdorff compacte sur . En particulier, lorsque l'on considère les ultrafiltres sur un ensemble de puissance , l' espace topologique résultant est la compactification de Stone–Čech d'un espace discret de cardinalité

La construction d'ultraproduits en théorie des modèles utilise des ultrafiltres pour produire un nouveau modèle à partir d'une suite de modèles indexés ; par exemple, le théorème de compacité peut être démontré de cette façon. Dans le cas particulier des ultrapuissances, on obtient des extensions élémentaires de structures. Par exemple, en analyse non standard , les nombres hyperréels peuvent être construits comme un ultraproduit des nombres réels , étendant le domaine du discours des nombres réels aux suites de nombres réels. Cet espace de séquences est considéré comme un sur-ensemble des réels en identifiant chaque réel avec la suite constante correspondante. Pour étendre les fonctions et relations familières (par exemple, + et <) des réels aux hyperréels, l'idée naturelle est de les définir ponctuellement. Mais cela perdrait d'importantes propriétés logiques des réels ; par exemple, ponctuellement < n'est pas un ordre total. Ainsi, les fonctions et relations sont définies " ponctuellement modulo " , où est un ultrafiltre sur l' ensemble indexé des suites ; par le théorème de Łoś , cela préserve toutes les propriétés des réels qui peuvent être énoncées en logique du premier ordre . Si est non principal, alors l'extension ainsi obtenue est non triviale.

En théorie géométrique des groupes , les ultrafiltres non principaux sont utilisés pour définir le cône asymptotique d'un groupe. Cette construction permet de considérer de manière rigoureuse le groupe depuis l'infini , c'est-à-dire la géométrie à grande échelle du groupe. Les cônes asymptotiques sont des exemples particuliers d' ultralimites d' espaces métriques .

La preuve ontologique de l'existence de Dieu par Gödel utilise comme axiome que l'ensemble de toutes les « propriétés positives » est un ultrafiltre.

En théorie du choix social , les ultrafiltres non principaux sont utilisés pour définir une règle (appelée fonction de bien-être social ) permettant d'agréger les préférences d' un nombre infini d'individus. Contrairement au théorème d'impossibilité d'Arrow pour un nombre fini d'individus, une telle règle satisfait les conditions (propriétés) qu'Arrow propose (par exemple, Kirman et Sondermann, 1972). Mihara (1997, 1999) montre cependant que de telles règles présentent un intérêt limité pour les chercheurs en sciences sociales, car elles ne sont pas algorithmiques ou non calculables.