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Classification des groupes simples finis

En mathématiques , la classification des groupes simples finis (communément appelée le théorème géant ) est un résultat de la théorie des groupes qui stipule que tout groupe sim...

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mathématiques , la classification des groupes simples finis (communément appelée le théorème géant ) est un résultat de la théorie des groupes qui stipule que tout groupe simple fini est soit cyclique , soit alterné , soit appartient à une vaste classe infinie appelée les groupes de type Lie , soit fait partie des vingt-six exceptions, dites sporadiques (le groupe de Tits est parfois considéré comme un groupe sporadique car il n'est pas strictement un groupe de type Lie , auquel cas il y aurait 27 groupes sporadiques). La démonstration s'étend sur des dizaines de milliers de pages, réparties dans plusieurs centaines d'articles de revues scientifiques écrits par une centaine d'auteurs et publiés principalement entre 1955 et 2004.

Les groupes simples peuvent être vus comme les éléments constitutifs de base de tous les groupes finis , à l'instar des nombres premiers qui constituent les éléments constitutifs de base des nombres naturels . Le théorème de Jordan-Hölder exprime ce fait de manière plus précise. Cependant, une différence significative avec la factorisation des entiers réside dans le fait que de tels « éléments constitutifs » ne déterminent pas nécessairement un groupe unique, puisqu'il peut exister plusieurs groupes non isomorphes ayant la même série de composition ; autrement dit, le problème d'extension n'admet pas de solution unique.

Daniel Gorenstein (1923–1992), Richard Lyons et Ronald Solomon publient progressivement une version simplifiée et révisée de la preuve.

groupe simple fini est, à isomorphisme près , l'un des groupes suivants :

La classification des groupes simples finis

Le théorème de classification trouve des applications dans de nombreuses branches des mathématiques, car les questions relatives à la structure des groupes finis (et à leur action sur d'autres objets mathématiques) peuvent parfois se ramener à des questions concernant les groupes simples finis. Grâce à ce théorème, il est parfois possible de répondre à ces questions en examinant chaque famille de groupes simples et chaque groupe sporadique.

En 1983, Daniel Gorenstein annonça que tous les groupes simples finis étaient désormais classifiés, mais cette affirmation était prématurée car il avait été mal informé de la démonstration de la classification des groupes quasi-minces . La démonstration complète de cette classification fut publiée par 1982 , 1983 ) a publié deux volumes exposant la partie de la démonstration relative au rang faible et à la caractéristique impaire, et 2011 ) ont publié un troisième volume traitant du cas restant de caractéristique 2. La démonstration peut être divisée en plusieurs parties principales, comme suit :

Groupes de petits rangs 2

Les groupes simples de rang 2 faible sont principalement des groupes de type Lie de petit rang sur des corps de caractéristique impaire, ainsi que cinq groupes alternés et sept groupes de type 2 de caractéristique et neuf groupes sporadiques.

Les groupes simples de petits groupes de rang 2 comprennent :

  • Les groupes de rang 2 0, autrement dit les groupes d'ordre impair, qui sont tous résolubles par le théorème de Feit-Thompson .
  • Groupes de rang 2 1. Les 2-sous-groupes de Sylow sont soit cycliques, ce qui est facile à gérer à l'aide de l'application de transfert, soit quaternioniques généralisés , qui sont gérés avec le théorème de Brauer-Suzuki : en particulier, il n'existe pas de groupes simples de rang 2 1, à l'exception du groupe cyclique d'ordre deux.
  • Groupes de rang 2. Alperin a démontré que le sous-groupe de Sylow doit être diédral, quasi-diédral, enroulé, ou un 2-sous-groupe de Sylow de U₃ ( 4 ). Le premier cas a été traité par le théorème de Gorenstein-Walter, qui a montré que les seuls groupes simples sont isomorphes à L₂ ( q ) pour q impair ou à A₇ . Les deuxième et troisième cas ont été traités par le théorème d'Alperin-Brauer-Gorenstein, qui implique que les seuls groupes simples sont isomorphes à L₃ ( q ) ou à U₃ ( q ) pour q impair ou à M₁₁ . Enfin, le dernier cas a été traité par Lyons, qui a montré que U₃ ( 4) est la seule possibilité de groupe simple .
  • Groupes de rang sectionnel 2 au plus 4, classés par le théorème de Gorenstein-Harada .

