Le groupe des racines cinquièmes de l'unité pour la multiplication est isomorphe au groupe des rotations du pentagone régulier pour la composition. En mathématiques , un isomorp...
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Le groupe des racines cinquièmes de l'unité pour la multiplication est isomorphe au groupe des rotations du pentagone régulier pour la composition.
En mathématiques , un isomorphisme est une application (ou morphisme) qui préserve la structure de deux structures type et qui est réversible par une application inverse . Deux structures mathématiques sont isomorphes s'il existe un isomorphisme entre elles, ce qui est souvent noté grec ancien ἴσος ( isos ) « égal » et μορφή ( morphe ) « forme, aspect » .
L'intérêt des isomorphismes réside dans le fait que deux objets isomorphes possèdent les mêmes propriétés (à l'exception d'informations supplémentaires telles que leur structure ou leur nom). Ainsi, les structures isomorphes ne peuvent être distinguées uniquement du point de vue de leur structure et sont souvent identifiables. En langage mathématique , on dit que deux objets sont identiques à un isomorphisme près. Un exemple courant où les structures isomorphes ne peuvent être identifiées est celui des sous-structures d'une structure plus grande. Par exemple, tous les sous-espaces de dimension un d'un espace vectoriel sont isomorphes et ne peuvent être identifiés.
Un automorphisme est un isomorphisme d'une structure sur elle-même. Un isomorphisme entre deux structures est un isomorphisme canonique (une application canonique qui est un isomorphisme) s'il existe un unique isomorphisme entre les deux structures (comme c'est le cas pour les solutions d'une propriété universelle ), ou si cet isomorphisme est beaucoup plus naturel (dans un certain sens) que d'autres isomorphismes. Par exemple, pour tout nombre premier les corps à théorèmes d'isomorphisme fournissent des isomorphismes canoniques qui ne sont pas uniques.
La théorie des catégories , que l'on peut considérer comme une formalisation du concept de correspondance entre les structures, fournit un langage qui peut être utilisé pour unifier l'approche de ces différents aspects de l'idée de base.
groupe multiplicatif des nombres réels positifs , et soit le groupe additif des nombres réels.
Cette fonction est un isomorphisme qui transforme la multiplication de nombres réels positifs en addition de nombres réels. Grâce à elle, il est possible de multiplier des nombres réels à l'aide d'une règle et d'une table de logarithmes , ou encore d'une règle à calcul logarithmique.
Entiers modulo 6
Considérons l' anneau des entiers de 0 à 5 avec l'addition et la multiplication modulo 6. Considérons également l'anneau des paires ordonnées où le premier élément est un entier modulo 2 et le second élément est un entier modulo 3, avec l'addition et la multiplication composante par composante modulo 2 et 3.
Ces anneaux sont isomorphes sous l'application suivante : ou en général
Par exemple, ce qui se traduit dans l'autre système par
Il s'agit d'un cas particulier du théorème des restes chinois qui affirme que, si et sont des entiers premiers entre eux , l'anneau des entiers modulo est isomorphe au produit direct des entiers modulo et des entiers modulo .
isomorphisme préservant les relations
Si un objet est constitué d'un ensemble X avec une relation binaire R et l'autre objet est constitué d'un ensemble Y avec une relation binaire S, alors un isomorphisme de X vers Y est une fonction bijective telle que :
Par exemple, si R est un ordre ≤ et S un ordre, alors un isomorphisme de X vers Y est une fonction bijective telle que Un tel isomorphisme est appelé un isomorphisme d'ordre ou (moins couramment) un automorphisme préservant les relations .
Applications
En algèbre , on définit des isomorphismes pour toutes les structures algébriques . Certains font l'objet d'études plus spécifiques ; par exemple :
Les isomorphismes de corps sont identiques aux isomorphismes d'anneaux entre corps ; leur étude, et plus particulièrement l'étude des automorphismes de corps, est une partie importante de la théorie de Galois .
De même que les automorphismes d'une structure algébrique forment un groupe , les isomorphismes entre deux algèbres partageant une structure commune forment un tas . L'identification des deux structures par un isomorphisme particulier transforme ce tas en un groupe.
En théorie des graphes , un isomorphisme entre deux graphes G et H est une application bijective f des sommets de G vers les sommets de H qui préserve la « structure d'arêtes » au sens où il existe une arête du sommet u au sommet v dans G si et seulement s'il existe une arête de à dans H. Voir isomorphisme de graphes .
En théorie de l'ordre , un isomorphisme entre deux ensembles partiellement ordonnés P et Q est une bijection de P vers Q qui préserve la structure d'ordre, au sens où pour tous éléments a et b de P, a ≤ b ≤ c dans P si et seulement si b ≤ c dans Q. Par exemple, l'ensemble {1, 2, 3, 6} des nombres entiers ordonnés par la relation « est un facteur de » est isomorphe à l'ensemble { O , A , B , AB } des groupes sanguins ordonnés par la relation « peut donner à » . Voir isomorphisme d'ordre .
En analyse mathématique, un isomorphisme entre deux espaces de Hilbert est une bijection préservant l'addition, la multiplication scalaire et le produit scalaire.
