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Difféomorphismes de sous-ensembles de variétés
Étant donné un sous-ensemble d'une variété et un sous-ensemble d'une variété , une fonction est dite lisse si, pour tout dans , il existe un voisinage de et une fonction lisse tels que les restrictions coïncident : (notons que est une extension de ). La fonction est dite difféomorphisme si elle est bijective, lisse et si son inverse est lisse.
Description locale
Il est possible de tester localement si une application différentiable est un difféomorphisme sous certaines restrictions modérées. C'est le théorème de Hadamard-Caccioppoli :
Si , sont des sous-ensembles ouverts connexes de tels que soit simplement connexe , une application différentiable est un difféomorphisme si elle est propre et si la différentielle est bijective (et donc un isomorphisme linéaire ) en chaque point de .
Quelques remarques :
Il est essentiel que les éléments soient simplement connexes pour que la fonction soit globalement inversible (sous la seule condition que sa dérivée soit une bijection en tout point). Par exemple, considérons la « réalisation » de la fonction carré complexe .
Alors est surjective et elle satisfait
Ainsi, bien que soit bijective en chaque point, n'est pas inversible car elle n'est pas injective (par exemple ).
Puisque la différentielle en un point (pour une fonction différentiable)
Soit une application linéaire , elle admet une inverse bien définie si et seulement si est une bijection. La représentation matricielle de est la matrice des dérivées partielles du premier ordre dont l'élément à la i-ème ligne et à la i-ème colonne vaut . Cette matrice, appelée matrice jacobienne , est souvent utilisée pour les calculs explicites.
Les difféomorphismes sont nécessairement des bijections entre variétés de même dimension . Imaginons le passage de la dimension à la dimension . Si , alors ne pourrait jamais être surjective, et si , alors ne pourrait jamais être injective. Dans les deux cas, donc n'est pas une bijection.
k Si est une bijection en , alors est dit être un difféomorphisme local (puisque, par continuité, sera également bijective pour tout suffisamment proche de ).
Étant donné une application lisse de dimension à dimension , si (ou, localement, ) est surjective, on dit qu'il s'agit d'une submersion (ou, localement, d'une « submersion locale ») ; et si (ou, localement, ) est injective, on dit qu'il s'agit d'une immersion (ou, localement, d'une « immersion locale »).
Une bijection différentiable n'est pas nécessairement un difféomorphisme. Par exemple, la bijection bidirectionnelle n'est pas un difféomorphisme de bijection bidirectionnelle vers elle-même car sa dérivée s'annule en 0 (et donc son inverse n'est pas différentiable en 0). C'est un exemple d' homéomorphisme qui n'est pas un difféomorphisme.
Lorsqu'une application est définie entre variétés différentiables, la condition de difféomorphisme est plus forte que celle d'homéomorphisme . Pour qu'il y ait difféomorphisme, l'application et son inverse doivent être différentiables ; pour qu'il y ait homéomorphisme, l'application et son inverse doivent seulement être continues . Tout difféomorphisme est un homéomorphisme, mais l'inverse n'est pas réciproque.
Exemples
Puisque toute variété peut être paramétrée localement, nous pouvons considérer quelques applications explicites de dans .
- Laisser
- Nous pouvons calculer la matrice jacobienne :
- La matrice jacobienne a un déterminant nul si et seulement si . On constate que ne peut être qu'un difféomorphisme par rapport à l' axe des et à l' axe des . Cependant, n'est pas bijective puisque , et ne peut donc pas être un difféomorphisme.
- Laisser
- où les et sont des nombres réels quelconques , et les termes omis sont de degré au moins deux en x et y . On peut calculer la matrice jacobienne en 0 :
- Nous constatons que g est un difféomorphisme local en 0 si, et seulement si,
- c'est-à-dire que les termes linéaires dans les composantes de g sont linéairement indépendants en tant que polynômes .
- Laisser
- Nous pouvons calculer la matrice jacobienne :
- La matrice jacobienne a un déterminant nul partout ! En fait, nous voyons que l'image de h est le cercle unité .