La classification des groupes de petits rangs 2, en particulier les rangs au plus 2, fait un usage intensif de la théorie des caractères ordinaires et modulaires, qui n'est presque jamais utilisée directement ailleurs dans la classification.

Tous les groupes non de rang 2 faible peuvent être divisés en deux grandes classes : les groupes de type composante et les groupes de type caractéristique 2. En effet, si un groupe a un rang sectionnel 2 d'au moins 5, alors MacWilliams a démontré que ses 2-sous-groupes de Sylow sont connexes, et le théorème d'équilibre implique que tout groupe simple possédant des 2-sous-groupes de Sylow connexes est soit de type composante, soit de type caractéristique 2. (Pour les groupes de rang 2 faible, la démonstration n'est plus valable, car des théorèmes tels que le théorème du foncteur signaliseur ne s'appliquent qu'aux groupes possédant des sous-groupes abéliens élémentaires de rang au moins 3.)

Groupes de type composant

Un groupe est dit de type composante si, pour un centralisateur C d'une involution, C / O ( C ) possède une composante (où O ( C ) est le noyau de C , le sous-groupe normal maximal d'ordre impair). Il s'agit plus ou moins des groupes de Lie de type impair de grande caractéristique et de rang élevé, des groupes alternés, ainsi que de certains groupes sporadiques. Une étape importante consiste alors à éliminer l'obstruction du noyau de l'involution. Ceci est réalisé par le théorème B , qui stipule que toute composante de C / O ( C ) est l'image d'une composante de C.

L'idée est que ces groupes possèdent un centralisateur d'une involution dont une composante est un groupe quasi-simple plus petit, que l'on peut supposer connu par récurrence. Pour classifier ces groupes, on considère chaque extension centrale de chaque groupe simple fini connu et on recherche tous les groupes simples possédant un centralisateur d'involution dont cette composante est ce groupe quasi-simple. Cela conduit à un nombre important de cas différents à examiner : il y a non seulement 26 groupes sporadiques et 16 familles de groupes de Lie de type et les groupes alternés, mais aussi de nombreux groupes de petit rang ou sur de petits corps qui se comportent différemment du cas général et doivent être traités séparément ; enfin, les groupes de Lie de type paire et impaire sont également très différents.

Groupes de type caractéristique 2

Un groupe est de type 2 si le sous-groupe de Fitting généralisé F *( Y ) de tout sous-groupe 2-local Y est un 2-groupe. Comme son nom l'indique, il s'agit approximativement des groupes de Lie de type 2 sur les corps de caractéristique 2, ainsi que de quelques autres groupes alternés, sporadiques ou de caractéristique impaire. Leur classification se divise en deux catégories : les groupes de petit rang et les groupes de grand rang. Le rang est le plus grand rang d'un sous-groupe abélien impair normalisant un 2-sous-groupe non trivial, qui est souvent (mais pas toujours) le même que le rang d'une sous-algèbre de Cartan lorsque le groupe est de type Lie en caractéristique 2.

Les groupes de rang 1 sont les groupes minces, classés par Aschbacher, et ceux de rang 2 sont les fameux groupes quasi-minces , classés par Aschbacher et Smith. Ils correspondent approximativement aux groupes de Lie de type 1 ou 2 sur les corps de caractéristique 2.

Les groupes de rang au moins 3 sont subdivisés en trois classes par le théorème de trichotomie , démontré par Aschbacher pour le rang 3 et par Gorenstein et Lyons pour le rang au moins 4. Ces trois classes sont les groupes de type GF(2) (classifiés principalement par Timmesfeld), les groupes de type standard pour un certain nombre premier impair (classifiés par le théorème de Gilman-Griess et par plusieurs autres auteurs), et les groupes d'unicité, pour lesquels un résultat d'Aschbacher implique l'absence de groupes simples. Le cas général des rangs supérieurs est principalement constitué des groupes de Lie de type 2 sur les corps de caractéristique 2, de rang au moins 3 ou 4.

