Worldlex Wiki En mathématiques , une structure sur un ensemble (ou sur plusieurs ensembles) consiste à lui conférer certaines propriétés supplémentaires (par exemple, une opération , une relation , une métrique ou une topologie ). Ces propriétés supplémentaires sont associées à l'ensemble (ou aux ensembles) afin de lui conférer une signification ou une portée supplémentaire.
Voici une liste partielle des structures possibles : mesures , structures algébriques ( groupes , corps , etc.), topologies , structures métriques ( géométries ), ordres , graphes , événements , structures différentielles , catégories , setoïdes et relations d’équivalence .
Il arrive qu'un ensemble soit doté simultanément de plusieurs propriétés, ce qui permet aux mathématiciens d'étudier plus finement l'interaction entre les différentes structures. Par exemple, un ordre impose une forme, une configuration ou une topologie rigide à l'ensemble. Si un ensemble possède à la fois une propriété topologique et une propriété de groupe, ces deux propriétés étant liées d'une certaine manière, alors la structure devient un groupe topologique .
Une application entre deux ensembles de structure similaire qui préserve leur structure est appelée un morphisme , et de telles applications présentent un intérêt particulier dans de nombreux domaines des mathématiques. On peut citer comme exemples les homomorphismes , qui préservent les structures algébriques ; les fonctions continues , qui préservent les structures topologiques ; et les fonctions différentiables , qui préservent les structures différentielles.
Histoire
En 1939, le groupe français connu sous le pseudonyme de « Nicolas Bourbaki » considérait les structures comme la racine des mathématiques. Ils les mentionnèrent pour la première fois dans leur « Fascicule » de la Théorie des ensembles et les développèrent dans le chapitre IV de l'édition de 1957. Ils identifièrent trois structures mères : algébrique, topologique et d'ordre .
Exemple : les nombres réels
L'ensemble des nombres réels possède plusieurs structures standard :
- Un ordre : chaque nombre est soit inférieur, soit supérieur à tout autre nombre.
- Structure algébrique : il existe des opérations d'addition et de multiplication, la première formant un groupe et la paire formant un corps .
- Une mesure : les intervalles de la droite réelle ont une longueur spécifique , qui peut être étendue à la mesure de Lebesgue sur plusieurs de ses sous-ensembles .
- Une métrique : il existe une notion de distance entre les points.
- Une géométrie : elle est dotée d'un système métrique et est plate .
- Une topologie : il existe une notion d’ ensembles ouverts .
Il existe des interfaces entre ces éléments :
- Son ordre et, indépendamment, sa structure métrique induisent sa topologie.
- Son ordre et sa structure algébrique en font un corps ordonné .
- Sa structure algébrique et sa topologie en font un groupe de Lie , un type de groupe topologique .