Principe de transfert

Leibniz a décrit une forme embryonnaire de principe de transfert sous le nom de « loi de continuité » . Dans ce principe , les infinitésimaux sont supposés posséder les mêmes propriétés que les nombres appréciables. Le principe de transfert peut également être vu comme une formalisation rigoureuse du principe de permanence . On retrouve des tendances similaires chez Cauchy , qui a utilisé les infinitésimaux pour définir à la fois la continuité des fonctions (dans le Cours d'analyse ) et une forme de la fonction delta de Dirac .

En 1955, Jerzy Łoś a démontré le principe de transfert pour tout système de nombres hyperréels . Son application la plus courante se trouve dans l'analyse non standard des nombres hyperréels d' Abraham Robinson , où le principe de transfert stipule que toute proposition exprimable dans un certain langage formel et vraie pour les nombres réels l'est également pour les nombres hyperréels.

Historiquement, le concept de nombre a été généralisé à maintes reprises. L'ajout de 0 aux nombres naturels en est un exemple.

« En abordant la question de la droite réelle, nous avons constaté qu’il nous est impossible de savoir à quoi ressemble réellement une droite dans l’espace physique. Elle peut ressembler à la droite hyperréelle, à la droite réelle, ou à aucune des deux. Toutefois, dans les applications du calcul différentiel et intégral, il est utile de se représenter une droite dans l’espace physique comme une droite hyperréelle. »

Le développement auto-cohérent des hyperréels s'est avéré possible si l'on suppose que toute proposition logique du premier ordre vraie , utilisant l'arithmétique de base (les nombres naturels , l'addition, la multiplication, la comparaison) et quantifiant uniquement sur les nombres réels, reste vraie sous une forme réinterprétée si l'on présume qu'elle quantifie sur les hyperréels. Par exemple, on peut affirmer que pour tout nombre réel, il existe un nombre supérieur.

Il en sera de même pour les hyperréels :

Un autre exemple est l'affirmation selon laquelle si vous ajoutez 1 à un nombre, vous obtenez un nombre plus grand :

ce qui sera également valable pour les hyperréels :

L'énoncé général correct qui formule ces équivalences est appelé principe de transfert. Il convient de noter que, dans de nombreuses formules d'analyse, la quantification porte sur des objets d'ordre supérieur tels que les fonctions et les ensembles, ce qui rend le principe de transfert quelque peu plus subtil que ne le suggèrent les exemples précédents.

Le principe de transfert n'implique cependant pas que R et * R aient un comportement identique. Par exemple, dans * R, il existe un élément ω tel que

Mais un tel nombre n'existe pas dans R. Ceci est possible car la non-existence de ce nombre ne peut être exprimée par une proposition du premier ordre du type décrit ci-dessus. Un nombre hyperréel comme ω est dit infiniment grand ; les inverses des nombres infiniment grands sont les infinitésimaux.

Les hyperréels * R forment un corps ordonné contenant les réels R comme sous-corps. Contrairement aux réels, les hyperréels ne forment pas d' espace métrique usuel , mais, de par leur ordre, ils sont munis d'une topologie d'ordre .

Les hyperréels peuvent être développés soit de manière axiomatique, soit par des méthodes plus constructives. L'approche axiomatique consiste à affirmer (1) l'existence d'au moins un nombre infinitésimal et (2) la validité du principe de transfert. La sous-section suivante présente en détail une approche plus constructive. Cette méthode permet de construire les hyperréels à partir d'un objet ensembliste appelé ultrafiltre , lequel ne peut être construit explicitement. Vladimir Kanovei et Shelah proposent la construction d'une extension élémentaire définissable et dénombrablement saturée de la structure constituée des réels et de toutes les relations finitaires sur cette structure.

Dans sa forme la plus générale, le transfert est un plongement élémentaire borné entre des structures.