Existence et unicité des groupes simples

La partie principale de la classification établit une caractérisation de chaque groupe simple. Il est ensuite nécessaire de vérifier l'existence et l'unicité d'un groupe simple pour chaque caractérisation. Ceci engendre un grand nombre de problèmes distincts ; par exemple, les démonstrations originales d'existence et d'unicité du groupe monstre totalisaient environ 200 pages, et l'identification des groupes de Ree par Thompson et Bombieri constituait l'une des parties les plus complexes de la classification. De nombreuses démonstrations d'existence et certaines démonstrations d'unicité pour les groupes sporadiques reposaient initialement sur des calculs informatiques, la plupart ayant depuis été remplacés par des démonstrations manuelles plus concises.

Historique de la preuve

Le programme de Gorenstein

En 1972, le théorème d'involution classique d'Aschbacher .

  • Forme quasi-standard
  • Involutions centrales
  • Classification des groupes alternés.
  • Certains groupes sporadiques
  • Groupes minces. Les groupes finis minces simples, c'est-à-dire ceux dont le rang p 2-local est au plus égal à 1 pour les nombres premiers impairs p , ont été classés par Aschbacher en 1978.
  • Groupes possédant un sous-groupe fortement p-plongé pour p impair
  • La méthode des foncteurs de signalisation pour les nombres premiers impairs. Le problème principal consiste à démontrer un théorème de foncteurs de signalisation pour les foncteurs de signalisation non résolubles. Ce problème a été résolu par McBride en 1982.
  • Groupes de type caractéristique p . Il s'agit du problème des groupes avec un sous-groupe 2-local fortement p- plongé avec p impair, qui a été traité par Aschbacher.
  • Groupes quasi-minces. Un groupe quasi-mince est un groupe dont les sous-groupes 2-locaux ont un rang p inférieur ou égal à 2 pour tout nombre premier impair p . Le problème consiste à classifier les groupes quasi-minces simples de type caractéristique 2. Ce problème a été résolu par Aschbacher et Smith en 2004.
  • Groupes de faible rang 2-local 3. Ce problème a été essentiellement résolu par le théorème de trichotomie d'Aschbacher pour les groupes avec e ( G ) = 3. Le principal changement consiste à remplacer le rang 2-local 3 par le rang 2-local p pour les nombres premiers impairs.
  • Centralisateurs de 3 éléments sous forme canonique. Ceci a été essentiellement réalisé grâce au théorème de trichotomie .
  • Classification des groupes simples de type caractéristique 2. Ce problème a été résolu par le théorème de Gilman-Griess , les éléments à 3 composantes étant remplacés par des éléments à p composantes pour les nombres premiers impairs.