En cybernétique , le théorème du bon régulateur, ou théorème de Conant-Ashby, s'énonce ainsi : « Tout bon régulateur d'un système doit être un modèle de ce système. » Qu'il soit régulé ou autorégulé, un isomorphisme est requis entre le régulateur et les parties de traitement du système.
vue théorique des catégories
En théorie des catégories , étant donné une catégorie C , un isomorphisme est un morphisme qui admet un morphisme inverse, c'est-à-dire, et
Deux catégories isomorphes s'il existe des foncteurs et qui sont mutuellement inverses l'un à l'autre, c'est-à-dire (le foncteur identité sur concrete category (roughly, a category whose objects are sets (perhaps with extra structure) and whose morphisms are structure-preserving functions), such as the category of topological spaces or categories of algebraic objects (like the category of groups, the category of rings, and the category of modules), an isomorphism must be bijective on the underlying sets. In algebraic categories (specifically, categories of varieties in the sense of universal algebra), an isomorphism is the same as a homomorphism which is bijective on underlying sets. However, there are concrete categories in which bijective morphisms are not necessarily isomorphisms (such as the category of topological spaces).
Isomorphism classes
Since a composition of isomorphisms is an isomorphism, the identity is an isomorphism, and the inverse of an isomorphism is an isomorphism, the relation that two mathematical objects are isomorphic is an equivalence relation. An equivalence class given by isomorphisms is commonly called an isomorphism class.
Examples
Examples of isomorphism classes are plentiful in mathematics.
Two sets are isomorphic if there is a bijection between them. The isomorphism class of a finite set can be identified with the non-negative integer representing the number of elements it contains.
The isomorphism class of a finite-dimensional vector space can be identified with the non-negative integer representing its dimension.
Ordinals intuitively correspond to isomorphism classes of well-ordered sets (though there are technical set-theoretic issues involvedsubalgebras of M(2,R), the 2 x 2 real matrices.
However, there are circumstances in which the isomorphism class of an object conceals vital information about it.
Étant donné une structure mathématique , il est fréquent que deux sous-structures appartiennent à la même classe d'isomorphisme. Cependant, leur identification ne permet pas d'étudier leur intégration à la structure globale. Par exemple, dans un espace vectoriel de dimension finie, tous les sous-espaces de même dimension sont isomorphes, mais il est nécessaire de les distinguer pour considérer leur intersection, leur somme, etc.
En théorie de l'homotopie , le groupe fondamental d'un espace en un point , bien que noté techniquement pour souligner sa dépendance au point de base, est souvent écrit de manière simplifiée comme étant simplement si est connexe par arcs . Ceci s'explique par le fait que l'existence d'un chemin entre deux points permet d'identifier les boucles de l'un avec celles de l'autre ; cependant, à moins que ne soit abélien, cet isomorphisme n'est pas unique. De plus, la classification des espaces de revêtement fait strictement référence à des sous-groupes particuliers de , distinguant notamment les sous-groupes isomorphes mais conjugués . Par conséquent, amalgamer les éléments d'une classe d'isomorphisme en un seul objet indéfini réduit considérablement le niveau de détail fourni par la théorie.
Rapport à l'égalité
égalité et intensionnelle (en notation ensembliste ) et la seconde extensionnelle (par énumération explicite) — d'un même sous-ensemble des entiers. En revanche, les ensembles et ne sont pas
tandis qu'un autre est
et aucun isomorphisme n'est intrinsèquement meilleur qu'un autre.
En revanche, lorsque des ensembles (ou d'autres objets mathématiques ) sont définis uniquement par leurs propriétés, on considère souvent deux réalisations concrètes différentes comme égales et on utilise le signe égal = pour les identifier, même si les ensembles résultant de ces constructions contiennent des éléments qui ne sont pas ensemblistes égaux (ou, dans certains cas, même comparables). C'est généralement le cas pour les objets définis par universelles . Par exemple, les anneaux de polynômes sont considérés comme égaux, car ils satisfont tous la même propriété universelle. De même, les localisations d'anneaux , et sont considérées
Lorsque des objets définis par leurs propriétés sont ainsi assimilés, on peut les considérer comme des entités uniques (par exemple, le groupe de Klein ou les nombres complexes), même si deux personnes peuvent avoir des constructions ou des réalisations différentes en tête. Les nombres rationnels , par exemple, sont formellement définis comme des classes d'équivalence de paires d'entiers. La propriété universelle des nombres rationnels est essentiellement qu'ils forment un corps contenant les entiers et ne contenant aucun sous-corps propre. Étant donné deux corps possédant ces propriétés, il existe un isomorphisme unique entre eux. Ceci permet d'identifier ces deux corps, puisque toute propriété de l'un peut être transférée à l'autre par l'isomorphisme. Les nombres réels exprimables comme quotient d'entiers forment le plus petit sous-corps des réels. Il existe donc un isomorphisme unique de ce sous-corps des réels vers les nombres rationnels définis par les classes d'équivalence. Ainsi, les nombres rationnels peuvent être identifiés aux éléments d'un sous-ensemble des nombres réels. Cependant, dans certains contextes, cette identification n'est pas autorisée. Par exemple, dans les langages informatiques et la théorie des types , les nombres réels et les nombres rationnels ont des représentations différentes, et l'identification doit être remplacée par une conversion de type .
Notation
La notation la plus courante pour indiquer que deux objets A et B sont isomorphes est , et si ...
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