Déformations de surface
En mécanique , une transformation induite par une contrainte est appelée déformation et peut être décrite par un difféomorphisme. Un difféomorphisme entre deux surfaces et possède une matrice jacobienne inversible . En fait, il est nécessaire que pour tout dans , il existe un voisinage de dans lequel la jacobienne reste non singulière . Supposons que dans une carte de la surface,
La différentielle totale de u est
L'image est alors une transformation linéaire , fixant l'origine, et exprimable comme l'action d'un nombre complexe d'un type particulier. Lorsque ( dx , dy ) est également interprété comme ce type de nombre complexe, l'action est une multiplication complexe dans le plan complexe approprié. Ainsi, un type d'angle ( euclidien , hyperbolique ou de pente ) est préservé lors d'une telle multiplication. Puisque Df est inversible, le type de nombre complexe est uniforme sur la surface. Par conséquent, une déformation de surface ou un difféomorphisme de surfaces possède la propriété conforme de préserver les angles (du type approprié).
Groupe de difféomorphisme
Soit une variété différentiable à base dénombrable et de Hausdorff . Le groupe des difféomorphismes de est le groupe de tous les difféomorphismes de sur elle-même, noté ou, lorsque est sous-entendu, . Il s'agit d'un groupe « grand », au sens où — pourvu que ne soit pas de dimension zéro — il n'est pas localement compact .
Topologie
Le groupe des difféomorphismes possède deux topologies naturelles : faible et forte Hirsch 1997 ) . Lorsque la variété est compacte , ces deux topologies coïncident. La topologie faible est toujours métrisable . Lorsque la variété n'est pas compacte, la topologie forte décrit le comportement des fonctions « à l'infini » et n'est pas métrisable. Elle reste néanmoins de Baire .
En fixant une métrique riemannienne sur , la topologie faible est la topologie induite par la famille de métriques
comme varie sur les sous-ensembles compacts de . En effet, puisque est -compact, il existe une suite de sous-ensembles compacts dont l'union est . Alors :
Le groupe des difféomorphismes muni de sa topologie faible est localement homéomorphe à l'espace des champs de vecteurs Leslie 1967 ) . Sur un sous-ensemble compact de , cela se démontre en fixant une métrique riemannienne sur et en utilisant l' application exponentielle pour cette métrique. Si est fini et la variété est compacte, l'espace des champs de vecteurs est un espace de Banach . De plus, les applications de transition d'une carte de cet atlas à une autre sont lisses, ce qui fait du groupe des difféomorphismes une variété de Banach munie de translations à droite lisses ; seules les translations à gauche et l'inversion sont continues. Si , l'espace des champs de vecteurs est un espace de Fréchet . De plus, les applications de transition sont lisses, ce qui fait du groupe des difféomorphismes une variété de Fréchet et même un groupe de Lie de Fréchet régulier . Si la variété est -compacte et non compacte, le groupe des difféomorphismes complet n'est localement contractile pour aucune des deux topologies. Il faut restreindre le groupe en contrôlant l'écart par rapport à l'identité près de l'infini pour obtenir un groupe de difféomorphismes qui est une variété ; voir Michor & Mumford 2013 ) .
algèbre de Lie
L' algèbre de Lie du groupe de difféomorphismes de est constituée de tous les champs de vecteurs sur muni du crochet de Lie des champs de vecteurs . De manière quelque peu formelle, cela se voit en effectuant une petite modification de la coordonnée en chaque point de l'espace :
donc les générateurs infinitésimaux sont les champs vectoriels
Exemples
- Lorsque est un groupe de Lie , il existe une inclusion naturelle de dans son propre groupe de difféomorphismes par translation à gauche. Soit le groupe de difféomorphismes de , alors il existe une décomposition , où est le sous-groupe de qui fixe l' élément neutre du groupe.
- Le groupe des difféomorphismes de l'espace euclidien se compose de deux éléments : les difféomorphismes préservant l'orientation et les difféomorphismes inversant l'orientation. En fait, le groupe linéaire général est un rétracte par déformation du sous-groupe des difféomorphismes fixant l'origine par l'application . En particulier, le groupe linéaire général est également un rétracte par déformation du groupe des difféomorphismes complet.
- Pour un ensemble fini de points, le groupe des difféomorphismes est simplement le groupe symétrique . De même, si est une variété quelconque, il existe une extension de groupe . Ici, est le sous-groupe de qui préserve toutes les composantes de , et est le groupe des permutations de l'ensemble (les composantes de ). De plus, l'image de l'application est l'ensemble des bijections de qui préservent les classes de difféomorphismes.
Transitivité
Pour une variété connexe , le groupe de difféomorphismes agit transitivement sur . Plus généralement, le groupe de difféomorphismes agit transitivement sur l' espace de configuration . Si est au moins de dimension deux, le groupe de difféomorphismes agit transitivement sur l'espace de configuration et l'action sur est multiplement transitive Banyaga 1997 , p. 29) .