    • Chronologie de la preuve

    De nombreux éléments du tableau ci-dessous sont tirés de PSL 2 ( F p ) ( p ≥ 5)1854Cayley définit des groupes abstraits1861Mathieu décrit les deux premiers groupes de Mathieu M 11 , M 12 , les premiers groupes simples sporadiques, et annonce l'existence de M 24 .1870Jordan cite quelques groupes simples : les groupes linéaires spéciaux alternés et projectifs, et souligne l’importance des groupes simples.1872Sylow démontre les théorèmes de Sylow1873Mathieu introduit trois autres groupes de Mathieu M 22 , M 23 , M 24 .1892Hölder démontre que l'ordre de tout groupe simple fini non abélien doit être un produit d'au moins quatre nombres premiers (pas nécessairement distincts), et demande une classification des groupes simples finis.1893Cole classe les groupes simples d'ordre jusqu'à 660.1896Frobenius et Burnside entament l'étude de la théorie des caractères des groupes finis.1899Burnside classe les groupes simples de telle sorte que le centralisateur de chaque involution soit un 2-groupe abélien élémentaire non trivial.1901Frobenius démontre qu'un groupe de Frobenius possède un noyau de Frobenius, donc en particulier, il n'est pas simple.1901Dickson définit des groupes classiques sur des corps finis arbitraires, et des groupes exceptionnels de type G 2 sur des corps de caractéristique impaire.1901Dickson introduit les groupes simples finis exceptionnels de type E 6 .1904Burnside utilise la théorie des caractères pour prouver le théorème de Burnside selon lequel l'ordre de tout groupe simple fini non abélien doit être divisible par au moins 3 nombres premiers distincts.1905Dickson introduit les groupes simples de type G² sur les corps de caractéristique paire1911Burnside conjecture que tout groupe simple fini non abélien a un ordre pair1928Hall démontre l'existence de sous-groupes de Hall de groupes résolubles1933Hall commence son étude des p -groupes1935Brauer entreprend l'étude des caractères modulaires .1936Zassenhaus classe les groupes de permutations finis strictement 3-transitifs1938Fitting introduit le sous-groupe de Fitting et prouve le théorème de Fitting selon lequel, pour les groupes résolubles, le sous-groupe de Fitting contient son centralisateur.1942Brauer décrit les caractères modulaires d'un groupe divisible par un nombre premier à la première puissance.1954Brauer classe les groupes simples avec GL 2 ( F q ) comme centralisateur d'une involution.1955Le théorème de Brauer-Fowler implique que le nombre de groupes simples finis avec un centralisateur d'involution donné est fini, ce qui suggère une attaque contre la classification utilisant des centralisateurs d'involution.1955Chevalley introduit les groupes de Chevalley , en particulier les groupes simples exceptionnels de types F 4 , E 7 et E 8 .1956Le théorème de Hall-Higman décrit les possibilités du polynôme minimal d'un élément d'ordre de puissance premier pour une représentation d'un groupe p -résoluble .1957Suzuki démontre que tous les groupes CA simples finis d'ordre impair sont cycliques.1958Le théorème de Brauer–Suzuki–Wall caractérise les groupes linéaires spéciaux projectifs de rang 1 et classe les groupes CA simples .1959Steinberg introduit les groupes de Steinberg , donnant de nouveaux groupes simples finis, de types 3 D 4 et 2 E 6 (ces derniers ont été découverts indépendamment à peu près au même moment par Tits).1959Le théorème de Brauer-Suzuki sur les groupes avec des 2-sous-groupes de Sylow quaternioniques généralisés montre en particulier qu'aucun d'entre eux n'est simple.1960Thompson démontre qu'un groupe muni d'un automorphisme sans point fixe d'ordre premier est nilpotent.1960Feit, Marshall Hall et Thompson démontrent que tous les groupes CN simples finis d'ordre impair sont cycliques.1960Suzuki introduit les groupes Suzuki , avec les types 2 B 2 .1961Ree introduit les groupes de Ree , avec les types 2 F 4 et 2 G 2 .1963Feit et Thompson démontrent le théorème de l'ordre impair .1964Tits introduit des paires BN pour les groupes de type Lie et trouve le groupe Tits1965Le théorème de Gorenstein-Walter classe les groupes ayant un 2-sous-groupe diédral de Sylow.1966Glauberman démontre le théorème Z*1966Janko introduit le groupe Janko J1 , le premier nouveau groupe sporadique depuis environ un siècle.1968Glauberman démontre le théorème ZJ1968Higman et Sims présentent le groupe Higman-Sims1968Conway présente les groupes Conway1969Le théorème de Walter classe les groupes ayant des 2-sous-groupes de Sylow abéliens.1969Introduction du groupe sporadique de Suzuki , du groupe Janko J2 , du groupe Janko J3 , du groupe McLaughlin et du groupe Held .1969Gorenstein introduit des foncteurs de signalisation basés sur les idées de Thompson.1970MacWilliams démontre que les 2-groupes sans sous-groupe abélien normal de rang 3 ont un rang sectionnel de 2 au plus 