Worldlex Wiki Un homomorphisme entre structures algébriques est une fonction compatible avec les opérations de ces structures. Pour toutes les structures algébriques usuelles, et en particulier pour les espaces vectoriels , un monomorphisme . Cependant, dans le contexte plus général de la théorie des catégories , la définition d'un monomorphisme diffère de celle d'un homomorphisme injectif. Il s'agit donc d'un théorème établissant leur équivalence pour les structures algébriques ; voir
Exemples
Pour des exemples visuels, les lecteurs sont invités à consulter la section galerie.
- Pour tout ensemble et tout sous-ensemble d'inclusion (qui associe à chaque élément lui-même) est injective. En particulier, la fonction identité est toujours injective (et en fait bijective).
- Si le domaine d'une fonction est l' ensemble vide , alors la fonction est la fonction vide , qui est injective.
- Si le domaine d'une fonction ne comporte qu'un seul élément (c'est-à-dire un ensemble singleton ), alors la fonction est toujours injective.
- La fonction définie par est injective.
- La fonction définie par n'est
- La fonction exponentielle définie par est injective (mais pas surjective , car aucune valeur réelle ne correspond à un nombre négatif).
- La fonction logarithme naturel définie par est injective.
- La fonction définie par n'est pas injective, puisque, par exemple,
Plus généralement, lorsque et sont toutes deux des droites réelles test de la droite horizontale .
Les injections peuvent être annulées.
Les fonctions admettant un inverse à gauche sont toujours injectives. Autrement dit, étant donné existe une fonction telle que pour tout
Dans ce cas, on parle d'une rétractation de section de
Réciproquement, toute injection dont le domaine est non vide admet un inverse à gauche . Celui-ci peut être défini en choisissant un élément du domaine de et en lui attribuant l'unique élément de son antécédent (s'il est non vide) ou (sinon).
L'inverse à gauche n'est pas nécessairement l' inverse de car la composition dans l'autre ordre, inversible , ce qui implique que la fonction soit bijective.
Les injections peuvent être rendues réversibles
En fait, pour transformer une fonction injective en une fonction bijective (donc inversible), il suffit de remplacer son codomaine par son image. fonction d' inclusion de dans
Plus généralement, les fonctions partielles injectives sont appelées bijections partielles .
Autres propriétés
- Si et sont toutes deux injectives, alors est injective.
- Si est injective, alors est injective (mais ne l'est pas nécessairement).
- Si est injective et est un sous-ensemble de image
- Si est injective et et sont tous deux des sous-ensembles de
- Toute fonction peut être décomposée comme pour une injection et une surjection appropriées à isomorphisme près , et peut être vue comme la fonction d'inclusion de l'image de comme sous-ensemble du codomaine de
- Si f est une fonction injective, alors f possède au moins autant d'éléments que g cardinaux . En particulier, s'il existe une injection de théorème de Cantor-Bernstein-Schroeder .)
- Si et sont tous deux finis avec le même nombre d'éléments, alors est injectif si et seulement si est surjectif (auquel cas est bijectif).
- Une fonction injective qui est un homomorphisme entre deux structures algébriques est un plongement .
- Contrairement à la surjectivité, qui est une relation entre le graphe d'une fonction et son codomaine, l'injectivité est une propriété du graphe de la fonction seul ; c'est-à-dire que l'injectivité d'une fonction peut être décidée en ne considérant que le graphe (et non le codomaine) de
Démontrer que les fonctions sont injectives
La démonstration de l'injectivité d'une fonction dépend de sa présentation et des propriétés qu'elle possède. Pour les fonctions définies par une formule, une idée de base existe. On utilise la définition de l'injectivité, à
Voici un exemple :
Démonstration : Soit . Supposons . Donc implique
Il existe plusieurs autres méthodes pour démontrer l'injectivité d'une fonction. Par exemple, en analyse différentielle, si f est une fonction dérivable définie sur un intervalle, il suffit de montrer que sa dérivée est toujours positive ou toujours négative sur cet intervalle. En algèbre linéaire, si f est une transformation linéaire, il suffit de montrer que son noyau ne contient que le vecteur nul. Si f est une fonction à domaine fini, il suffit de parcourir la liste des images de chaque élément du domaine et de vérifier qu'aucune image n'y figure deux fois.
Une approche graphique pour une fonction à valeurs réelles d'une variable réelle est le test de la droite horizontale . Si toute droite horizontale coupe la courbe de en au plus un point, alors est injective (ou bijective).
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