Carte d'inclusion

En mathématiques , si est un sous-ensemble de , alors l' application d'inclusion est la fonction qui associe à chaque élément de est traité comme un élément de .

Une carte d'inclusion peut également être appelée fonction d'inclusion , insertion , ou injection canonique .

Une « flèche crochue » ( U+ 21AA ↪ FLÈCHE VERS LA DROITE AVEC CROCHET ) est parfois utilisée à la place de la flèche de fonction ci-dessus pour désigner une application d'inclusion ; ainsi :

(Cependant, certains auteurs utilisent cette flèche recourbée pour tout type d'intégration .)

Cette fonction et d’autres fonctions injectives analogues à partir de sous-structures sont parfois appelées injections naturelles .

Étant donné un morphisme quelconque entre les objets et , s'il existe une inclusion dans le domaine , alors on peut former la restriction de . Dans de nombreux cas, on peut également construire une inclusion canonique dans le codomaine, appelée image de .

Les applications d'inclusion tendent à être des homomorphismes de structures algébriques ; elles sont donc des plongements . Plus précisément, étant donné une sous-structure stable par certaines opérations, l'application d'inclusion est un plongement pour des raisons tautologiques. Par exemple, exiger qu'une opération binaire soit stable revient simplement à dire que le résultat est calculé de manière cohérente dans la sous-structure et dans la structure principale. Le cas d'une opération unaire est similaire ; mais il faut également considérer les opérations nulles , qui sélectionnent un élément constant . Ici, l'important est que la stabilité implique que ces constantes soient déjà présentes dans la sous-structure.

Les applications d'inclusion sont observées en topologie algébrique où, si est une déformation forte, la rétraction de l'application d'inclusion donne un isomorphisme entre tous les groupes d'homotopie (c'est-à-dire une équivalence d'homotopie ).

En géométrie, les inclusions se présentent sous différentes formes : par exemple, les plongements de sous-variétés . Les objets contravariants (c’est-à-dire les objets qui admettent un produit fibré ; on les appelle covariants dans une terminologie plus ancienne et différente), tels que les formes différentielles , se restreignent aux sous-variétés, définissant une application dans l’ autre sens . Un autre exemple, plus sophistiqué, est celui des schémas affines , pour lesquels les inclusions et peuvent être des morphismes différents , où est un anneau commutatif et est un idéal de .