4. (Les groupes simples avec des sous-groupes de Sylow satisfaisant cette dernière condition ont été classés ultérieurement par Gorenstein et Harada.)1970Bender a introduit le sous-groupe Fitting généralisé1970Le théorème d'Alperin–Brauer–Gorenstein classe les groupes possédant des 2-sous-groupes de Sylow quasi-diédraux ou enroulés, complétant ainsi la classification des groupes simples de rang 2 au plus 2.1971Fischer présente les trois groupes Fischer1971Thompson classe les paires quadratiques1971Bender classe les groupes comme ayant un sous-groupe fortement intégré.1972Gorenstein propose un programme en 16 étapes pour la classification des groupes simples finis ; la classification finale suit de très près son schéma.1972Lyons présente le groupe Lyons1973Rudvalis présente le groupe Rudvalis1973Fischer découvre le groupe des bébés monstres (non publié), que Fischer et Griess utilisent pour découvrir le groupe des monstres , ce qui conduit à son tour Thompson au groupe sporadique de Thompson et Norton au groupe Harada-Norton (également découvert d'une manière différente par Harada).1974Thompson classe les N-groupes , des groupes dont tous les sous-groupes locaux sont résolubles.1974Le théorème de Gorenstein-Harada classe les groupes simples de rang sectionnel 2 au plus 4, divisant les groupes simples finis restants en ceux de type composant et ceux de type caractéristique 2.1974Tits montre que les groupes avec des paires BN de rang au moins 3 sont des groupes de type Lie1974Aschbacher classe les groupes ayant un noyau propre de génération 2.1975Gorenstein et Walter démontrent le théorème de l'équilibre L.1976Glauberman démontre le théorème du foncteur de signalisation résoluble1976Aschbacher démontre le théorème des composantes , montrant en substance que les groupes de type impair satisfaisant certaines conditions possèdent une composante sous forme canonique. Les groupes possédant une composante sous forme canonique ont été classés dans un vaste recueil d'articles par de nombreux auteurs.1976O'Nan présente le groupe O'Nan1976Janko présente le groupe Janko J4 , le dernier groupe sporadique à avoir été découvert.1977Aschbacher caractérise les groupes de Lie de type impair dans son théorème d'involution classique . Après ce théorème, qui, d'une certaine manière, concerne la « plupart » des groupes simples, on pensait généralement que la fin de la classification était en vue.1978Timmesfeld prouve le théorème extraspécial O 2 , décomposant la classification des groupes de type GF(2) en plusieurs problèmes plus petits.1978Aschbacher classe les groupes finis minces , qui sont pour la plupart des groupes de rang 1 de type Lie sur des corps de caractéristique paire.1981Bombieri utilise la théorie de l'élimination pour compléter le travail de Thompson sur la caractérisation des groupes de Ree , l'une des étapes les plus difficiles de la classification.1982McBride démontre le théorème du foncteur signaliseur pour tous les groupes finis.1982Griess construit le groupe de monstres à la main1983Le théorème de Gilman-Griess classe les groupes de type caractéristique 2 et de rang au moins 4 avec des composantes standard, l'un des trois cas du théorème de trichotomie.1983Aschbacher prouve qu'aucun groupe fini ne satisfait l'hypothèse du cas d'unicité , l'un des trois cas donnés par le théorème de trichotomie pour les groupes de type caractéristique 2.1983Gorenstein et Lyons prouvent le théorème de trichotomie pour les groupes de type caractéristique 2 et de rang au moins 4, tandis qu'Aschbacher le fait pour le cas du rang 3. Cela divise ces groupes en 3 sous-cas : le cas d'unicité, les groupes de type GF(2) et les groupes avec une composante standard.1983Gorenstein annonce que la démonstration de la classification est achevée, un peu prématurément car la démonstration du cas quasi-mince était incomplète.1985Conway, Curtis, Norton, Parker, Wilson et Thackray publient l' Atlas des groupes finis avec des informations de base sur 93 groupes simples finis.1994Gorenstein, Lyons et Solomon entament la publication de la classification révisée2004Aschbacher et Smith publient leurs travaux sur les groupes quasi-minces (qui sont principalement des groupes de type Lie de rang au plus 2 sur des corps de caractéristique paire), comblant ainsi la dernière lacune dans la classification connue à cette époque.2008Harada et Solomon comblent une lacune mineure dans la classification en décrivant des groupes avec une composante standard qui est une couverture du groupe de Mathieu M 22 , un cas qui a été accidentellement omis de la preuve de la classification en raison d'une erreur dans le calcul du multiplicateur de Schur de M 22 .2012Gonthier et ses collaborateurs annoncent une version vérifiée par ordinateur du théorème de Feit-Thompson à l'aide de l' assistant de preuve Rocq (alors : Coq ) .

