Matrice inversible

algèbre linéaire , une matrice inversible ( non singulière , non dégénérée ou régulière ) est une matrice carrée qui admet une inverse . Autrement dit, si une matrice est inversible, son produit par son inverse donne la matrice identité . Les matrices inversibles ont la même taille que leur inverse.

L'inverse d'une matrice représente l'opération inverse, ce qui signifie que si une matrice est appliquée à un vecteur particulier, puis que l'on applique l'inverse de cette matrice, le résultat est le vecteur original.

matrice carrée

matrice identité de dimension la multiplication matricielle ordinaire . Dans ce cas, la matrice inverse de La matrice est transformée de l'ensemble des n-uplets de nombres réels en elle-même. Elle est inversible lorsque cette transformation peut être annulée par une autre transformation linéaire. Dans ce cas, il existe une matrice telle que l'application de puis de , ou l'application de puis de , ramène chaque vecteur à son état initial. Géométriquement, une matrice inversible ne réduit pas l'espace à un ensemble de dimension inférieure. Elle associe à chaque vecteur un vecteur distinct et atteint tout vecteur de l'espace cible. Pour une matrice réelle, cela se traduit par son déterminant : une matrice inversible a un déterminant non nul, tandis qu'une matrice de déterminant nul réduit son volume à zéro et n'est pas inversible. Algébriquement, l'inversibilité signifie que le système linéaire admet une solution unique pour chaque vecteur . De manière équivalente, les colonnes de forment une base de l'espace vectoriel. Ces caractérisations, ainsi que plusieurs autres équivalentes, sont résumées par le théorème de la matrice inversible .

Exemples

Considérons la matrice 2x2 suivante :

La matrice est inversible, car elle possède une inverse, ce qui peut être confirmé par le calcul.

Pour vérifier qu'elle est inversible sans trouver d'inverse, on peut calculer, qui est non nul.

En revanche, il s'agit d'une matrice non inversible :

Cette matrice n'est pas inversible, car des vecteurs différents et ont la même valeur de , par exemple, et donnent tous deux . Il est donc impossible d'inverser la transformation , puisque des entrées différentes produisent la même sortie. Le déterminant de est nul, ce qui est une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice soit inversible.

Critères d'inversibilité

Une matrice (sur un corps tel que l'ensemble des nombres réels) est inversible si et seulement si l'unique solution de l'équation est le vecteur nul. Autrement dit, le noyau de la matrice est nul : son espace nul est uniquement constitué du vecteur nul. De manière équivalente, une matrice est inversible si son rang est maximal , d'après le théorème du rang et du noyau . Une telle matrice est dite de rang maximal. Géométriquement, cela signifie que l' espace des colonnes de la matrice est l'ensemble des éléments de l'ensemble des nombres réels. Les caractérisations du rang et du noyau sont liées de la manière suivante : être de rang maximal signifie que la matrice est surjectivement appliquée sur tout l' ensemble des éléments de l'ensemble des nombres réels, et être de noyau nul signifie que la matrice est bijective , c'est -à- dire qu'elle est injective.

Un critère d'inversibilité plus directif repose sur la méthode classique de détermination du rang et de la nullité d'une matrice. Pour une matrice carrée, une matrice est inversible si et seulement si sa forme échelonnée réduite est la matrice identité. En effet, il s'agit de la seule matrice échelonnée réduite de rang maximal : tous les éléments de la diagonale sont des 1 et tous les autres éléments sont des 0.

Un autre critère est qu'une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

Méthodes d'inversion de matrices

l'élimination de Gauss , par exemple. Celle-ci considère la matrice inverse comme un produit de matrices élémentaires , où les sont les matrices élémentaires correspondant aux opérations élémentaires sur les lignes nécessaires pour obtenir la forme échelonnée réduite de . Cette méthode présente l'avantage de produire une forme échelonnée réduite indépendamment de l'inversibilité de la matrice, et fournit ainsi un critère pour déterminer si une matrice est inversible, souvent plus efficace que le calcul du déterminant : la matrice est inversible si et seulement si, à la fin du processus, sa forme échelonnée est la matrice identité et non une matrice de rang inférieur.

Pour appliquer cette méthode de détermination de manière pratique, on utilise une matrice augmentée dont le membre de gauche est la matrice à inverser et le membre de droite la matrice identité . L'élimination de Gauss permet ensuite de transformer le membre de gauche en matrice identité, ce qui a pour effet d'obtenir, au sein de droite, l'inverse de la matrice d'entrée. Prenons par exemple la matrice suivante : La première étape pour calculer son inverse consiste à créer la matrice augmentée. Appelons la première ligne de cette matrice et la seconde ligne . Ensuite, additionnez la ligne 1 à la ligne 2. On obtient alors : Ensuite, soustrayez la ligne 2, multipliée par 3, de la ligne 1, ce qui donne : Enfin, multipliez la ligne 1 par -1 et la ligne 2 par 2. Ceci donne la matrice identité à gauche et la matrice inverse à droite : Ainsi, cela fonctionne car le processus d'élimination de Gauss peut être vu comme une séquence d'applications de multiplications matricielles à gauche à l'aide d'opérations élémentaires sur les lignes et de matrices élémentaires ( ), telles que En appliquant la multiplication à droite, on obtient Et le membre de droite, qui est l'inverse que nous recherchons.