Extensions des difféomorphismes
En 1926, Tibor Radó se demanda si le prolongement harmonique de tout homéomorphisme ou difféomorphisme du cercle unité au disque unité induisait un difféomorphisme sur le disque ouvert. Hellmuth Kneser en apporta une démonstration élégante peu après . En 1945, Gustave Choquet , ignorant apparemment ce résultat, en proposa une démonstration tout à fait différente.
Le groupe des difféomorphismes (préservant l'orientation) du cercle est connexe par arcs. On peut le constater en remarquant que tout difféomorphisme de ce type peut être relevé en un difféomorphisme des réels satisfaisant ; cet espace est convexe et donc connexe par arcs. Un chemin lisse, finalement constant, vers l'identité fournit une seconde manière plus élémentaire de prolonger un difféomorphisme du cercle au disque unité ouvert (un cas particulier de l' astuce d'Alexander ). De plus, le groupe des difféomorphismes du cercle a pour type d'homotopie le groupe orthogonal .
Le problème d'extension correspondant pour les difféomorphismes de sphères de dimension supérieure a été largement étudié dans les années 1950 et 1960, avec des contributions notables de René Thom , John Milnor et Stephen Smale . Une obstruction à de telles extensions est donnée par le groupe abélien fini , le « groupe des sphères tordues », défini comme le quotient du groupe abélien des composantes du groupe des difféomorphismes par le sous-groupe des classes s'étendant aux difféomorphismes de la boule .
Connexion
Pour les variétés, le groupe des difféomorphismes n'est généralement pas connexe. Son groupe de composantes est appelé groupe des classes d'applications . En dimension 2 (c'est-à-dire pour les surfaces ), le groupe des classes d'applications est un groupe de présentation finie engendré par les torsions de Dehn ; ceci a été démontré par Max Dehn , W.B.R. Lickorish et Allen Hatcher . Max Dehn et Jakob Nielsen ont montré qu'il peut être identifié au groupe des automorphismes extérieur du groupe fondamental de la surface.
William Thurston affina cette analyse en classant les éléments du groupe des classes d'applications en trois types : ceux équivalents à un difféomorphisme périodique ; ceux équivalents à un difféomorphisme laissant une courbe fermée simple invariante ; et ceux équivalents à des difféomorphismes pseudo-Anosov . Dans le cas du tore , le groupe des classes d'applications est simplement le groupe modulaire et la classification devient classique en termes de matrices elliptiques , paraboliques et hyperboliques . Thurston a établi sa classification en observant que le groupe des classes d'applications agissait naturellement sur une compactification de l'espace de Teichmüller ; comme cet espace agrandi était homéomorphe à une boule fermée, le théorème du point fixe de Brouwer devenait applicable. Smale conjectura que si est une variété lisse fermée orientée , la composante identité du groupe des difféomorphismes préservant l'orientation est simple . Ce résultat avait été démontré pour la première fois pour un produit de cercles par
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6 Homéomorphisme et difféomorphisme
Puisque tout difféomorphisme est un homéomorphisme, deux variétés difféomorphes entre elles sont en particulier homéomorphes entre elles. La réciproque n'est pas vraie en général.
S'il est facile de trouver des homéomorphismes qui ne sont pas des difféomorphismes, il est plus difficile de trouver une paire de variétés homéomorphes qui ne soient pas difféomorphes. En dimensions 1, 2 et 3, toute paire de variétés différentiables homéomorphes est difféomorphe. En dimension 4 et plus, il existe des exemples de paires homéomorphes mais non difféomorphes. Le premier exemple de ce type a été construit par John Milnor en dimension 7. Il a construit une variété différentiable de dimension 7 (appelée aujourd'hui sphère de Milnor ) homéomorphe à la 7-sphère standard mais non difféomorphe à celle-ci. Il existe en fait 28 classes de difféomorphismes orientés de variétés homéomorphes à la 7-sphère (chacune d'elles est l'espace total d'un fibré sur la 4-sphère dont la fibre est la 3-sphère ).
Des phénomènes plus inhabituels se produisent pour les 4-variétés . Au début des années 1980, la combinaison de résultats de Simon Donaldson et Michael Freedman a conduit à la découverte de propriétés exotiques : il existe une infinité non dénombrable de sous-ensembles ouverts deux à deux non difféomorphes de , chacun étant homéomorphe à , et il existe également une infinité non dénombrable de variétés différentiables deux à deux non difféomorphes homéomorphes à qui ne s’injectent pas de manière lisse dans .