    Classification de deuxième génération

    La démonstration du théorème, telle qu'elle existait vers 1985, peut être qualifiée de première génération . En raison de sa longueur extrême, de nombreux efforts ont été consacrés à la recherche d'une démonstration plus simple, appelée démonstration de classification de seconde génération . Ce travail, appelé « révisionnisme », a été initialement mené par Daniel Gorenstein , en collaboration avec Richard Lyons et Ronald Solomon .

    Janko ) ont d'ailleurs été découverts lors de la démonstration d'autres cas du théorème de classification. De ce fait, de nombreux éléments du théorème ont été démontrés à l'aide de techniques trop générales.

  • Comme la conclusion était inconnue, la démonstration de première génération se compose de nombreux théorèmes indépendants, traitant de cas particuliers importants. Une grande partie du travail de démonstration de ces théorèmes a été consacrée à l'analyse de ces nombreux cas particuliers. Grâce à une démonstration plus vaste et coordonnée, le traitement de nombre de ces cas particuliers peut être reporté jusqu'à ce que les hypothèses les plus puissantes puissent être appliquées. Le prix à payer pour cette stratégie révisée est que ces théorèmes de première génération ne possèdent plus de démonstrations relativement courtes, mais reposent désormais sur la classification complète.
  • De nombreux théorèmes de première génération se recoupent, ce qui conduit à une subdivision inefficace des cas possibles. Par conséquent, des familles et sous-familles de groupes simples finis ont été identifiées plusieurs fois. La démonstration révisée élimine ces redondances en s'appuyant sur une subdivision différente des cas.
  • Les théoriciens des groupes finis ont plus d'expérience dans ce genre d'exercice et disposent de nouvelles techniques.

    • groupes de Lie compacts .

    • La raison la plus évidente est que la liste des groupes simples est assez complexe : avec 26 groupes sporadiques, il est probable qu’il existe de nombreux cas particuliers à prendre en compte dans toute démonstration. Jusqu’à présent, personne n’a trouvé de description uniforme et claire des groupes simples finis, semblable à la paramétrisation des groupes de Lie compacts par les diagrammes de Dynkin .
    • Atiyah et d'autres ont suggéré de simplifier la classification en construisant un objet géométrique sur lequel agissent les groupes, puis en classant ces structures géométriques. Le problème est que personne n'a proposé de méthode simple pour trouver une telle structure géométrique associée à un groupe simple. D'une certaine manière, la classification fonctionne en identifiant des structures géométriques telles que les paires BN , mais cela n'intervient qu'au terme d'une analyse très longue et complexe de la structure d'un groupe simple fini.
    • Une autre suggestion pour simplifier la démonstration consiste à recourir davantage à la théorie des représentations . Le problème est que cette théorie semble exiger un contrôle très strict des sous-groupes d'un groupe pour être efficace. Pour les groupes de faible rang, ce contrôle est possible et la théorie des représentations fonctionne très bien, mais pour les groupes de rang supérieur, personne n'est parvenu à l'utiliser pour simplifier la classification. Aux débuts de la classification, des efforts considérables ont été déployés pour utiliser la théorie des représentations, mais sans grand succès dans le cas des groupes de rang élevé.

    Conséquences de la classification

    Cette section énumère quelques résultats qui ont été démontrés à l'aide de la classification des groupes simples finis.