Propriétés

Singularité

Sur un corps , une matrice carrée non inversible est dite singulière ou dégénérée . Une matrice carrée à coefficients appartenant à un corps est singulière si et seulement si son déterminant est nul.

théorème des matrices inversibles

Soit $corps). Les affirmations suivantes sont équivalentes, c'est-à-dire qu'elles sont soit toutes vraies, soit toutes fausses pour toute matrice donnée :$

$transposée équivalent par ligne à la matrice identité équivalente par colonne à lamatrice identité positions de pivot .$
$a un rang complet: noyau trivial : injective » ou « surjective ».)$
Les colonnes de $base de déterminant de anneau commutatif est inversible si et seulement si son déterminant est une unité (c'est-à-dire un élément multiplicativement inversible) de cet anneau.$
Le nombre 0 n'est pas une valeur propre de

Autres propriétés

De plus, les propriétés suivantes sont vérifiées pour une matrice inversible

pour un scalaire si inverse de Moore-Penrose et

Pour toutes matrices inversibles

Les inverses à gauche et à droite sont égaux. Autrement dit, si et alors .

Les lignes de la matrice inverse $orthonormées aux colonnes de produit scalaire euclidien de deux matrices quelconques est égal à . Cette propriété peut également s'avérer utile pour construire l'inverse d'une matrice carrée dans certains cas, lorsqu'un ensemble de vecteurs orthogonaux (mais pas nécessairement orthonormés) aux colonnes de Gram-Schmidt à cet ensemble initial pour déterminer les lignes de l'inverse matrice involutive .$

En relation avec son adjudant

L' adjudant d'une matrice

En relation avec la matrice identité

Il découle de l' associativité de la multiplication matricielle que si

pour des matrices carrées finies

Cette identité n'est pas valable pour les matrices rectangulaires non carrées, et n'est pas nécessairement vraie pour les opérateurs linéaires en dimensions infinies.

Densité

Sur le corps des nombres réels, l'ensemble des matrices singulières $sous-ensemble de est un ensemble vide, c'est-à-dire que sa mesure de Lebesgue est nulle. Ceci est vrai car les matrices singulières sont les racines du déterminant . Ce déterminant est une fonction continue car il est polynomial en les coefficients de la matrice. Ainsi, en termes de théorie de la mesure, presque toutes les matrices ouvert et dense dans l' espace topologique de toutes les matrices fermé et nulle part dense dans l'espace des matrices les calculs numériques , les matrices inversibles mais proches d'une matrice non inversible peuvent néanmoins poser problème ; on dit alors qu'elles sont mal conditionnées .$

Dérivée de l'inverse de la matrice

Supposons que la matrice inversible A dépende d'un paramètre t . Alors la dérivée de l'inverse de A par rapport à t est donnée par

Pour obtenir l'expression ci-dessus de la dérivée de l'inverse de A , on peut dériver la définition de l'inverse de la matrice en utilisant la règle du produit , puis résoudre pour la dérivée de l'inverse de A :

En soustrayant des deux extrémités de cette formule et en multipliant à droite par , on termine la dérivation.

Si est un petit nombre, la formule de la dérivée donne :

Étant donné un entier positif ,

En particulier,

Généralisations

Matrices non carrées

Les matrices non carrées, c'est -à-dire les matrices $inverse à gauche ou un inverse à droite . Si est égal à les inverses généralisées (telles que l' inverse de Moore-Penrose), qui peuvent être définies pour toute matrice m par n .$

En algèbre abstraite

Bien que le cas le plus courant soit celui des matrices à valeurs réelles ou complexes , toutes ces définitions peuvent être appliquées aux matrices définies sur toute structure algébrique munie d'addition et de multiplication (c'est- à-dire un anneau ). Cependant, dans le cas d'un anneau commutatif , la condition d'inversibilité d'une matrice carrée est que son déterminant soit inversible dans l'anneau, ce qui est généralement une condition plus restrictive que la simple non-nullité. Pour un anneau non commutatif , le déterminant usuel n'est pas défini. Les conditions d'existence d'un inverse à gauche ou à droite sont plus complexes, car la notion de rang n'existe pas sur les anneaux.

L'ensemble des matrices inversibles $multiplication matricielle et les entrées de l'anneau groupe , le groupe linéaire général de degré système d'équations linéaires ; cependant, pour obtenir une solution unique, il est nécessaire que la matrice en question soit inversible.$

Les techniques de décomposition comme la décomposition LU sont beaucoup plus rapides que l'inversion, et divers algorithmes rapides pour des classes particulières de systèmes linéaires ont également été développés.

Régression/moindres carrés

Bien qu'il ne soit pas nécessaire de calculer explicitement l'inverse d'une matrice pour estimer le vecteur des inconnues, c'est la méthode la plus simple pour évaluer leur précision. Cette inverse se trouve sur la diagonale de la matrice inverse (la matrice de covariance a posteriori du vecteur des inconnues). Cependant, dans de nombreux cas, il existe des algorithmes plus rapides permettant de calculer uniquement les éléments diagonaux de l'inverse d'une matrice.

Inversion de matrices dans les simulations en temps réel

L'inversion de matrices joue un rôle important en infographie , notamment dans le rendu graphique 3D et le lancer de rayons de l'écran vers le monde , les transformations d'objets du monde vers le sous-espace puis de nouveau vers le monde, et les simulations physiques.

Inverses de matrices dans les communications sans fil MIMO

L'inversion de matrice joue également un rôle important dans la technologie MIMO (Multiple-Input, Multiple-Output) des communications sans fil . Un système MIMO est composé de N antennes d'émission et de M antennes de réception. Des signaux uniques, occupant la même bande de fréquence , sont émis par les N antennes d'émission et reçus par les M antennes de réception. Le signal arrivant à chaque antenne de réception est une combinaison linéaire des N signaux émis, formant une matrice de transmission H de dimension N × M. Il est crucial que la matrice H soit inversible pour que le récepteur puisse déduire l'information transmise.