Le corps ordonné ^* R des nombres réels non standard inclut strictement le corps réel R. Comme tous les corps ordonnés qui incluent strictement R , ce corps n'est pas archimédien . Cela signifie que certains éléments x ≠ 0 de ^* R sont infinitésimaux , c'est-à-dire

Le seul infinitésimal de R est 0. Certains autres éléments de ^* R , les inverses y des infinitésimaux non nuls, sont infinis, c'est-à-dire,

L'ensemble sous-jacent du corps ^* R est l'image de R par une application A

avec égalité si et seulement si A est fini. Ensembles de la forme ^* A pour certainsstandards de ^* R . Les ensembles standards appartiennent à une classe beaucoup plus vaste de sous-ensembles de ^* R appelés ensembles internes . De même, chaque fonction

s'étend à une fonction

On les appelle fonctions standard et elles appartiennent à la classe beaucoup plus vaste des fonctions internes . Les ensembles et les fonctions qui ne sont pas internes sont dits externes .

L'importance de ces concepts découle de leur rôle dans la proposition suivante et est illustrée par les exemples qui la suivent.

Le principe de transfert :

• Supposons qu'une proposition vraie de ^* R puisse être exprimée via des fonctions d'un nombre fini de variables (par exemple ( x , y )

Par exemple, une telle proposition est

Une telle proposition est vraie dans R si et seulement si elle est vraie dans ^* R lorsque le quantificateur

remplace

et de même pour

• Supposons qu'une proposition, par ailleurs exprimable aussi simplement que celles considérées ci-dessus, mentionne certains ensembles particuliersR si et seulement si elle est vraie dans ^* R , chaque « A » étant remplacé par le ^* A correspondant . Voici deux exemples :

• L'ensemble

doit être

incluant non seulement les éléments de R compris entre 0 et 1 inclus, mais aussi les éléments de ^* R compris entre 0 et 1 qui diffèrent de ceux-ci par des infinitésimaux. Pour le constater, observez que la phrase

est vrai dans R , et appliquons le principe de transfert.

• L'ensemble ^* N ne doit pas avoir de borne supérieure dans ^* R (puisque la phrase exprimant la non-existence d'une borne supérieure de N dans R est suffisamment simple pour que le principe de transfert s'y applique) et doit contenir n + 1 s'il contient n , mais ne doit rien contenir entre n et n + 1.

sont des « entiers infinis ».)

• Supposons qu'une proposition, par ailleurs exprimable aussi simplement que celles considérées ci-dessus, contienne le quantificateur

Une telle proposition est vraie dans R si et seulement si elle est vraie dans ^* R après les modifications spécifiées ci-dessus et le remplacement des quantificateurs par

et

Le cadre approprié pour le principe de transfert hyperréel est le monde des entités internes . Ainsi, la propriété de bon ordre des nombres naturels par transfert implique que tout sous-ensemble interne de

• Tout sous-ensemble interne non vide de ^* R qui a une borne supérieure dans ^* R a une borne supérieure minimale dans ^* R . Par conséquent, l'ensemble de tous les infinitésimaux est externe.
  • Le principe du bon ordre implique que tout sous-ensemble interne non vide de ^* N possède un plus petit élément. Par conséquent, l'ensemble

de tous les entiers infinis est externe.

• Si n est un entier infini, alors l'ensemble {1, ..., n } (qui n'est pas usuel) est nécessairement interne. Pour le démontrer, on remarque d'abord que l'affirmation suivante est trivialement vraie :

Par conséquent

• Comme pour les ensembles internes, il en va de même pour les fonctions internes : Remplacer

avec

lors de l'application du principe de transfert, et de même avec

Par exemple : si n est un entier infini, alors le complément de l’image de toute fonction injective interne ƒ de l’ensemble infini {1, ..., n } dans {1, ..., n , n + 1, n + 2, n + 3} possède exactement trois éléments, d’après le principe de transfert. Du fait de l’infinité du domaine, les compléments des images des fonctions injectives du premier ensemble dans le second peuvent être de tailles très variées, mais la plupart de ces fonctions sont externes.

Ce dernier exemple motive une définition importante : un sous-ensemble *-fini (prononcé étoile-fini ) de ^* R est un sous-ensemble qui peut être placé en correspondance interne biunivoque avec {1, ..., n } pour un certain n ∈ ^* N .