Worldlex Wiki En théorie de l'ordre mathématique , un idéal est un sous-ensemble particulier d'un ensemble partiellement ordonné (poset). Bien que ce terme provienne historiquement de la notion d' idéal d'anneau en algèbre abstraite , il a été par la suite généralisé. Les idéaux sont d'une grande importance pour de nombreuses constructions en théorie de l'ordre et en théorie des treillis .
Définitions
Un sous-ensemble est un idéal si les conditions suivantes sont vérifiées :
est un idéal si les conditions suivantes sont vérifiées : - et y dans P , implique que y est dans ( , il existe un élément z dans et ( d’un treillis.L'élément principal de l'idéal dans cette situation. L'idéal principal .
Confusion terminologique
Les définitions ci-dessus d’« idéal » et d’« idéal d’ordre » sont les définitions standard , mais il existe une certaine confusion terminologique. Parfois, les termes et définitions tels que « idéal », « idéal d’ordre », « idéal de Frink » ou « idéal d’ordre partiel » sont utilisés de manière interchangeable
Idéaux premiers
Un cas particulier important d'idéal est constitué des idéaux dont les compléments ensemblistes sont des filtres, c'est-à-dire des idéaux dans l'ordre inverse. Ces idéaux sont appelésLes idéaux premiers s. Notons également que, puisque nous exigeons que les idéaux et les filtres soient non vides, tout idéal premier est nécessairement propre. Pour les treillis, les idéaux premiers peuvent être caractérisés comme suit :
Un sous-ensemble est un idéal premier, si et seulement si
- dans I ou I .
dans I ou I .Il est facile de vérifier que cela équivaut bien à affirmer que
Pour un réseau complet, la notion supplémentaire deL'idéal premier complet a une signification. Il est défini comme un idéal propre quelconque appartient à , alors au moins un élément deAappartient également à unUn idéal est maximal s'il est propre et s'il n'existe aucunidéalpropreJqui soit un sur-ensemble strict de et un filtre F tels que et disjoints de F. Dans le cas des treillis distributifs, un tel idéal M est toujours premier. La démonstration de ce résultat suit.
b ∈ M , mais ni a ni b n'appartiennent à M. Considérons le cas où, pour tout m ∈ M , m ∨ a ∉ F. On peut construire un idéal N en prenant la fermeture descendante de l'ensemble de toutes les jointures binaires de cette forme, soit N = { x | x ≤ m ∨ a pour un certain m ∈ M } . On vérifie aisément que N est bien un idéal disjoint de F , et donc strictement supérieur à M. Or, ceci contredit la maximalité de M et, par conséquent, l'hypothèse que M n'est pas premier.Dans l'autre cas, supposons qu'il existe un élément m de M tel que m ∨ a ∈ F. Si un élément n de M a pour élément n ∨ b ∈ F , alors ( m ∨ n ) ∨ b et ( m ∨ n ) ∨ a ∈ F. Or, leur intersection ∨ b ∈ F et, par distributivité, ( m ∨ n ) ∨ ( a ∧ b ) ∈ F également. Par ailleurs, cette jonction finie d'éléments de M ∈ M , de sorte que l'existence supposée de n contredit la disjonction des deux ensembles. Ainsi, tout élément n de M a une jonction avec b qui n'appartient pas à F. On peut donc appliquer la construction précédente en remplaçant a par b pour obtenir un idéal strictement supérieur à M et disjoint de F. Ceci achève la démonstration.